双基限时练(十) 单调性的定义
基 础 强 化
1．函数y＝3x－2x2＋1的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
解析 y＝3x－2x2＋1是开口向下，对称轴为x＝的二次函数，∴y＝3x－2x2＋1的递增区间为.
答案 C
2．设函数f(x)是其定义域上的增函数，则( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)
C．f(a2＋1)D．f(a2＋1)>f(a)
解析 ∵a2＋1－a＝2＋>0，∴a2＋1>a.
∵f(x)在定义域上是增函数，∴f(a2＋1)>f(a)．
答案 D
3．函数f(x)＝的单调减区间是( )
A．[1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．?
解析 根据所给分段函数可知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故选C.
答案 C
4．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．k> B．k>－
C．k< D．k<－
解析 若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则必有2k－1<0，∴k<.
答案 C
5．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－|x| D．f(x)＝－
解析 A、C选项中的函数在(0，＋∞)上递减，B选项中的函数在上递减，在上递增，D选项中的函数在(－1，＋∞)单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增．
答案 D
6．关于函数y＝的单调性，下列表述正确的是( )
A．在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减
B．在(－∞，2)，(2，＋∞)上递减
C．在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减
D．在定义域上递减
解析 y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．根据反比例函数的定义，y＝在(－∞，0)， (0，＋∞)上递减．
答案 C
7．已知f(x)＝3x2＋mx－6在(－∞，2)单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，则f(－1)＝________.
解析 由题意得，f(x)的对称轴为x＝2，即－＝2，
∴m＝－12.
∴f(x)＝3x2－12x－6，则f(－1)＝3＋12－6＝9.
答案 9
8．已知f(x)＝2x－4，则函数y＝|f(x)|的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
解析 y＝|f(x)|的图象如图所示：
∴它的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)．
答案 (2，＋∞) (－∞，2)
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9．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)解析 ∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<，
即x的取值范围是.
答案
10．证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
证明 设x1，x2是(0,1)上的任意两个不相等的实数，
且x10，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)
＝.
∵0∴x1x2－1<0，x1x2>0.
∴Δy＝f(x2)－f(x1)<0.
∴由单调函数的定义可知，函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
11．已知函数f(x)＝ax2＋(a＋3)x－1，x∈[－1,3]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上单调递增，求a的取值范围．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，其对称轴为x＝1.
∴f(x)的单调增区间为[－1,1]，单调减区间为[1,3]．
(2)当a＝0时，f(x)＝3x－1，它在区间[－1,3]上单调递增．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在[－1,3]上单调递增，
∴或
∴0综上所述，f(x)在[－1,3]上单调递增，a的取值范围为.
12．已知定义在R上的函数f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明f(0)＝1；
(2)证明对x∈R，恒有f(x)>0；
(3)证明f(x)在R上是增函数．
证明 (1)令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，
∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意及 (1)知，当x>0时，f(x)>1>0；
当x＝0时，f(0)＝1>0；
又当x<0时，－x>0，
∴f(0)＝f(x)·f(－x)．
即f(x)·f(－x)＝1.∴f(x)＝>0.
综上所述，对任意x∈R，恒有f(x)>0.
(3)在R上任取x1，x2，且x1则＝＝
＝f(x2－x1)．
∵x2>x1，∴x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.
又∵f(x)>0，∴>1，即f(x2)>f(x1)．
因此，f(x)为R上的增函数．
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13．已知f(x)＝
f(x)在R上单调递减，则a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
解析 ∴∴0答案 D
双基限时练(十一) 函数单调性的应用
基 础 强 化
1．函数y＝1－( )
A．在(－1，＋∞)上单调递增
B．在(－1，＋∞)上单调递减
C．在(1，＋∞)上单调递增
D．在(1，＋∞)上单调递减
解析 y＝1－的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
故y＝1－在(1，＋∞)上单调递增．
答案 C
2．函数f(x)＝＋x的值域是( )
A. B.
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≥}，且在定义域上，f(x)＝＋x是增函数，∴f(x)≥f，即f(x)≥.
∴f(x)的值域为.
答案 A
3．已知f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－2－x)A．x>－2 B．－2C．－ 2解析 ∴∴－2答案 C
4．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2,0)
C．[－3,0) D．[－3，－2]
解析 ∴－3≤a≤－2.
答案 D
5．函数f(x)＝x2＋bx＋c，在[2，＋∞)上是增函数，在(－∞，2]上是减函数，则( )
A．f(2)C．f(2)解析 f(x)是开口向上，对称轴为x＝2的二次函数，
∴f(2)答案 A
6．已知函数f(x)＝－(a>0)，若f(x)的定义域与值域都是，则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵f(x)＝＋，
∴f(x)在(0，＋∞)单调递增，
∴?∴a＝.
