双基限时练(十六) 函数的应用(Ⅰ)
基 础 强 化
1．甲、乙两人准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4 m/s和6 m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是( )
解析 设t时刻，甲、乙两人距离起点分别是s1米和s2米，
则s1＝4t＋100，s2＝6t，
它们到达终点所需时间分别为275秒和200秒，
∴经过200秒，乙先到达终点．
令s1＝s2，则t＝50秒，
即经过50秒乙追上甲，
此时两人的间距为0.
结合选项可知，C正确．
答案 C
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．
答案 C
3．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s
C．3 s D．2 s
解析 令h＝30t－5t2＝0，则t＝0，或t＝6.
答案 A
4．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如，f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
解析 根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．
答案 C
5．某商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为( )
A．45元 B．55元
C．65元 D．70元
解析 设在50元的基础上提高x元，x∈N，每月的月利润为y，建立函数关系为y＝－10x2＋400x＋5000，其对称轴为x＝20，故售价为70元时，月利润最高．
答案 D
6．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品， 甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．乙或丙
解析 三家超市降价后，其售价分别为：
甲＝m(1－20%)2＝0.64m；乙＝m(1－40%)＝0.6m；
丙＝m(1－30%)(1－10%)＝0.63m.
故到乙超市购买这种商品最划算．
答案 B
7．一辆汽车在行驶过程中，路程y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示，当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为y＝60x，那么当1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为________．
解析 当x＝1时，y＝60，当x＝2时，y＝160，
∴当1≤x≤2时，y＝100x－40.
答案 y＝100x－40
8．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
解析 若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系，
则抛物线的对称轴为x＝1，
设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，
当x＝0.5时，y＝a－a＋2.5＝1，
∴a＝2.
∴y＝2(x－1)2＋.
∴绳子的最低点距地面的距离为米．
答案
能 力 提 升
9．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)
解析 L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
答案 250 300
10．某市居民自来水收费标准如下：每月用水不超过4吨时每吨1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨和3x吨．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解 (1)当5x≤4时，则x≤，此时3x<4，
∴y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x.
当3x≤4＜5x时，则＜x≤，
∴y＝4×1.80＋(5x－4)×3.00＋3x×1.80＝20.4x－4.8.
当3x>4时，则x>，此时5x>4，
∴y＝[(5x－4)＋(3x－4)]×3＋2×4×1.8＝24x－9.6.
综上所述，y＝
(2)令f(x)＝
则f(x)在，，上均是单调递增．
当x∈时，f(x)≤f＜26.4，
当x∈时，f(x)≤f＜26.4，
∴当x∈时，
令24x－9.6＝26.4，则x＝1.5.
∴甲用户用水量为7.5吨，付费17.7元，乙用户用水量为4.5吨，付费8.7元．
11．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式．
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
解 (1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x<4时，乙旅行社更优惠；当x>4时，甲旅行社更优惠．
12．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s元．
①求s关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
解 由图象，可知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(600,400)，(700,300)，代入y＝kx＋b，
得解得
所以y＝－x＋1000(500≤x≤800)．
(2)①由(1)知s＝xy－500y＝(－x＋1000)(x－500)＝－x2＋1500x－500000(500≤x≤800)．
②由①可知，s＝－(x－750)2＋62500，此函数图象开口向下，对称轴为x＝750.
所以当x＝750时，smax＝62500.
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．
品 味 高 考
13．某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)．C(t)与t之间的函数图象大致是( )
解析 由图看出，t＝0时，C(t)＝0，排除B；t＝4时，C(t)＝2，排除A、C，故选D.
答案 D
双基限时练(十七) 函数的零点
基 础 强 化
1．若一次函数y＝kx＋b的零点为x＝2，则的值为( )
A．－2 B．2
C. D．－
解析 由题意可知，2k＋b＝0，∴＝－2.
答案 A
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
解析 函数没有零点?函数的图象与x轴没有交点．
答案 D
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，ac<0，则函数的零点个数是( )
A．1 B．2
C．0 D．无法确定
解析 ∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0.
∴该函数一定有两个零点．
答案 B
4．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点为( )
A.， B．－，－
C．－，1 D.，－1
解析 由于2和3是f(x)的两个零点，
∴a＝2＋3＝5，－b＝2×3，∴b＝－6.
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令g(x)＝0，则x＝－，或x＝－.
答案 B
5．如果二次函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，那么m的取值范围是( )
A．(－2,6) B．[－2,6]
C．{－2,6} D．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
解析 Δ＝m2－4(m＋3)＝m2－4m－12>0，
令f(m)＝m2－4m－12，
令f(m)＝0，则m＝－2，或m＝6.
