双基限时练(十四)
基 础 强 化
1．下列命题中，正确的是( )
A．向量的数量是一个正实数
B．一个向量的坐标就是这个向量终点坐标
C．向量的数量等于d(A，B)
D．两个向量相等，它们的坐标也相等
解析 向量的数量可以是任意实数，由于d(A，B)≥0，故A、C都错误；向量的坐标等于它终点的坐标减去它起点坐标，故B错误．
答案 D
2．已知数轴上M(－2)，N(x)，MN＝－3，则x的值为( )
A．5 B．－5
C．1 D．－1
解析 x－(－2)＝－3，x＝－5.
答案 B
3．已知数轴上两点A(－4)，B(1)，则d(A，B)＝( )
A．5 B．－5
C．3 D．－3
解析 d(A，B)＝|－4－1|＝5.
答案 A
4．若数轴上两点A(6)，B (2)，则＝( )
A．3 B.
C．1 D．－1
解析 |AB|＝|BA|＝|6－2|＝4，∴＝1.
答案 C
5．将点A(－2)沿x轴的负方向移动3个单位得到B点，则BA的值为( )
A．5 B．－5
C．－3 D．3
解析 BA＝－2－(－2－3)＝3.
答案 D
6．如图所示，设是x轴上的一个向量，O是原点，则下列各式不成立的是( )
A．OA＝|| B．OB＝||
C．AB＝OB－OA D．BA＝OA－OB
解析 B不成立，因为OB<0，||>0.
答案 B
7．已知数轴上有三点A、B、C，且A(－1)，AB＋BC＝3，则C点的坐标为________．
解析 AB＋BC＝AC＝3，∵A(－1)，∴C(2)．
答案 (2)
8．如图中，AB＝__________，CB＝__________，|CB|＝__________.
解析 AB＝1－(－2)＝3，CB＝1－4＝－3，
∴|CB|＝|－3|＝3.
答案 3 －3 3
能 力 提 升
9．当数轴上三点A，B，O互不重合时，它们的位置关系有六种不同的情形，其中使AB＝OB－OA和||＝||－||同时成立的情况的种数有________．
解析 AB＝OB－OA对A、B、O的任意位置关系均成立，满足||＝||－||的位置关系有如下两种关系：
①，
②.
答案 2
10．已知A、B、C是数轴上的三个点，满足A(2)、B(－6)、AC＝2.求：
(1)点C的坐标；
(2)线段BC的中点D的坐标．
解 (1)设点C的坐标为x1.
∵AC＝2，∴x1－2＝2.∴x1＝4，∴ C(4)．
(2)解法1 设点D的坐标为x2，
∵D为线段BC中点，∴＝，
∴x2－(－6)＝4－x2，∴x2＝－1，∴D(－1)．
解法2 D点坐标为＝－1，即D(－1)．
11．已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.
(1)求向量、的数量；
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．
解 (1)∵A与原点的距离为3，
∴A(3)或A(－3)．
当A(3)时，∵A、B距离为1，
∴B(2)或B(4)，这时的数量为3，的数量为－1或1，
当A(－3)时，∵A、B距离为1，
∴B(－4)或B(－2)，
此时的数量为－3，的数量为－1或1.
(2)满足条件的所有点B到原点的距离和为s＝2＋4＋4＋2＝12.
12．已知A、B、C是数轴上任意三点．
(1)若AB＝5，CB＝3，求AC；
(2)证明：AC＋CB＝AB.
解 (1)∵AC＝AB＋BC，
∴AC＝AB－CB＝5－3＝2.
(2)证明 设数轴上A、B、C三点的坐标分别为xA、xB、xC，则AC＋CB＝(xC－xA)＋(xB－xC)＝xB－xA＝AB，∴AC＋CB＝AB.
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13．下列说法正确的个数有( )
①数轴上的向量的坐标一定是一个实数 ②向量的坐标等于向量的长度 ③向量与向量的长度一样
④如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①③④是正确的，故选C.
答案 C??
双基限时练(十五)
基 础 强 化
1．在x轴上与点A (5,12)距离为13的点的坐标为( )
A．(0,0) B．(10,10)
C．(0,0)或(10,0) D．(0,0)或(－10,0)
解析 设x轴上的点的坐标为(x0,0)，
则＝13，∴x0＝0，或x0＝10.