答案 B
7．已知一次函数f(x)＝(4a－2)x＋3在x∈[－2,1]上的最大值为9，则实数a的值为________．
解析 当4a－2>0时，f(x)在[－2,1]上单调递增，
∴∴∴a＝2.
当4a－2<0时，f(x)在[－2,1]上单调递减，
∴∴∴a＝－.
综上所述，a＝2，或a＝－.
答案 2或－
8．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2) ·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
解析 由题意，知f(x)是R上的增函数，
又∵－3>－π，
∴f(－3)>f(－π)．
答案 f(－3)>f(－π)
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9．函数f(x)在区间(－4,7)上是增函数，则函数y＝f(x－3)的递增区间是________．
解析 －4∴f(x－3)的递增区间是(－1,10)．
答案 (－1,10)
10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较f与f(a2－a＋1)的大小．
解 ∵a2－a＋1＝2＋≥，∴与a2－a＋1都属于[0，＋∞)．又∵y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f≥f(a2－a＋1)．
11．设函数f(x)是定义在R上的增函数，如果不等式
f(ax2＋x－2)解 ∵f(x)在R上是增函数，
∴ax2＋x－2∴ax2∵x∈，
∴a<3·－2·＋1在x∈上恒成立．
令t＝∈，
∴a<3t2－2t＋1，t∈.
当t＝时，函数y＝3t2－2t＋1有最小值，
∴a<.
12．已知函数f(x＋1)＝x－1＋.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)的值域．
解 (1)f(x＋1)＝x＋1＋－2，
∴f(x)＝x－2＋.
(2)∵y＝x－2与y＝2x－5在定义域上分别单调递增，
∴f(x)＝x－2＋在上单调递增．
∴f(x)的值域为.
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13．函数f(x)的定义域为D，若对任意x1，x2∈D，当x1A. B.
C．1 D.
解析 令x＝0，f(1)＝1－f(0)＝1；
f＝f(1)＝；令x＝，f＝1－f，
f＝；f＝f＝，
f＝f＝.
∵函数f(x)在[0,1]上为非减函数，<，
∴f≤.
∵<，∴＝f≤f，∴f＝，
f＋f＝＋＝，故选A.
答案 A
双基限时练(十二) 函数的奇偶性
基 础 强 化
1．下列说法不正确的是( )
A．图象关于原点成中心对称的函数是奇函数
B．图象关于y轴成轴对称的函数是偶函数
C．奇函数的图象过原点
D．对定义在R上的奇函数f(x)，一定有f(0)＝0
解析 函数f(x)＝是奇函数，但它不过原点．
答案 C
2．下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝x－2 B．y＝|3－x|
C．y＝x2＋2，x∈(－3,3] D．y＝－
解析 D选项中函数是偶函数．
答案 D
3．已知定义域为R的奇函数f(x)满足：f(x)＝f(4－x)，且当x∈[－2,0)时，f(x)＝x(1－x)，则f(3)＝( )
A．0 B．－6
C． 2 D．－2
解析 f(3)＝f(1)＝－f(－1)＝2.
答案 C
4．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(1)B．fC．fD．f解析 ∵y＝f(x＋2)是偶函数，
∴y＝f(x)关于x＝2对称．
∵f(x)在(0,2)上是增函数，
∴f(x)在(2,4)上是减函数．
∵f(1)＝f(3)，且<3<，
∴f>f(3)>f，
即f答案 D
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D．1
解析 由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立，
即＝，
即(x＋a)＝(x－a)恒成立，所以a＝.
答案 A
6．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且最大值为－5
B．增函数且最小值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
解析 根据奇函数的图象关于原点对称，且在y轴两侧单调性相同，∴f(x)在[－7，－3]上是增函数，且有最大值－5.
答案 A
7．已知函数f(x)＝ax3－bx＋2，其中a，b为常数，若f(－2)＝3，则f(2)的值为________．
解析 令g(x)＝ax3－bx，则g(x)为奇函数，
f(x)＝g(x)＋2. f(－2)＝g(－2)＋2＝3，
∴g(－2)＝－8a＋2b＝1，
∴g(2)＝－1.f(2)＝g(2)＋2＝－1＋2＝1.
答案 1
8.