∵函数f(m)是开口向上的二次函数，
∴f(m)>0的解集为(－∞，－2)∪(6，＋∞)．
答案 D
6．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点个数为( )
A．1003 B．1004
C．2006 D．2007
解析 因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有 1 003个，所以f(x)在(－∞，0)内的零点有1003个．因此f(x)的零点共有1003＋1003＋1＝2007 (个)．
答案 D
7．直线y＝3与函数y＝|x2－6x|的图象的交点个数为________．
解析 在同一坐标系中作出y＝3与y＝|x2－6x|的图象，如图所示：
由图可知，直线y＝3与函数y＝|x2－6x|的图象有4个交点．
答案 4
8．设函数f(x)＝又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是________．
解析 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0，得x＝1；当x<0时，g(x)＝x2－4－1＝x2－5，
令g(x)＝0，得x＝±(正值舍去)，则x＝－.
∴g(x)的零点为1，－.
答案 1，－
能 力 提 升
9．已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a－2的一个零点小于1，另一个零点在区间(1,2)内，则a的取值范围为________．
解析 ∵f(x)是开口向上的二次函数，且它的零点一个小于1，一个在(1,2)内，
∴得到f(x)的大致图象为
∴即
∴0
答案 (0,1)
10．分别判断下列函数零点的个数，并说明理由：
(1)f(x)＝x2＋6x＋9；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝
解 (1)函数f(x)＝x2＋6x＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x轴有唯一的公共点(－3,0)，所以函数f(x)＝x2＋6x＋9有一个零点．
(2)函数f(x)＝x－.令f(x)＝0，得x－＝0，
即x2－1＝0，解得x＝±1，所以函数f(x)＝x－有两个零点．
(3)法一：当x≥0时，令f(x)＝0，得x＋1＝0，
解得x＝－1，与x≥0矛盾；
当x<0时，令f(x)＝0，得x－1＝0，
解得x＝1，与x<0矛盾
所以函数f(x)＝没有零点．
法二：画出函数y＝f(x)＝的图象，如图所示．
因为函数图象与x轴没有公共点，
故f(x)＝没有零点．
11．已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.
(1)m为何值时，函数图象与x轴有一个交点；
(2)如果函数的一个零点为2，求m的值．
解 (1)当m－1＝0，即m＝1时，f(x)＝－4x＋1，满足函数图象与x轴有一个交点．
当m－1≠0，即m≠1时，
Δ＝16m2－8(m－1)(2m－1)＝0，∴m＝.
∴当f(x)的图象与x轴有一个交点时，m＝1或m＝.
(2)由题意可知，f(2)＝0，
∴8(m－1)－8m＋2m－1＝0.
∴m＝.
12．已知函数f(x)＝ax2＋2(a＋1)x＋a－1.
(1)求a为何值时，函数的图象与x轴有两个交点；
(2)如果函数的一个零点在原点，求a的值．
解 (1)若函数的图象与x轴有两个交点，则已知函数为二次函数，且方程f(x)＝0有两个不相等的实数根，于是有a≠0，Δ>0.
又Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)>0，即a>－，所以满足题意的实数a的取值范围为(－，0)∪(0，＋∞)．
(2)如果函数的一个零点在原点，即x＝0是方程f(x)＝0的一个根，易得a－1＝0，解得a＝1.
品 味 高 考
13．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 令f(x)＝0，即2x2＋bx－3＝0，∴Δ＝b2－4×(－3)×2＝b2＋24≥24>0.∴函数有2个零点．
答案 C
双基限时练(十八)
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
基 础 强 化
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
解析 ∵f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，
若f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点；
若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上可能存在零点，也可能不存在零点．故C正确．
答案 C
2．下列函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )
解析 二分法适合用于变号零点，故选B.
答案 B
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.4375)＝0.165
f(1.40625)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B． 1.3
C．1.4 D．1.5
解析 由参考数据可知，f(x)的零点在区间(1.40625，1.4375)内，由于所给精确度为0.1，故f(x)的近似零点为1.4.
答案 C
4．下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有在求函数零点时才用二分法
解析 二分法只能求函数的变号零点，且可以在计算机上完成运算，故A、C、D均错误．
答案 B
5．在求f(x)＝ax3－4ax＋3的变号零点时，取第一个区间为[－1,1]，第二个区间为[0,1]，则a的可能值是( )
A．－1 B．2
C．－2 D．－3
解析 ∵f(0)＝3>0，
∴∴∴a≥1.
答案 B
6．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
解析 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
答案 C
7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析 由于f(0)·f(0.5)<0，故x0∈(0,0.5)，依二分法，第二次应计算f(0.25)．
答案 (0,0.5) f(0.25)
8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.1
15.6
－3.9
10.9
－52.5
－232.1
则f(x)的零点至少有________个．
解析 因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点至少有3个．
答案 3
能 力 提 升
9．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根的区间是______．
解析 设f(x)＝x3－2x－5，
f(2)＝8－4－5＝－1<0，
f(3)＝27－6－5＝16>0，
f(2.5)＝－10＝>0.
∴下一个有根的区间为[2,2.5]．
答案 [2,2.5]
10．函数f(x)＝8x2－10x－3在[－1,2]上有无变号零点，请说明理由．
解 f(－1)＝8＋10－3＝15>0，
f(2)＝8×4－10×2－3＝9>0，
f＝8×－10×－3＝－6<0.