∴x轴上(0,0)和(10,0)到点A的距离为13.
答案 C
2．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2,2)，C(4，－2)，则△ABC在AB边上的中线长为( )
A．5 B．4
C. D.
解析 AB中点为D(－1，－1)，|CD|＝.
答案 D
3．以三点A(，2)，B(0,1)，C(0,3)为顶点的三角形的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析 |AB|＝＝2，
同理可知：|BC|＝|AC|＝2，
∴△ABC是等边三角形．
答案 D
4．已知三点A(0,1)，B(a,3)，C(4,5)在同一直线上，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 由A、B、C三点纵坐标可知，B是AC中点，
∴a＝＝2.
答案 B
5．如果一条平行于y轴的线段长为3个单位，其中它的一个端点为(－1,2)，那么它的另一个端点为( )
A．(－1，－1)或(－1,5) B．(2，－1)或(2,5)
C．(2,2)或(－4,2) D．(1，－1)或(1,5)
解析 设另一端点为(－1，y)，则|y－2|＝3，
∴y＝－1，或y＝5.
答案 A
6．已知A(5,2)，B(－3,4)，若A、B两点在y轴上的射影分别是A′、B′，则d(A′，B′)的值为( )
A．－2 B．2
C．8 D．－8
解析 A在y轴上的射影为(0,2)，B在y轴上的射影为(0,4)，∴d(A′，B′)＝|4－2|＝2.
答案 B
7．已知点M(2,2)平分线段AB，且A(x,3)，B(3，y)，则x＝__________，y＝__________.
解析 ∵点M(2,2)平分线段AB，∴＝2，＝2，解得x＝1，y＝1.
答案 1 1
8．已知A(3，－2)关于点B的对称点为(7,6)，则点B关于点A的对称点为________．
解析 B为(3，－2)与(7,6)中点，∴B(5,2)．
∴点B关于点A的对称点为(1，－6)．
答案 (1，－6)
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9．已知A(1,1)，B(4,3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
解析 如图所示，作A关于x轴的对称点A′(1，－1)，
则|PA′|＝|PA|.
∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|.
∵|A′B|＝＝5，
∴|PA|＋|PB|≥5.
故|PA|＋|PB|的最小值为5.
答案 5
10．如图所示，等边△ABC的顶点A的坐标为(－，0)，点B，C在y轴上．
(1)写出B，C两点的坐标；
(2)求△ABC的面积和周长．
解 (1)如题图所示，∵△ABC为等边三角形，|AO|＝，
∴|OC|＝1，|OB|＝1，
即B，C两点的坐标分别为
B(0，－1)，C(0,1)．
(2)由(1)得|BC|＝2，
∴△ABC的周长为6，面积为×2×＝.
11．在直线y＝x＋1上求一点P，使得P到Q(2,0)的距离最小，求出P点坐标及d(P，Q)的最小值．
解 设P(x，x＋1)，则
d(P，Q)＝
＝＝ ，
∴当x＝时，d(P，Q)的最小值为，
即P的坐标为(，)时，d(P，Q)的最小值为.
12.
河流的一侧有A，B两个村庄，如图所示，两村庄为了发展经济，计划在河上共建一小型水电站供两村使用．已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m，且两村相距500 m．问：建水电站所需的最省的电线长是多少？
解 如图所示，以河边所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,300)，B(400,600)．
设A关于x轴的对称点为A′，则
A′(0，－300)，且d(A′，B)
＝
＝100，由三角形三边的性质及对称性，知需要的最省的电线长即为线段A′B的长，所以所需的最省的电线长为100 m.
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13.＋的几何意义是__________________________，函数y＝＋的最小值为________．
答案 点(x,0)到两定点(0,2)和(－2,3)的距离之和
双基限时练(十六)
基 础 强 化
1．下列命题正确的个数为( )
①若α是直线l的倾斜角，则α∈[0°，180°)；②任何直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率；③任何直线都存在斜率，但不一定存在倾斜角；④任何直线都存在倾斜角和斜率．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 任何直线都存在倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．故正确的是①②.