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
答案 (－2,0)∪(2,5]
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9．函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x＋1)为奇函数，当x<1时，f (x)＝2x2－x＋1，那么当x>1时，f(x)的递减区间是________．
解析 ∵y＝f(x＋1)为奇函数，
∴y＝f(x)关于点(1,0)对称，
如图：当x>1时，f(x)在递减．
答案
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3，x∈R；
(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；
(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
(4)f(x)＝
解 (1)f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵x∈R，f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，
此时－x<0，
∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
∴f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．
11．(1)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(1)＝2，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，求f(x)的解析式．
解 (1)∵f(x)是奇函数，且定义域为R，
∴f(0)＝0，∴b＝0.
∵f(1)＝2，∴＝2，∴a＝4.
∴f(x)＝.
(2)∵f(x)是[a－1,2a]上的偶函数，
∴∴
∴f(x)＝x2＋1.
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[－2－，2＋]，不等式f(x＋t)≤f(x)恒成立，求实数t的取值范围．
解 由题意知f(x)＝
所以f(x)在R上为单调增函数．
因为f(x＋t)≤f(x)，所以x＋t≤x.
所以t≤(－1)x.又x∈[－2－，2＋]，
所以(－1)x的最小值为(－1)(－2－)＝－.
所以t≤－.
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13．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析 f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案 A
双基限时练(十三) 一次函数的性质与图象
基 础 强 化
1．已知一次函数y＝kx＋b，若当x增加3时，y减小2，则k的值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析 k＝＝－，故选A.
答案 A
2．若点(－4，y1)，(2，y2)都在直线y＝－x＋t上，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1>y2 B．y1＝y2
C．y1解析 y＝－x＋t单调递减，－4<2，∴y1>y2.
答案 A
3．一次函数y＝(m－1)x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是( )
A．± B．±1
C．－1 D．－2
解析 ∴m＝－1.故选C.
答案 C
4．已知f(x)是一次函数且2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3x－2 B．f (x)＝3x＋2
C．f(x)＝2x－3 D．f(x)＝2x＋3
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则
解得
∴f(x)＝3x－2.
答案 A
5．若一次函数y＝(m－3)x＋m2－2m－3是奇函数，则实数m的值为( )
A．3 B．－1
C．3或－1 D．－3或1
解析 ∵该函数为奇函数，
∴∴m＝－1.
答案 B
6．已知直线y＝kx－4与两坐标轴围成的三角形面积为6，则实数k的值为( )
A. B.
C．± D．±
解析 当x＝0时，y＝－4；当y＝0时，x＝.
∴S＝×4×＝6，∴|k|＝.
∴k＝±.
答案 C
7．一次函数y＝(m＋4)x＋2m－3是增函数，且它的图象与y轴的交点在x轴的下方，则m的取值范围是________．
解析 ∴∴－4答案
8．一次函数y＝(－3k＋1)x＋2k－1在R上是增函数，则它的图象经过的象限为________．
解析 －3k＋1>0，∴k<，∴2k－1<0，∴该一次函数的图象经过一、三、四象限．
答案 一、三、四
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9．若一次函数f(x)＝(1－m)x＋2m＋3在[－2,2]上总取正值，则m满足的条件是________．
解析 ∵函数f(x)为一次函数，
∴m≠1，要使f(x)在[－2,2]上总取正值，
则需
即
解得m>－，又m≠1.
∴m满足的条件为m>－，且m≠1.
答案 m>－，且m≠1
10．已知y＋5与3x＋4成正比例，当x＝1时，y＝2.
(1)求y与x的函数解析式；
(2)求当x＝－1时的函数值；
(3)如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．
解 (1)由题意，设y＋5＝k(3x＋4)．
把x＝1，y＝2代入，得7＝k(3＋4)，
∴k＝1，∴y＋5＝3x＋4，即y＝3x－1.
(2)把x＝－1代入函数解析式，得
y＝3×(－1)－1＝－4.
(3)令0≤3x－1≤5，∴1≤3x≤6，
解得≤x≤2.
11．画出函数y＝2x＋1的图象，利用图象求：
(1)方程2x＋1＝0的解；
(2)不等式2x＋1≥0的解集；
(3)当y≤3时，求x的取值范围；
(4)当－3≤y≤3时，求x的取值范围；
(5)求图象与坐标轴的两个交点间的距离；
(6)求图象与坐标轴围成的三角形的面积．
解 列表：
x
0
－
y
1
0
描点A(0,1)，B，连线，如图所示，直线AB就是函数y＝2x＋1的图象．
(1)直线AB与x轴的交点是B.