∴f(x)在区间，上各至少有一个零点．
11．用二分法求函数f(x)＝x3－4的零点的近似值(精确到0.1)．
解 由于f(1)＝－3<0，f(2)＝4>0，故可以取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端点或中点的横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)＝－3，f(2)＝4
[1,2]
x0＝(1＋2)/2＝1.5
f(x0)＝－0.625
[1.5,2]
x1＝(1.5＋2)/2＝1.75
f(x1)＝1.359375
[1.5,1.75]
x2＝(1.5＋1.75)/2＝1.625
f(x2)＝0.291015625
[1.5,1.625]
x3＝(1.5＋1.625)/2＝1.5625
f(x3)＝－0.185302734375
[1.5625,1.625]
由上表计算可知，区间[1.5625,1.625]的左右端点精确到0.1所取的近似值都是1.6，因此，1.6就是f(x)＝x3－4的一个零点的近似值．
12．(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
①有且仅有一个零点？
②有两个零点且均比－1大？
(2)若函数F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
解 (1)①若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，
则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，
即4m2－12m－16＝0，
即m2－3m－4＝0，
解得m＝4或m＝－1.
②设两个零点分别为x1，x2，且x1>－1，x2>－1，x1≠x2，
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，
故只需
??
故m的取值范围是{m|－5(2)若F(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，
即|4x－x2|＋a＝0有四个根，
即|4x－x2|＝－a有四个根．
令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.
则作出g(x)的图象，如下图所示
由图象可知要使|4x－x2|＝－a有四个根，
则需g(x)的图象与h(x)的图象有四个交点，
∴0<－a<4，即－4品 味 高 考
13．若aA．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解析 令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)[ 2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a答案 A
双基限时练(十九) 实数指数幂及其运算
基 础 强 化
1．4＋2－2的值为( )
A. B.
C．1 D．6
解析 4＋2－2＝2＋＝.
答案 B
2．将化成分数指数幂为( )
答案 A
3．，则等于( )
A． m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
解析 即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
答案 C
4．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
解析 原式＝|2－a|＋|3－a|，∵2答案 C
5．若＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是( )
A．a≥0 B． a＝2
C．a≠2 D．a≥0且a≠2
解析 由题意可知：即a≥0且a≠2.
答案 D
6．(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋(0.01)的值为( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝－1＋＋＋＝.
答案 D
7．________.
解析
＝－23.
答案 －23
8．已知 ＋＝0，则yx＝________.
解析 ∵＋＝|x－1|＋|y＋3|＝0，∴x＝1，y＝－3.∴yx＝(－3)1＝－3.
答案 －3
能 力 提 升
9．若2 014x2·2 014x＝2 0142y，则y的最小值为________．
解析 由题意，有x2＋x＝2y，即y＝(x2＋x)，故y＝＝2－≥－.
答案 －
10．化简下列各式．
解＝
11．(1)计算：
解 ＝2＋22×33＝110.
(2)原式＝24y，将y＝64代入得：原式＝48.
12．已知x＋y＝12，xy＝9，且x解 ∵x＋y＝12，xy＝9，
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x品 味 高 考
13．已知＋b＝1，则＝________.
解析
答案 3
双基限时练(二十) 指数函数的定义和性质
基 础 强 化
1．下列函数中，指数函数的个数为( )
①y＝x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝2x－1.
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确．
答案 B
2．集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{－1,1,0}，则下列结论正确的是( )
A．A∩B＝{0,1}
B．A∪B＝(0，＋∞)
C．B∩?RA＝{－1,0}
D．B∪?RA＝(－∞，0)
解析 A＝{y|y>0}，∴?RA＝{y|y≤0}，
∴B∩?RA＝{－1,0}．
答案 C
3．函数y＝2的值域是( )
A．(0，＋∞) B．(0,1)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析 令t＝，(t≠0)，∴y＝2t，∴y>0且y≠1.
答案 C
4.
解析 34＝－4，考查指数函数y＝x，
∵0<<1，∴y＝x在R上单调递减．
答案 A
5．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值的和为3，则a＝( )
A. B．2
C．4 D.
解析 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是单调函数，∴a0＋a＝3，即1＋a＝3，∴a＝2.
答案 B
6．已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于( )
A．{－1,1} B．{－1}
C．{0} D．{－1,0}
解析 由<2x＋1<4，得2－1<2x＋1<22，
∴－1∵x∈Z，∴x＝－1,0，
∴N＝{－1,0}，∴M∩N＝{－1}．
答案 B
7．已知指数函数的图象过点M(3,8)，那么f(－4)＝____.
解析 设指数函数是y＝ax (a>0, a≠1)，则有8＝a3，∴a＝2，∴y＝2x.从而f(－4)＝2－4＝.
答案
8．设函数f(x)＝若f(x)＝1，则x＝________.
解析 ①∴x＝－2.
②∴∴x无解．
故x＝－2.
答案 －2
能 力 提 升
9．函数y＝x2－2x的值域是________．
解析 设y＝t，t＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵x∈R，∴t≥－1，∴y∈(0,3]．
答案 (0,3]
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2) 和；
(3)2－1.5和30.2.