答案 B
2．直线l过点P(－2，a)，Q(a,4)，若直线l的斜率为1，则a的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D．1或－4
解析 kPQ＝＝1，∴a－4＝－2－a，∴a＝1.
答案 A
3．已知直线y＝(3a－1)x＋2的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为( )
A．a< B．a>
C．a>3 D．a<3
解析 直线y＝(3a－1)x＋2的斜率为3a－1，
∵该直线的倾斜角为钝角，∴3a－1<0，∴a<.
答案 A
4．设点P在y轴上，点M与点N关于y轴对称，若直线PM的斜率为2，则直线PN的斜率为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析 设P(0，y0)，M(a，b)，则N(－a，b)．
∵kPM＝＝2，∴＝－2，
∴kPN＝＝－2.
答案 B
5．已知M(1,2)，N(4, 3)，直线l过点P(2，－1)且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是( )
A．[－3,2]
B.
C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
D.∪
答案 C
6．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b)，则a，b的值为( )
A．a＝4， b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
解析 ＝＝2，∴a＝4，b＝－3.
答案 C
7．过原点引直线l，使l与连接A(1,1)和B(1，－1)两点间的线段相交，则直线l的倾斜角θ的取值范围是__________．
答案 0°≤θ≤45°或135°≤θ＜180°
8．已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，如图所示，则k1，k2，k3的大小关系为________．
解析 由于l3过二、四象限，故l3的斜率小于0，l1与l2过一、三象限，故它们的斜率大于0，因为l2倾斜角大于l1的倾斜角，∴k2>k1>0.
答案 k2>k1>k3
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9．已知点M(5,3)和点N(－3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和－，则P的坐标为________．
解析 设P(x，y)，则＝2，＝－.
∴x＝1，y＝－5，故P(1，－5)．
答案 (1，－5)
10．如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C (0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解 直线AB的斜率
kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝－；
直线CA的斜率kCA＝＝1.
由kAB>0及kCA>0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．
11．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，使得直线AB的斜率等于2，求出点B的坐标．
解 如果点B在x轴上，可设B(x0,0)，x0≠3.则直线AB的斜率k＝＝2，解得x0＝1，即B(1,0)；如果点B在y轴上，可设B(0， y0)，y0≠4.则直线AB的斜率k＝＝2，解得y0＝－2，即B(0，－2)．
12．已知直线l：y＝ax＋2和两点A(1,4)，B(3,1)，当直线l与线段AB相交时，求实数a的取值范围．
解 如图所示，直线l过定点C(0,2)，
直线BC的斜率kCB＝＝－，直线AC的斜率kCA＝＝2，直线l的斜率kl＝a.
当直线l与线段AB相交时，kCB≤kl≤kCA，
∴－≤a≤2.
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13．下列四个命题：
①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
②直线l的倾斜角要么是锐角，要么是钝角
③已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线l的斜率k＝
④若直线l的方程是ax＋by＋c＝0，则直线l的斜率k＝－.
其中正确命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析 根据倾斜角的定义知，①正确；倾斜角θ的范围为0°≤θ＜180°，②不正确；当x1＝x2时，直线P1P2的斜率k不存在，不能用公式k＝求解，③不正确；当b＝0时，直线斜率不存在，④不正确．故选C.
答案 C
双基限时练(十七)
基 础 强 化
1．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是( )
A．y＋＝(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2＝(x＋) D．y－2＝(x＋)
解析 由题意直线的斜率k＝tan30°＝，又因直线经过点(－，2)，所以直线方程为y－2＝(x＋)．
答案 C
2．已知直线方程y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过定点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过定点(－2，－1)，斜率为1
C．直线经过定点(1，－2)，斜率为－1
D．直线经过定点(－1，－2)，斜率为－1
解析 ∵y－(－2)＝－[x－(－1)]，
∴该直线过(－1，－2)，斜率为－1.
答案 D
3．下列四个命题中的真命题是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
解析 直线的点斜式方程与斜截式方程不能表示斜率不存在的直线方程；直线的两点式方程与截距式方程不能表示斜率为0与斜率不存在的直线，另外截距式方程还不能表示过原点的直线．故选B.
答案 B
4．直线2x－3y＋6＝0的截距式方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 直线2x－3y＋6＝0的横、纵截距分别为x＝－3和y＝2，∴它的截距式方程为＋＝1.