从图象可以看出，
当x＝－时，y＝0，即2x＋1＝0，
∴x＝－就是方程2x＋1＝0的解．
(2)从图象可以看出，射线BA在x轴的上方，它上面的点的纵坐标都不小于零，即y＝2x＋1≥0.
∵射线BA上点的横坐标满足x≥－，
∴不等式2x＋1≥0的解集是{x|x≥－}．
(3)过点(0,3)作平行于x轴的直线CC′，交直线AB于点C，点C的坐标为(1,3)，直线CC′上点的纵坐标y均等于3，直线CC′下方的点的纵坐标y均小于3，射线CB上点的横坐标满足x≤1，
∴当y≤3时， x的取值范围为{x|x≤1}．
(4)过点(0，－3)作平行于x轴的直线，交直线AB于点D(－2，－3)．
从图象可以看出，线段DC上的点的纵坐标满足－3≤y≤3，而横坐标满足－2≤x≤1，
∴当－3≤y≤3时，x的取值范围为{x|－2≤x≤1}．
(5)图象与x轴的交点为B，与y轴的交点为A(0,1)，因此|OA|＝1，|OB|＝.
由勾股定理，得|AB|＝＝＝.
∴图象与坐标轴的两个交点间的距离为.
(6)∵△AOB是直角三角形，
∴S△AOB＝|OB|·|OA|＝××1＝.
∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为.
12．某块实验田里的农作物每天的需水量y(千克)与生长时间x(天)之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．
(1)分别求出当0≤x≤40和x≥40时，y与x之间的关系式；
(2)如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？
解 (1)当x∈[0,40]时，设函数解析式为y＝k1x＋b1，
由题可知，∴
∴y＝50x＋1500，x∈[0,40]．
当x＝40时，y＝3500.
由题意可知，当x＝41时，y＝3600.
∴当x∈[40，＋∞)时，设函数解析式为y＝k2x＋b2.
∴
∴k2＝100，b2＝－500.
∴y＝100x－500，x∈[40，＋∞)．
(2)令100x－500≥4000，∴x≥45.
∴从第45天起开始进行人工灌溉．
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13．如果直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，那么直线y＝－bx＋k经过第________象限．
解析 ∵直线y＝kx＋b过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0，∴－b>0，
答案 一、二、三
双基限时练(十四) 二次函数的性质与图象
基 础 强 化
1．下列各个函数在(1,2)上单调递减的是( )
A．f(x)＝x2＋2x－1 B．f(x)＝－x2＋4x＋1
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝－x2＋2x－1
解析 D选项中的二次函数对称轴x＝1，且开口向下．故它在(1,2)上单调递减．
答案 D
2．某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋，则该运动员的成绩是( )
A．6 m B．10 m
C．8 m D．12 m
解析 当y＝0时，－x2＋x＋＝0，则x＝10.
答案 B
3．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
解析 当m>0时，函数y＝mx＋m递增，且与y轴交于正半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2开口向下，对称轴在y轴右侧．当m<0时，函数y＝mx＋m递减，且与y轴交于负半轴，函数y＝－mx2＋2x＋2开口向上，对称轴在y轴左侧．满足上述条件的只有D选项．
答案 D
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>1；③abc>0；④4a－2b＋c<0；⑤c－a>1，其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤
解析 由图象可知f(1)<0，f(－1)>1，
∴①②正确．
∵－＝－1，且a<0，∴b＝2a<0.
∵f(0)＝c＝1，∴③正确．
∵f(－2)＝f(0)＝1，∴f(－2)＝4a－2b＋c>0，
故④不正确．
∵c＝1，a<0，∴c－a>1，∴⑤正确．
答案 C
5．若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a的值为( )
A．－1 B.
C．－1或 D.或－3
解析 f(x)的对称轴为x＝－1，
当a>0时，f(x)在x＝2处取得最大值，
∴f(2)＝4a＋4a＋1＝4.
∴a＝.
当a<0时，f(x)在x＝－1处取得最大值，
∴f(－1)＝a－2a＋1＝4，
∴a＝－3.
答案 D
6．若二次函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为( )
A．[0,4] B.
C. D.
解析 y＝x2－3x－4＝2－，
∵f(0)＝f(3)＝－4，
∴m∈.
答案 C
7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为________．
解析 由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，
所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，
所以S△ABC＝×4×4＝8.
答案 8
8．已知二次函数的图象开口向上，且满足f(2013＋x)＝f(2013－x)，x∈R，则f(2011)与f(2014)的大小关系为________．
解析 由题意，知二次函数图象的对称轴为x＝2013.