解 (1)考查函数y＝0.2x.因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，
所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数y＝x.因为0<<1，所以函数y＝x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以>.
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，
即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
11．关于x的方程x＝4a－3有负根，求实数a的取值范围．
解 方程x＝4a－3有负根，即x<0.
由x<0且>1，∴x∈(0,1)，
∴0<4a－3<1，∴12．若函数f(x)＝1－2ax－a2x(a>1)在区间[－2,1]上的值域为，求a的值．
解 令t＝ax，∵a>1，且x∈[－2,1]，
∴t∈[a－2，a]．
函数f(x)变为y＝－t2－2t＋1，t∈[a－2，a]．
∵a>1，∴0∴对称轴t＝－1?[a－2，a]．
∴y＝－t2－2t＋1在[a－2，a]上单调递减．
又∵y∈，
∴当t＝a时y＝－7，
即－a2－2a＋1＝－7，∴a＝－4，或a＝2.
∵a>1，∴a＝－4舍去，∴a＝2.
品 味 高 考
13．已知函数y＝ax＋2－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A(其坐标与a无关)，则定点A的坐标为________．
解析 当x＝－2时，无论a取何值，都有y＝－1，即图象恒过定点A(－2，－1)．
答案 (－2，－1)
双基限时练(二十一) 指数函数的图象和性质
基 础 强 化
1．函数f(x)＝2x－1－x2的零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 在同一坐标系中作出y＝2x－1和y＝x2的图象，可以观察得出它们有三个交点，故f(x)的零点个数为3.
答案 C
2．定义运算：a·b＝则函数f(x)＝1·2x的图象大致为( )
解析 f(x)＝故选A.
答案 A
3．函数y＝36－x－x2的单调减区间为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵y＝3t在R上单调递增，t＝6－x－x2在上单调递减，
∴y＝36－x－x2在上单调递减．
答案 C
4．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，则a的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析 f(x)＝ex＋ae－x，
f(－x)＝e－x＋aex，
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴＝a.
∵a>0，∴a＝1.
答案 C
5．函数f(x)＝的图象关于________对称．( )
A．x轴 B．y轴
C．原点 D．y＝x
解析 f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，故它的图象关于原点对称．
答案 C
6．已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝x＋b的图象是( )
解析 由f(x)＝(x－a)·(x－b)(a>b)的图象可知，a>1，－10，可知选A.
答案 A
7．(1)若0.2m>1>0.2n，则________>0>________(填m或n)．
(2)若x<23x＋1，则x的取值范围是________．
解析 (1)由0.2m>1＝0.20>0. 2n，得n>0>m.
(2)x＝2－2x<23x＋1，∴3x＋1>－2x，x>－.
答案 (1)n m (2)x>－
8．已知函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围是________．
解析 ∴
∴－1≤a<1.
答案 －1≤a<1
能 力 提 升
9．奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－2，且g(1)＝，则f(2a)等于________．
解析 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＋g(－x)＝a－x－2.
∴－f(x)＋g(x)＝a－x－2.
又∵f(x)＋g(x)＝ax－2，
∴f(x)＝，g(x)＝.
g(1)＝＝，∴a＝.
答案 －
10．画出函数y＝2|x|的图象，其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．
解 当x≥0时，y＝2|x|＝2x；
当x<0时，y＝2|x|＝2－x＝x.
∴函数y＝2|x|的图象如图所示．
由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．
11．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时均有f(x)≤，求实数a的取值范围．
解 x2－ax≤在(－1,1)上恒成立．
即x2－≤ax在(－1,1)上恒成立．
作y＝x2－，x∈(－1,1)，y＝ax， x∈(－1,1)的图象，如图所示．
∴或∴≤a<1，或112．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
∴＝0，∴b＝1.
经检验，b＝1满足f(x)是奇函数，∴b＝1.
(2)f(x)＝＝－.
∵y＝2x 在R上单调递增，
∴f(x)在R上单调递减．
(3)∵f(x)是R上的奇函数，且在R上单调递减，
∴f(t2－2t)∴t2－2t>k－2t2.
∴k<3t2－2t对一切t∈R恒成立．
∵3t2－2t＝32－≥－，
∴k<－.
品 味高 考
13．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0
B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析 由于y＝2x与y＝在(1，＋∞)上是增函数，且f(x0)＝0，根据草图易得，f(x1)<0，f(x2)>0.
答案 B
双基限时练(二十二) 对数的概念及常用对数
基 础 强 化
1．下列说法不正确的是( )
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以10为底1的对数为0
D．底数的对数等于1
解析 根据指数与对数的互化法则，只有底数大于0且不等于1的指数式才能化成对数式．
答案 B
2．下列指对互化正确的是( )
A．log39＝2?＝3
B．log4＝－?4＝
C．log16＝－4?16＝
D．log＝3?＝
解析 A中log39＝2?32＝9；C中log16＝－4?－4＝16；D中log＝3?3＝.