答案 B
5．直线l经过(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为( )
A．x＋2y＋6＝0 B．x－2y－6＝0
C．2x－y＋6＝0 D．2x－y－6＝0
解析 设所求直线方程为y＝kx＋6.∵过(－2,2)，
∴－2k＋6＝2，∴k＝2，故l：2x－y＋6＝0.
答案 C
6．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是( )
答案 D
7．过点(3，－4)且平行于x轴的直线方程为__________．
答案 y＝－4
8．若点M(a,12)在过点A(1,3)，B(5,7)的直线上，则a＝________.
解析 过A、B的直线方程为x－y＋2＝0，
∵M(a,12)在直线AB上，
∴a－12＋2＝0，∴a＝10.
答案 10
能 力 提 升
9．经过点(4,9)，且在y轴上的截距为－3的直线方程为________．
解析 k＝＝3，∴y－9＝3(x－4)，
即3x－y－3＝0.
答案 3x－y－3＝0
10．直线l过(－3,2)，(9，－1)两点，求直线l的方程．
解 ＝，∴4y－8＝－x－3，
∴x＋4y－5＝0.
∴直线l的方程为x＋4y－5＝0.
11．直线l过A(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于M、N两点，若点A恰好为MN中点，求直线l的方程．
解 设M(m,0)，N(0，n)，∵A为MN中点，
∴∴∴M(－4,0)，N(0,6)．
∴l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0.
12．过点(－5，－4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴所围成的三角形面积为5.
解 方法一：设直线l的方程为y＋4＝k(x＋5)，分别令y＝0，x＝0，得l在x轴、y轴上的截距为：a＝，b＝5k－4.由条件得ab＝±10，∴·(5k－4)＝±10，得25k2－30k＋16＝0无实数解；或25k2－50k＋16＝0，解得k1＝，k2＝.故所求的直线方程为8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
方法二：设l的方程为＋＝1，
因为l经过点(－5，－4)，则有＋＝1.①
又∵ab＝±10，②
联立①、②，得方程组
解得或
因此，所求直线方程为8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
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13．过点A(1,4)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 当直线经过原点时，横截距、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为＋＝1，由题意得解得或
综上可知，符合题意的直线共有3条．
答案 C
双基限时练(十八)
基 础 强 化
1．直线mx－y－m＋2＝0经过一定点，则该点的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(2，－1) D．(2,1)
解析 m(x－1)－y＋2＝0，∴当x＝1时，y恒等于2，故该直线恒过(1,2)．
答案 B
2．若直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，则m和n的值分别是( )
A．4,3 B．－4,3
C．4，－3 D．－4，－3
解析 令x＝0，则y＝－＝4，∴n＝－3.
令y＝0，则x＝－＝－3，∴m＝4.
答案 C
3．若方程(6a2－a－2)x＋ (3a2－5a＋2)y＋a－1＝0表示平行于x轴的直线，则a的值为( )
A. B．－
C.或－ D．1
解析 ∴a＝－.
答案 B
4．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
解析 直线方程可以变式为y＝－x＋，
∵ab<0，bc<0，∴－>0，<0，
∴直线过一、三、四象限．
答案 C
5．若直线l与直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A、B两点，且AB的中点为P(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
解析 设直线l与直线y＝1交于A(x1,1)，与直线x－y－7＝0交于B(x2，y2)，∵AB中点为P(1，－1)，∴y2＝－3，代入直线x－y－7＝0中可得x2＝4，∴B(4，－3)，∴k＝＝－.
答案 D
6．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是 ( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
解析 ∵P点在直线PA上，故P(2,3)，A(－1,0)．
设B(x,0)(x≠－1)，∵|PA|＝|PB|，
∴＝.∴x＝5.
∴B(5,0)．
∴直线PB的方程为x＋y－5＝0.
答案 A
7．已知两点A(－1，－2)，B(2,4)，直线l：ax＋3y－5＝0通过线段AB的中点，则a＝__________.
解析 由中点公式得AB的中点为，
∴a＋3－5＝0，∴a＝4.