∵|2011－2013|>|2014－2013|，∴f(2011)>f(2014)．
答案 f(2011)>f(2014)
能 力 提 升
9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)，若函数f(x)的定义域和值域为[1，a]，则实数a的值为________．
解析 ∵f(x)的对称轴x＝a，
∴f(x)在[1，a]上单调递减．
∴f(a)＝1.
∴a2－2a2＋5＝1.
∴a2＝4.
∵a>1，∴a＝2.
答案 2
10．已知二次函数y＝－x2＋4x＋3.
(1)指出其图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；
(2)说明其图象是由y＝－x2的图象经过怎样的平移得到的．
解 y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7.
(1)开口向下；对称轴方程为x＝2；顶点坐标为(2,7)．
(2)先将y＝－x2的图象向右平移2个单位，然后向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图象．
11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋3a2－1(a>0,0≤x≤1)．
(1)求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的最小值是－，求此时f(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝(x－a)2＋2a2－1.
当a≥1时，函数f(x)在区间[0,1]上是减函数，
故f(x)的最大值为f(0)＝3a2－1，
f(x)的最小值为f(1)＝3a2－2a.
当0f(x)的最小值为f(a)＝2a2－1，
f(x)的最大值为f(0)，f(1)中的较大者．
设f(1)>f(0)，
即3a2－2a>3a2－1?a<.
因此，当0f(x)的最大值为3a2－2a；
当≤a<1时，f(x)的最大值为3a2－1.
(2)依题意，得
或
可以解得a＝.
因为0<<，
故此时f(x)的最大值为3a2－2a.
当a＝时，
为3×2－2×＝－.
12．已知函数f(x)＝－x2＋(3＋k)x＋3，其中k为常数．
(1)若f(2)＝3，求函数f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，设g(x)＝f(x)－mx，若g(x)在区间[－2,2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)是否存在k使得f(x)在[－1,4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)f(2)＝－4＋2(3＋k)＋3＝3，
∴k＝－1.
∴f(x)＝－x2＋2x＋3.
(2)g(x)＝－x2＋(2－m)x＋3，其对称轴为x＝，
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，
∴≥2，或≤－2.
∴m≤－2，或m≥6.
(3)f(x)的对称轴为x＝，
①当≤－1，
即k≤－5时，f(x)在[－1,4]上单调递减．
∴f(－1)＝－1－(3＋k)＋3＝4.
∴k＝－5.
②当－1<<4，即－5f(x)在上单调递增，在上单调递减，
∴f＝－＋＋3＝4.
∴k＝－1，或k＝－5(舍去)．
∴k＝－1.
③当≥4，即k≥5，f(x)在[－1,4]上单调递增，
∴f(4)＝－16＋4 (3＋k)＋3＝4，k＝(舍去)．
综上所述，k＝－5，或k＝－1.
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13．若对于一切x∈，使得ax2－2x＋2>0都成立，则a的取值范围为( )
A．a≥ B．a>
C．a≥－4 D．a>4
解析 a>＝－2·＋.
设＝t∈，
∴令f(t)＝－2t2＋2t.
∴f(t)∈.
∴－2·＋在x∈上的最大值为.
∴a>.
答案 B??
∴－2·＋在x∈上的最大值为.
∴a>.
双基限时练(十五) 待定系数法
基 础 强 化
1．已知某一次函数过点(3,2)，且在x轴、y轴上的截距相等，则这个一次函数的解析式为( )
A．y＝x
B．y＝－x＋5
C．y＝x，或y＝－x＋5
D．y＝－x，或y＝x－5
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
由题意可知∴或
∴该一次函数的解析式为y＝x，或y＝－x＋5.
答案 C
2．若函数f(x)＝(x≠)在定义域内恒有f[f(x)]＝x，则m的值为( )
A．3 B.
C．－ D．－3
解析 f[f(x)]＝＝.
即＝x恒成立．
∴4m－12＝0，∴m＝3.
答案 A
3．设函数f(x)＝若f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得解得
∴f(x)＝
令f(x)＝x，得x＝2或x＝－2.
答案 B
4．若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图象的顶点在y轴上，则m的值是( )
A．0 B．±1
C．±2 D．±
解析 由题意可知，二次函数的对称轴为y轴，∴＝0，∴m＝0.
答案 A
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过P(3,0)，则a－b＋c的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析 ∵抛物线的对称轴为x＝1，且它经过P(3,0)，
∴抛物线也经过(－1,0)，
∴a－b＋c＝0.
答案 A
6．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析 设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.
答案 D
7．已知函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为________．
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3，满足图象与x轴有一个交点；
当a≠0时，Δ＝4＋12a＝0，∴a＝－.