答案 B
3．若log2x216＝－3，则x的值为( )
A．12 B．－12
C．－ D.
解析 ∵log2x216＝－3，则(2x)－3＝216，∴＝6，
∴x＝.
答案 D
4．对于a>0，a≠1，下列结论正确的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
解析 由于题中没有给定M和N的取值范围，当M＝N＝0时，A、D都不成立；当M与N互为相反数时，C不成立．
答案 B
5．的值等于( )
A. B．2
C. D．2
解析 ，故选C.
答案 C
6．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于( )
A. B.
C. D.
解析 log7[log3(log2x)]＝0，
∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3.
∴x＝23＝8，∴x－＝＝.
答案 C
7．logx16＝2，则x＝________.
解析 x2＝16，∴x＝4.
答案 4
8．在对数log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是________．
解析 ∴a∈(2,3)∪(3,5)．
答案 (2,3)∪(3,5)
能 力 提 升
9．已知lg a＝2.4310，lg b＝1.4310，则＝________.
解析 依据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1)，有a＝102.4310，b＝101.4310，∴＝＝101.4310－2.4310＝10－1＝.
答案
10．求下列各式的值：
(1)lg1000；
(2)log21024；
(3)log0.110；
(4)log3.512.25.
解 (1)∵103＝1000，∴lg1000＝3；
(2)∵210＝1024，∴log21024＝10；
(3)∵0.1－1＝10，∴log0.110＝－1；
(4)∵3.52＝12.25，∴log3.512.25＝2.
11．计算下列各式：
解
(2) ＝4×3＋＝12＋1＝13.
12．已知log(＋1)＝m，求实数m的值．
解 ＝＝，
∵log(＋1)＝m，
∴(＋1)m＝＝＝(＋1)－1.
∴m＝－1.
品 味 高 考
13．已知a＝(a>0)，则loga＝________.
解析 ∵a＝，∴4＝a，
∴loga＝4.
答案 4
双基限时练(二十三) 对数的运算及换底公式
基 础 强 化
1．已知a>0，a≠1，x>y>0，n∈N＋，下列各式：
①(logax)n＝n·logax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝loga；⑤＝·logax；⑥logax＝loga；⑦logax＝loganxn；⑧ loga＝－loga.
其中成立的有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析 其中③⑥⑦⑧正确．①式中n·logax＝logaxn；②式中logaxn＝n·logax；④式中loga＝logax－logay；⑤式中·logax＝loga.
答案 B
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是( )
A．5a－2 B．a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
解析 log38－2log36＝3log32－2(1＋log32)
＝log32－2＝a－2.
答案 B
3．已知log34·log48·log8m＝log42，则m的值是( )
A．1 B.
C. D．3
解析 ··＝.
∴＝，即log3m＝，
∴m＝.
答案 C
4．如果关于lgx的方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为lgx1，lgx2，那么x1·x2的值为( )
A．lg2·lg3 B．lg2＋lg3
C. D．－6
解析 ∵由已知，得lgx1＋lgx2＝－(lg2＋lg3)＝－lg6＝lg，又∵lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，∴lg(x1·x2)＝lg，∴x1·x2＝.
答案 C
5．已知2x＝log12(2y)＋log12(y>0)，则x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析 2x＝log1212＝1，∴x＝0.
答案 B
6．已知lnx－lny＝a，则ln3－ln3的值为( )
A．a B．2a
C．3a D.a
解析 ∵lnx－lny＝a，∴ln＝a.
ln3－ln3＝3＝3ln＝3a.
答案 C
7．|1＋lg0.001|＋＋lg6－lg0.03＝________.
解析 原式＝|1＋lg10－3|＋＋lg6－lg
＝|1－3|＋＋lg6－lg3＋2
＝2＋2－lg2＋lg6－lg3＋2
＝6＋lg＝6.
答案 6
8．求值：
解析 (2－)－＝9－2－＝.
答案
能 力 提 升
9．已知实数t满足关系式loga＝logt (a>0，且a≠1)，若t＝ax，则y＝f(x)的表达式为________．
解析 由题意可知，x－3＝logax，
答案 y＝ax2－3x＋3
10．计算下列各式的值．
(1)2log2＋＋lg20－lg2－(log32)·(lg23)．
(2)8＋log3＋log65·(log52＋log53)＋10lg3.
解 (1)原式＝＋＋1－1＝1.
(2)原式＝－3＋log65·log56＋3＝.
11．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a，b和m的值．
解 由题意，得
由③，得(lga＋2)2＝0，∴lga＝－2.
∴a＝.
代入①，得lgb＝1－lga＝3.
∴b＝103＝1000.
代入②，得m＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.
∴a＝，b＝1000，m＝－6.
12．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高．例如，日本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震是7.1级．试计算一下日本1923年地震强度是8.3级的几倍，是7.1级的几倍．(lg2≈0.3)
解 由题意可设lgx＝8.9，lgy＝8.3，lgz＝7.1，
则lgx－lgy＝8.9－8.3＝0.6＝2lg2＝lg4，
从而lgx＝lg4＋lgy＝lg(4y)．∴x＝4y.
lgx－lgz＝8.9－7.1＝1.8＝6lg2＝lg26＝lg64，
从而lgx＝lgz＋lg64＝lg(64z)．∴x＝64z.