答案 4
8．已知3a＋2b＝5，其中a、b是常数，则直线ax＋by－10＝0必过定点________．
解析 ∵3a＋2b＝5，∴6a＋4b－10＝0，∴直线ax＋by－10＝0过定点(6,4)．
答案 (6,4)
能 力 提 升
9．已知A(2,1)，B(－4,7)，则经过AB中点且在y轴上的截距为－2的直线方程为____________________．
解析 AB中点(－1,4)，设直线方程为y＝kx－2，∵该直线过AB中点，∴4＝－k－2，∴k＝－6，∴直线方程为6x＋y＋2＝0.
答案 6x＋y＋2＝0
10．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点．
解 (1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(3)由两点式方程得＝，即2x＋y－3＝0.
11．设直线l的方程为(m＋1)x＋y＋(2－m)＝0，证明：l恒过第四象限．
证明 直线l的方程可化为(x－1)m＋x＋y＋2＝0，
令∴∴l过定点(1，－3)．
∵点(1，－3)在第四象限，∴l恒过第四象限．
12．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解 (1)设M(0，m)，N(n,0)，
则
∴xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3.
∴点C的坐标为(－5，－3)．
(2)∵2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5，故m＝－.
2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1.
∴直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
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13．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋3y－2＝0
解析 ∵x－y＋－1＝0的斜率为1，∴倾斜角为45°.
∴l的斜率为tanα＝tan60°＝，
l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x.
答案 B
双基限时练(十九)
基 础 强 化
1．直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．平行 B．不平行
C．平行或重合 D．既不平行又不重合
答案 C
2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，则a的值为( )
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1或2
解析 当a≠0时，a＋1＝≠2，∴a＝－2.
当a＝0时，两直线相交．
综上所述，a＝－2.
答案 B
3．直线l1：x＋4y－2＝0与直线l2：2x－y＋5＝0的交点坐标为( )
A．(－6,2) B．(－2,1)
C．(2,0) D．(2,9)
解析 ∴
∴两直线的交点坐标为(－2,1)．
答案 B
4．已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 因为MN∥PQ，所以kMN＝kPQ，即＝，解得m＝－1.
答案 B
5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案 A
6．直线Ax＋4y－1＝0和直线3x－y－C＝0重合的条件是( )
A．A＝12，C≠0 B．A＝－12，C＝
C．A＝－12，C≠－ D．A＝－12，C＝－
解析 ∵两条直线重合，
∴＝＝，A＝－12，C＝－.
答案 D
7．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程为________．
解析 设所求直线为2x＋3y＋c＝0，
当x＝0时，y＝－；当y＝0时，x＝－，
∴－－＝，∴c＝－4.
答案 2x＋3y－4＝0
8．三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a＝__________.
解析 ax＋2y－3＝0分别与x－2y＋1＝0和x＋3y－1＝0平行，可得出a＝－1或a＝.
答案 －1或
能 力 提 升
9．若直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是________．
答案
10．已知直线l1：经过点A(1,1)和B(3,2)，直线l2：2x－4y－3＝0.
(1)求直线l1的方程；
(2)判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由．
解 (1)＝，∴x－2y＋1＝0.
∴直线l1的方程为x－2y＋1＝0.
(2)直线l1的斜率为，在y轴上的截距为，直线l2的斜率为，在y轴上的截距为－.
∵两条直线的斜率相等，在y轴上的截距不相等，
∴l1与l2平行．
11．已知直线l1：x＋my＋6＝0， l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：
(1)l1与l2相交；
(2)l1∥l2；
(3)l1与l2重合．
解 (1)当m＝0时，
l1与l2相交．
当m＝2时，l1与l2相交．
当≠，即m2－2m－3≠0，即m≠－1且m≠3时，l1与l2相交(这里也包含了m＝0或m＝2的情况)．
综上所述，当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交；
(2)当＝≠，即m＝－1时，l1∥l2；
(3)当＝＝，即m＝3时，l1与l2重合．
12．是否存在实数a，使三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0围成一个三角形？请说明理由．
解 ①当＝≠时，l1∥l2，解得a＝－1；
②当＝≠时，l1∥l3，无解；
③当＝≠时，l2∥l3，无解；
④当l1与l2，l3相交于同一点时，由
得交点(－1－a,1)，将其代入ax＋y＋1＝0，
得a＝－2或a＝1.