综上所述，a＝0，或a＝－.
答案 0或－
8．若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为________．
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
当k>0时， 解得
当k<0时，解得
∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.
答案 f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋
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9．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，则这个二次函数的解析式为______________________．
解析 由题意，知抛物线的对称轴为x＝4，抛物线与x轴的两交点的坐标是(1,0)与(7,0)，如图所示．
设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)，将三个点的坐标代入，得解得
∴所求二次函数的解析式为y＝x2－x＋.
答案 y＝x2－x＋
10.
已知y＝f(x)的图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数的值域．
解 由图象可知①：当0≤x≤2时，f(x)是一次函数．
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则即
故f(x)＝－2x＋2.
②当2③当3≤x≤5时，f(x)是一次函数．
设f(x)＝mx＋n(m≠0)，
则
解得此时f(x)＝x－5.
综上可知，f(x)的解析式为
f(x)＝
由图可知该函数的值域为[－2,2]．
11．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，－5)，且与正比例函数y＝x的图象相交于点(2，a)．
(1)求a的值；
(2)求一次函数的解析式．
解 (1)a＝×2＝1.
(2)∴∴y＝2x－3.
12．定义在[－6,6]上的奇函数f(x)，在[0,3]上为一次函数，在[3,6]上为二次函数，且x∈[3,6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．
解 当x∈[3,6]时，∵f(x)≤f(5)＝3，
∴可设f(x)＝a(x－5)2＋3.
∵f(6)＝2，∴f(6)＝a(6－5)2＋3＝2，解得a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3，x∈[3,6]，
即f(x)＝－x2＋10x－22，x∈[3,6]．
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
即x∈ [0,3]和x∈[3,6]时，f(x)均过点(3，－1)．
∵x∈[0,3]时，f(x)为一次函数，
∴可设f(x)＝kx＋b.
∵f(x)在x∈[－6,6]上是奇函数，
∴f(0)＝0，∴b＝0，即f(x)＝kx，
将点(3，－1)代入，得－1＝3k，∴k＝－，
∴f(x)＝－x，x∈[0,3]，
∴f(x)＝
又∵f(x)为奇函数，
∴x∈[－3,0]时，f(x)＝－f(－x)＝－x；
x∈[－6，－3]时，
f(x)＝－f(－x)＝(－x－5)2－3＝(x＋5)2－3.
即f(x)＝x2＋10x＋22，x∈[－6，－3]．
∴f(x)＝
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13．已知一个二次函数y＝f(x)，f(0)＝3，又知当x＝－3或x＝－5时，这个函数的值都为0，求其解析式．
解 设y＝f(x)＝a(x＋3)(x＋5)(a≠0)，
由f(0)＝3，得
3＝a(0＋3)(0＋5)，
∴a＝.
∴y＝(x＋3)(x＋5)＝x2＋x＋3.
∴f(x)＝x2＋x＋3.
双基限时练(六) 变量与函数的概念
基 础 强 化
1．下列各式中，函数的个数是( )
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 ①②③为函数．
答案 B
2．已知函数f＝，则f(2)＝( )
A. B.
C. D．3
解析 f(2)＝f＝＝.
答案 C
3．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析 A中两函数定义域不同，B、D中两函数对应法则不同，C中定义域与对应法则都相同．
答案 C
4．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}，则f(x)的值域为( )
A．0,2,3 B．0≤y≤3
C．{0,2,3} D．[0,3]
解析 函数的值域是当自变量在定义域内取值时，由函数值构成的集合．
答案 C
5．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩{(x，y)|x＝2}中元素的个数为( )
A．1 B．0
C．1或0 D．1或2
解析 当2∈[a，b]时，该集合中有1个元素，当2?[a，b]时，该集合为空集．
答案 C
6．设f(x)的定义域为[1,2)，则函数f(1－x)的定义域为( )
A．[1,2) B．(－1,0]
C． [－1,0) D．[0,1)
解析 令1≤1－x<2，则－1答案 B
7．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7，∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案 {－1,1,3,5,7}
8．已知集合M＝{x|y＝x2＋1}，N＝{y|y＝x2＋1}，则M∩N等于________．
解析 根据集合中元素的特征性质及函数的定义域、值域的概念，得
M＝R，N＝[1，＋∞)，
∴M∩N＝[1，＋∞)．
答案 [1，＋∞)
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9．已知函数f(x)＝x2－4，g(x)＝2x＋1，则f[g(－1)]的值为________．
解析 g(－1)＝2×(－1)＋1＝－1.