故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．
品 味 高 考
13．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
解析 根据2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.
∵＋＝2，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m＝.
答案 A
双基限时练(二十四) 对数函数的定义和性质
基 础 强 化
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝和y＝()2 B．|y|＝|x|和y3＝x3
C．y＝logax2和y＝2logax D．y＝x和y＝logaax
解析 对于A，定义域不同；对于B，对应法则不同；对于C，定义域不同；对于D，y＝logaax?y＝x.
答案 D
2．若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )
A. B.
C.∪(0，＋∞) D.
解析 由已知得
∴即x>－且x≠0，∴选C.
答案 C
3．若a＝log2，b＝log3，c＝0.3，则( )
A．aC．b解析 ∵0<0.3<1，－1答案 D
4．设f(x)＝则f[f(2)]的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 f(2)＝log3(22－1)＝1，f[f(2)]＝f(1)＝2e0＝2.
答案 C
5．loga<1，则a的取值范围是( )
A.∪(1，＋∞)
B.
C.
D.∪
解析 ①当a>1时，loga<0，故满足loga<1；
②当00，
∴loga综上①②，a∈∪(1，＋∞)．
答案 A
6．已知函数f(x)满足：x≥4，则f(x)＝x；当x<4时f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵3<2＋log23<4，
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)，且3＋log23>4.
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)
答案 A
7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
解析 y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；令y＋1＝0，则y＝－1.
答案 (4，－1)
8．设函数f(x)＝log(a－1)(2x＋1)在区间上恒有f(x)>0，求实数a的取值范围为________．
解析 ∵x∈，∴2x＋1∈(0,1)，
∴0答案 (1,2)
能 力 提 升
9．函数f(x)＝的定义域是________．
解析 由2－log2x≥0?log2x≤2，∴0答案 010．比较下列各组对数值的大小：
解 (1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，
∴log1.5>log1.6.
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<3. 2，
∴log21.9(3)∵log79>0，log4<0，∴log79>log4.
(4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
∴loga3当0∴loga3>loga10.
11．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)．
解 (1)由题意得即
∴x≤1，即y＝的定义域为{x|x≤1}．
(2)由得
解得x>，且x≠1.
∴y＝的定义域为{x|x>，且x≠1}．
(3)由题意得解得
∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为
.
12．已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大最小值和对应的x值．
解 (1)∴∴≤x≤4.
∴集合A＝.
(2)设t＝log2x，∵x∈，∴t∈[－1,2]．
∴y＝t2－2t－1，t∈[－1,2]．
∵y＝t2－2t－1的对称轴为t＝1∈[－1,2]，
∴当t＝1时，y有最小值－2.
∴当t＝－1时，y有最大值2.
∴当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.
品 味 高 考
13．函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)
解析 由题意得∴故选C.
答案 C
双基限时练(二十五) 对数函数的图象和性质
基 础 强 化
1．函数f(x)＝lg(x－1)的图象大致是( )
解析 f(x)的图象是由函数y＝lgx的图象向右平移一个单位得到．
答案 C
2．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析 无论a>1还是0∴a＝(a0＋loga1)＋(a＋loga2)，
∴a＝1＋a＋loga2，∴loga2＝－1，∴a＝.
答案 B
3．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图象过点(4,0)和(7,1)，则f(x)在定义域上是( )
A．增函数 B．减函数
C．奇函数 D．偶函数
解析 将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式，有解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x>3，则函数不具有奇偶性．很明显函数f(x)在定义域上是增函数．
答案 A
4．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞)
解析 记u＝(3－a)x－a，
当1当a>3时，y＝logau在其定义域内为增函数，而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数，此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．
当0答案 B
5．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是( )
解析 ∵f(x)＝2|log2x|＝∴选C.
答案 C
6．已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－log5x的零点个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 ∵f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的对称轴为x＝1.
又∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，
∴f(x)的图象如图所示．
∵y＝f(x)的图象与y＝log5x的图象有4个交点．
∴y＝f(x)－log5x共有4个零点．
答案 B
7．方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解为________．
解析 由题意，知解得x＝3.
答案 x＝3
8．函数y＝logax在[2，＋∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是________．
解析 当a>1时， logax>1在[2，＋∞)上恒成立，
∴1当0∴综上所述，a∈∪(1,2)．
答案 ∪(1,2)
能 力 提 升
9．函数f(x)＝log3(2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是________．
解析 由题意知，2x2－8x＋m>0恒成立．∴Δ＝(－8)2－4×2m<0，即m>8.
答案 m>8
10．根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题：
(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；
(2)y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最值．
解 函数y＝log2x的图象如图．
(1)因为y＝log2x是增函数，故f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．
(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，
∴log23≤log2(2x－1)≤log227.