故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形．
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13．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )
A．－3，－4 B．3,4
C．4,3 D．－4，－3
解析 由方程组得交点B(1,2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0.又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－，≠.解得a＝3，b＝4.
答案 B
双基限时练(二十)
基 础 强 化
1．经过点(3，a)，(－2,0)的直线与直线x－2y＋3＝0垂直，则a的值为( )
A. B.
C. 10 D．－10
解析 ＝－2，∴a＝－10.
答案 D
2．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0
解析 kAB＝＝－1，AB中点，
∴直线l的斜率为1，且经过点，
∴y－＝x－，即x－y＋1＝0.
答案 D
3．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
解析 2m－20＝0，∴m＝10.
∴10＋4p－2＝0，∴p＝－2.
∴2＋10＋n＝0，∴n＝－12.
∴m－n＋p＝20.
答案 B
4．△ABC的顶点是A(3,6)，B(2,3)，C(－2,4)，则AB边上的高线所在直线方程为( )
A．x＋3y－10＝0 B．x＋3y＋10＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0
解析 kAB＝＝3，∴k高＝－.
∴高线所在直线：y－4＝－(x＋2)，即x＋3y－10＝0.
答案 A
5．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(2,1)
C．(2,3) D．(－2，－1)
解析 kMN＝2，∴lMN：y＝2x－1.
∴x＝2，y＝3，∴N(2,3)．
答案 C
6．入射光线在直线l1：2x－y－3＝0上，经过x轴反射后所在直线为l2，再经过y轴反射后所在直线为l3，则直线l3的方程为( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y＋3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y＋6＝0
解析 根据光的反射原理，l1与l2关于x轴对称，
l2与l3关于y轴对称，
∴直线l1与l3关于原点对称．
∵l1：2x－y－3＝0，∴l3：2x－y＋3＝0.
答案 B
7．过点(1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线方程为_________________________________________________________．
解析 直线x＋2y－1＝0的斜率为－，
故所求直线的斜率为2，∴y－3＝2(x－1)，
即2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
8．若直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直，则m＝________.
解析 由(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，得
(m＋2)·(4m－2)＝0，∴m＝－2或.
答案 －2或
能 力 提 升
9．M(－1,0)关于直线x＋2y－1＝0的对称点M′的坐标为________．
解析 设M′的坐标为(x0，y0)，
∴∴
∴M.
答案 M
10．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
解 方法一 先解方程组得l1与l2的交点(－1, 2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，
即5x＋3y－1＝0.
方法二 ∵l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1与l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.
方法三 ∵l过l1与l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.其斜率为－＝－，解得λ＝，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
11．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，试求点D的坐标．
解 设D(x，y)，则kAB＝＝1，kBC＝＝－，
kCD＝，kDA＝.
∵AB⊥CD，AD∥BC，
∴kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC.
∴
解得即D(10，－6)．
12．已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
解 (1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，
则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
∴
解之得
即P′点的坐标为.
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，
则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．
由
得
把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，
得7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得，x＋2y－4＝0，
即直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
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13.
如图，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．
解 设点A，C的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)．
∵AB⊥CE，kCE＝－，
∴kAB＝－＝.
∴直线AB的方程为3x－2y－1＝0.
由得A(1,1)．
∵D是BC的中点，
∴D.
而点C在直线CE上，点D在直线AD上，
∴
∴C(5,2)．|AC|＝＝.
双基限时练(二十一)
基 础 强 化
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析 d＝＝.
答案 D
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则m的值为( )
A. B．－
C．－ D.或－
解析 ＝1，∴|m－1|＝2.
∴m＝，或m＝－.
答案 D
3．两条平行线l1：3x－4y－1＝0，与l2：6x－8y－7＝0间的距离为( )
A. B.
C. D．1
解析 l1：6x－8y－2＝0，∴d＝＝＝.
答案 A
4．点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 直线方程可变为nx＋my－mn＝0，
∴d＝＝.