∴f[g(－1)]＝f(－1)＝(－1)2－4＝－3.
答案 －3
10．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝－；
(2)g(x)＝.
解 (1)要使函数f(x)有意义，只需要
即∴∴f(x)的定义域为∪(3,4]．
(2)要使函数g(x)有意义，只需要
∴
∴－4≤x<－3，或－31，
∴f(x)的定义域为[－4，－3)∪(－3,1)∪(1，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现．
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，
f＝＝，
f(3)＝＝，
f＝＝.
(2)由(1)发现f(x)＋f＝1.
证明如下：
f(x)＋f＝＋
＝＋＝1.
12．已知函数f(x)＝4x－1，g(x)＝x＋1.
(1)若f[g(x)]＝15，求x的值；
(2)若函数g(x)的定义域为(1,2)，求函数f[g(x)]与g[f(x)]的定义域．
解 (1)f[g(x)]＝4(x＋1)－1＝4x＋3.
∵f[g(x)]＝15，∴4x＋3＝15，x＝3.
(2)∵g(x)的定义域为(1,2)，
∴f[g(x)]的定义域为(1,2)．
g[f(x)]的定义域满足1即1<4x－1<2，∴∴g[f(x)]的定义域为.
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13．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
解析 由－1<2x＋1<0，解得－1答案 B
双基限时练(七) 映射与函数
基 础 强 化
1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下列结论中正确的是( )
A．B是A中所有元素的象的集合
B．B中每一个元素在A中都有原象
C．B中每一个元素在A中有唯一的原象
D．A中每一个元素在B中必有象且唯一
解析 从集合A到集合B的映射中，集合B中的元素可以有剩余，也可以是多对一，故A、B、C均错．
答案 D
2．设函数f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B等于( )
A．? B．{1}
C．?或{2} D．?或{1}
解析 集合A中的元素可以由－1，－，1，中的一个或多个元素构成，故A∩B＝?或A∩B＝{1}．
答案 D
3．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是( )
解析 按照映射的定义，C选项不正确．
答案 C
4．设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋的象和B中元素－1的原象分别为( )
A.，0或2 B．0,2
C．0,0或2 D．0,0或
解析 x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2(1＋)－1＝0.
∴1＋的象为0.当x2－2x－1＝－1时，x＝0或2.
∵x>0，∴x＝2，即－1的原象是2.
答案 B
5．已知集合A＝[0,4]，B＝[0,2]，按照对应关系不能成为A到B的映射的一个是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x－2
C．f：x→y＝ D．f：x→y＝|x－2|
解析 按照B选项中的对应法则，集合A中在[0,2)中元素在集合B中没有元素与之对应，故B选项中的对应法则不是映射．
答案 B
6．已知a，b是两个不相等的实数，M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( )
A．1 B．4
C．3 D．2
解析 ∴a，b是方程x2－4x＋2＝0的两根，∴ a＋b＝4.故选B.
答案 B
7．设f，g都是由A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应法则如下表：
A
1
2
3
f：x→y
1
1
2
g：x→y
3
2
1
则f(g(3))的值等于________．
解析 g(3)＝1，∴f[g(3)]＝f(1)＝1.
答案 1
8．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}．从A到B的对应法则分别是：
(1)f：x→y＝x；
(2)f：x→y＝x－2；
(3)f：x→y＝；
(4)f：x→y＝|x－2|.
其中能构成一一映射的是________．
解析 对于(2)中的对应法则，当x＝0时，对应的y＝－2，而－2?B；对于(4)中的对应法则，当y＝2时，对应的x＝0或4，由于x的值不唯一，所以不符合一一映射的定义．只有(1)、(3)中的对应法则符合一一映射的定义．
答案 (1)(3)
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9．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R.从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射A中元素1在C中的象为________．
解析 A中元素1在B中的象为1，B中元素1在C中的象为，故A中元素1在C中的象为.
答案
10．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，若对于实数a∈B，在集合A中不存在原象，求a的取值范围．
解 ∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴y≤1，即对于集合A中的任意一个元素在集合B中的象均小于等于1，
∴当a>1时，a在集合A中没有原象．
11．设映射f：A→B，其中A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应于B中元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)求集合A中元素(3,4)的象；
(2)求集合B中元素(3,4)的原象；
(3)是否存在这样的元素(a，b)，使它的象仍是自己？若有，求出这个元素．
解 (1)由题意可得
∴(3,4)在B中的象为(2,23)．
(2)设(3,4)在A中的原象为(a，b)．
∴∴
∴B中元素(3,4)的原象为.