∴函数y＝log2(2x－1)在[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.
11．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0(1)求函数f(x)的定义域D；
(2)求函数f(x)的值域．
解 (1)要使函数有意义，则有解得－3∴函数f(x)的定义域D为(－3,1)．
(2)f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]．
∵－3∴0<－(x＋1)2＋4≤4.
∵0即f(x)min＝loga4，
∴函数f(x)的值域为[loga4，＋∞)．
12．已知不等式x2－logm|x|－≤0，在x∈时恒成立，求m的取值范围．
解 x2－≤logmx在上恒成立．
作出y＝x2－与y＝logmx的图象，如图所示，
∴∴≤m<1.
品 味 高 考
13．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
解析 依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B、D，应选A.
答案 A
双基限时练(二十六) 指数函数与对数函数的关系
基 础 强 化
1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )
A．y＝1＋log2x(x>0)
B．y＝log2(x－1)(x>1)
C．y＝－1＋log2x(x>0)
D．y＝log2(x＋1)(x>－1)
解析 由y＝2x＋1?x＋1＝log2y?x＝－1＋log2y，又因原函数的值域是y>0，
∴其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)．
答案 C
2．函数f(x)＝ax－1的图象过(2,4)，则f－1(2)的值是( )
A．－ B.
C．2 D．4
解析 根据已知f(2)＝4，即4＝a2－1，∴a＝4.
令4x－1＝2，∴x－1＝，∴x＝.
∴f－1(2)＝.
答案 B
3．已知函数f(x)＝3x，那么函数f(x)的反函数f－1(x)的定义域为( )
A．{x|x>1} B．{x|x>0}
C．{x|x>0，且x≠1} D．R
解析 f(x)＝3x的值域为(0，＋∞)，∴f－1(x)的定义域为(0，＋∞)．
答案 B
4．若f(x)＝2x的反函数为f－1(x)，且f－1(a)＋f－1(b)＝4，则ab的值是( )
A．32 B． 16
C．2 D.
解析 f－1(x)＝log2x，f－1(a)＋f－1(b)＝log2a＋log2b＝log2ab＝4，∴ab＝16.
答案 B
5．f(x)＝logax(a>0，且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(log92)等于( )
A．log3 B.
C. D．2
解析 ∵f(9)＝2，∴a＝3.f－1(x)＝3x.
f－1(log92)＝3log92＝.
答案 C
6．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x>0)，则f(1)＋g(1)＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 由题令1＋2lgx＝1得x＝1，即f(1)＝1，
又g(1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝2.
答案 C
7．函数f(x)的图象与函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.
解析 函数f(x)的图象与函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则它们互为反函数，∴f(x)＝3x(x∈R)．
答案 3x(x∈R)
8．已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图象过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．
解析 ∵y＝f－1 (x)的图象过点(2,0)，∴y＝f(x)的图象过点(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1，∴f(x)＝ax＋1.又∵y＝f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
答案 f(x)＝2x＋1
能 力 提 升
9．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
解析 ∵x≥1，∴log2x≥0，∴log2x＋3≥3，∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
答案 [3，＋∞)
10．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，求f(x)的反函数f－1(x)．
解 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝3－x.
∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－3－x，
∴f(x)＝
∴f－1(x)＝
11．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)．求此函数的定义域．
解 因函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，所以该函数的值域为(3，＋∞)，
所以log2x＋2>3，所以log2x>1，即x>2，所以函数y＝log2x＋2的定义域为(2，＋∞)．
12．已知f(x)是R上的增函数，点A(－1,1)，B(1,3)在它的图象上，f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(log2x)|<1.
解 ∵f(x)是R上的增函数，∴f－1(x)在R上也是增函数．
∵f(－1)＝1，f(1)＝3，
∴f－1(1)＝－1，f－1(3)＝1.
由|f－1(log2x)|<1，∴－1∴f－1(1)∴1品 味 高 考
13．已知函数f(x)＝2x＋3，f－1(x)是f(x)的反函数，若mn＝16(m，n∈R＋)，则f－1(m)＋f－1(n)的值为( )
A．－2 B．1
C．4 D．10
解析 ∵f(x)＝2x＋3，∴f－1(x)＝－3＋log2x.f－1(m)＋f－1(n)＝－3＋log2m－3＋log2n＝－6＋log2(mn)＝－6＋log216＝－6＋4＝－2.
答案 A
双基限时练(二十七) 幂函数
基 础 强 化
1．函数y＝|x|(n∈N，n>9)的图象可能是( )
解析 ∵y＝|x|为偶函数，∴排除选项A，B.又n>9，∴<1.由幂函数在(0，＋∞)内幂指数小于1的图象可知，只有选项C符合题意．
答案 C
2．函数y＝x－2在区间上的最大值为( )
A. B．－1
C．4 D．－4
解析 y＝x－2在上单调递减，故当x＝时，y有最大值4.
答案 C
3．若a＝x，b＝x，c＝logx，当x∈(1，＋∞)时，a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
解析 当x∈(1，＋∞)时，logx＜0,0＜x＜1，x＞1.