(3)设存在元素(a，b)，使它的象是它自己．
则∴
∴的象是它本身．
12．已知A＝{a，b，c}，B＝{－2,0,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求满足条件的映射的个数．
解 (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有一个映射；
(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.
(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.
因此满足条件中的映射共有7个．
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13．给定从集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，集合A、B都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f下，集合A中对应到集合B中元素(3,1)的元素是________．
解析 由得
答案 (1,1)
双基限时练(八) 函数的表示方法
基 础 强 化
1．已知f(2x＋1)＝1－2x，则f(1)的值为( )
A．－1 B．3
C． 1 D．0
解析 f(2x＋1)＝1－2x＝－(2x＋1)＋2，
∴f(x)＝－x＋2，∴f(1)＝－1＋2＝1.
答案 C
2．函数y＝＋1的图象是下列图象中的( )
解析 y＝＋1的图象是反比例函数y＝向右移一个单位，再向上移一个单位得到的，故选A.
答案 A
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )
A．100元 B．90元
C．80元 D．60元
解析 若定价100元，则收入为6500元；若定价90元，则收入为6750元；若定价80元，则收入为6800元；若定价60元，则收入为5700元．故每间客房定价80元，收入最高．
答案 C
4．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x－3 D．2x＋7
解析 g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴g(x)＝2x－1.
答案 B
5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出口水速度如图①、②所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③所示(至少打开一个水口)．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 ①正确，②③错误．
答案 C
6．已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f(0)等于( )
A．－3 B．－
C. D．3
解析 令g(x)＝0，则x＝，
∴f(0)＝f＝＝3.
答案 D
7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
解析 由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.
答案 2
8．已知函数f(x)＝x2－2x，则函数f(x＋1)＝________.
解析 f(x＋1)＝(x＋1)2－2(x＋1)＝x2－1.
答案 x2－1
能 力 提 升
9．已知f(x)＝，则2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝________.
解析 f＝，∴f(x)＋f＝1，
∴2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝4.
答案 4
10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式．
解 ∵f(0)＝1，∴设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)．
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－(ax2＋bx)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x，∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点、连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．
(1)设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．
解 (1)由题意，知P＝30＋x.
(2)由题意知，活蟹的销售额为(1000－10x)(30＋x)元．
死蟹的销售额为200x元．
∴Q＝(1000－10x)(30＋x)＋200x＝－10x2＋900x＋30000.
品 味 高 考
13．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析 解法1：取特殊值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.
解法2：设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，＝＝m＝，当6<α≤9时，＝＝m＋1＝＋1，所以选B.
答案 B
双基限时练(九) 分段函数
基 础 强 化
1．已知f(x)＝则f(－)＝( )
A．2 B．－2
C．3＋1 D．－3＋1
解析 ∵－<0，∴f(－)＝2.
答案 A
2．已知f(x)＝则f的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 由已知，得f＝f＋1＝f＋1＝f＋2＝f＋2＝3×＋2＋2＝2.
答案 A
3．函数y＝的最大值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由该函数的图象可知，当x＝1时，y的最大值为4.
答案 B
4．函数f(x)＝则函数的值域是( )
A．[2,5] B．{2,4,5}
C．(0,20) D．N
解析 f(x)的值域为{2}∪{4}∪{5}＝{2,4,5}．
答案 B
5．函数f(x)＝x＋的图象是( )
解析 f(x)＝注意x≠0.
答案 A
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
答案 A
7．设函数f(x)＝则f＝________.
解析 f＝－＝－2，
f＝f(－2)＝＝.
答案
8．已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
解析 当时，x＝－3.
当时，方程组无解，所以x＝－3.
答案 －3
能 力 提 升
9．已知函数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
解析 当a>0时，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
∵f(1－a)＝f(1＋a)，
∴2－a＝－3a－1，解得a＝－(舍去)．
当a<0时，f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
∵f(1－a)＝f(1＋a)，
∴－a－1＝2＋3a，解得a＝－.
综上，a的值为－.
答案 －
10．已知函数f(x)＝
(1)求f，f，f(4.5)，f；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
解 (1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f＝f(2)＝2×2＝4.
因为4.5∈(1，＋∞)，故f(4.5)＝2×4.5＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
所以a的值为－3或3.
11．已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图象；
(2)求f(1)，f(－1)的值．
解 (1)如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－＝1.
12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．
解 由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝
品味 高 考
13．设函数f(x)＝则f的值为( )
A. B．－
C. D．18
解析 f(2)＝4，则f＝f＝1－＝.
答案 A