答案 B
4．当0＜x＜1时，幂函数y＝xα的图象都在直线y＝x的上方，则α的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解析 结合幂函数的图象可知C正确．
答案 C
5．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
解析 四个函数的图象都过(1,1)点，对于任意大于1的x，C1，C2，C3，C4所对应的y值有y1＞y2＞y3＞y4.令x＝2，则22＞2＞2－＞2－2，故n值排序依次为2，，－，－2.
答案 B
6．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 作出两个函数在同一坐标系内的图象如图所示，即可观察得出．
答案 B
7．已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上为减函数，则实数m＝________.
答案 －1
8．给出下面四个命题：①幂函数f(x)＝xα当α＝0时的图象与函数f(x)＝ax当a＝1时的图象都是一条直线；②幂函数的图象若经过第三象限，则它一定过点(－1，－1)；③若幂函数是一个奇函数，则它在(－∞，0)上一定单调递减；④所有的幂函数及所有的指数函数的图象都不经过第四象限．其中正确的命题序号为________．
解析 ①当α＝0时，y＝xα是两条无端点(x≠0)的射线；③y＝x3是一个幂函数，且是一个奇函数，但它在(－∞，0)上递增，故①③错误，②④正确．
答案 ②④
能 力 提 升
9．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)解析 ∵f(x)＝x－＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)∴解得
∴3答案 (3,5)
10．比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3) 与.
解 (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为减函数，
又>，∴>
又∵幂函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>.
∴>.
11．已知幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a＋1) ＜(3－2a) 的实数a的取值范围．
解 ∵f(x)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，∴3－p＞0.
∵p∈N*，∴3－p＝2，∴p＝1，∴＜.
∴0≤a＋1<3－2a，∴－1≤a＜.
12．定义max{a，b}＝若f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．
解 在同一坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图象(如图)，
由题意知
f(x)＝
∴f(x)在x＝－1与x＝1时均取最小值1.
∴f(x)min＝1.
品 味 高 考
13．若点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，则f(x)＝________.
解析 由题意知f(x)＝xα，又因为过点(，2)，∴()α＝2，解得α＝2.∴f(x)＝x2.
答案 x2
双基限时练(二十八) 函数的应用(Ⅱ)
基 础 强 化
1．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )
A．10% B．15%
C．18% D．20%
解析 设降价百分率为x%，∴2000(1－x%)2＝1280.解得x＝20.
答案 D
2．今有一组数据如下表所示：
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是( )
A．s＝2t－3＋1 B．s＝log2t
C．s＝t2－ D．s＝2t－2
解析 画出散点图如图所示．
由散点图可见，此函数是增函数，但增长速度较慢，则排除选项A；此函数的图象不是直线，排除选项D；此函数的图象不符合对数函数的图象，排除选项B.
答案 C
3．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x年可以增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析 f(x)＝(1＋11.3%)x＝1.113x.
答案 D
4．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间x(月)的关系：y＝ax，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月的浮萍的面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＝x3.其中正确的是( )
A．①② B．①②⑤
C．①②③④ D．②③④⑤
解析 由图象可知f(1)＝2，∴a＝2，∴①正确；f(5)＝25＝32，∴第5个月浮萍面积为32 m2，已超过30 m2，∴②正确；由图象可知，浮萍每个月增加的面积不等，∴④不正确．结合选项可知，B正确．
答案 B
5．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析 由题意得100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，
∴y＝100log2(x＋1)．当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.
答案 A
6．据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此规律，设2013年的冬季冰盖面积为m，从2013年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是( )
答案 A
7．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．则当燕子静止时的耗氧量是________个单位．
解析 若燕子静止，则v＝0，∴O＝10.
答案 10
8．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
解析 设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≤log0.750.3≈5.
答案 5
能 力 提 升
9．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，它的每立方米空气含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；
药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．
根据图中信息，回答下列问题．
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间函数关系式为__________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
解析 (1)观察图象，当0≤t≤时是直线，
∴y＝10t.
?t－≥?t≥，∴至少需要经过0.6小时．
答案
(2)0.6
10．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其速率R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其速率R的表达式；
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的速率．
解 (1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．
(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，∴k＝.
∴速率R的表达式为R＝·r4.
(3)∵R＝·r4，
∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3086(cm3/s)．
11．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，所以选y＝ax＋b较好．
12．据预测，我国在“十二五”期间某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足：P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x(单位：元)为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求k，b的值；
(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝2(11－x)，当P＝Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．
解 (1)由图可知t＝时，图象过点(5,1)，(7,2)，
解得t＝＝＝
－.
令m＝，
∵x≥9，∴m∈，
在t＝－(17m2－m－2)中，
对称轴为直线m＝，且∈，且图象开口向下，∴m＝时，t取得最小值，此时x＝9.
品 味 高 考
13．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为( )
A. B.
C.－1 D.－1
解析 设1月份产值为a，月平均增长率为x，则有a(1＋x)11＝ma，∴x＝－1.
答案 D