答案 D
5．设直线l经过点(－1,1)，当点(2，－1)到直线l的距离最远时，直线l的方程是( )
A．3x－2y＋5＝0 B．2x－3y－5＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x－y＋5＝0
解析 当直线l与点(2，－1)最远时，直线l与过点(－1,1)和(2，－1)的直线垂直．
过(－1,1)和(2，－1)的直线的斜率为＝－，
∴直线l的斜率为，∴l：y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.
答案 A
6．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离等于，则P坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
答案 C
7．点A(－4,2)到直线3x＋4y＝2的距离为________．
解析 d＝＝.
答案
8．过点A(－1,2)，且与原点距离等于的直线方程为________________________________．
解析 设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，
∴d＝＝，∴k＝－1，或k＝－7.
∴所求直线方程为x＋y－1＝0，或7x＋y＋5＝0.
答案 x＋y－1＝0，或7x＋y＋5＝0
能 力 提 升
9．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
解析 由题意知，所求直线斜率必存在，
设为直线y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0.
由d1＝＝1，
d2＝＝2，
解得或
答案 两条
10．设点P在直线x＋3y＝0上，且点P到原点的距离与点P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，求点P的坐标．
解 ∵点P在直线x＋3y＝0上，∴设P(－3y0， y0)，
∴＝，
∴|y0|＝，即y0＝±，
∴点P的坐标为，或.
11．已知直线l过点P(1,2)，并且与点A(2,3)、B(0，－5)的距离相等，求出直线方程．
解 若l斜率存在，
设其方程为y－2＝k(x－1)，
由题意得＝，得k＝4.
∴l的方程为y＝4x－2.
若l斜率不存在，则其方程为x＝1.
易知A、B到l的距离相等．
综上所求l的方程为y＝4x－2或x＝1.
12．已知分别过P(－2，－2)，Q(1,3)的直线l1和l2，分别绕点P，Q旋转，且保持l1∥l2，求两条直线的距离d的取值范围．
解 ∵P∈l1，Q∈l2，l1∥l2，
∴d＝|PQ|为l1和l2间距离最大值
而当l1和l2无限趋近重合时，d无限趋近0.
又∵|PQ|＝＝，
∴0＜d≤.
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13．与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线m的方程为________．
解析 设所求直线为5x－12y＋c＝0，则由两平行直线间的距离公式得2＝，解得c＝32，或c＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
答案 5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0
双基限时练(二十二)
基 础 强 化
1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的图形是( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．点(a，b)
C．以(－a，－b)为圆心的圆
D．点(－a，－b)
解析 ∵(x－a)2＋(y－b)2＝0，∴x－a＝y－b＝0，
∴该方程表示的是一个点(a，b)．
答案 B
2．已知一圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析 由题意可知，圆的这条直径的两个端点为(4,0)和(0，－6)，故圆的直径＝＝，半径r＝，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案 A
3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1) 2＋(y－2)2＝1
解析 已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.
答案 A
4．三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球，若设赤道大圆的方程为x2＋y2＝R2(R为地球半径)，三颗卫星均可分布于赤道上空，则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为( )
A．x2＋y2＝2R2 B．x2＋y2＝4R2
C．x2＋y2＝8R2 D．x2＋y2＝9R2
解析 由题意知卫星距地面高度为R，所以方程为x2＋y2＝4R2.故选B.
答案 B
5．方程y＝－表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析 该方程可变形为x2＋y2＝16(y≤0)，它表示圆心在原点，半径为4的圆的下半个圆．
答案 D
6．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝5，
∵圆与直线x＋2y＝0相切，∴＝，∴a＝±5.
∵圆O位于y轴左侧，∴a＝－5，
∴圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案 D
7．已知圆O的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为________．
答案
8．在x轴下方，与x轴相切于(8,0)，半径为的圆的方程为________．
解析 由题意可知，圆的圆心为，
∴圆的方程为(x－8)2＋2＝.
答案 (x－8)2＋2＝
能 力 提 升
9．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．
解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案 x2＋(y－2)2＝1
10．直线l： (m＋1)x＋2y－4m－4＝0(m∈R)恒过定点C，圆C是以点C为圆心，以4为半径的圆，求圆C的方程．
解 直线l的方程可以化为(x－4)m＋x＋2y－4＝0，
当x＝4时，y＝0对任意m∈R恒成立．
∴直线l恒过(4,0)，即点C(4,0)．
∵圆C是以C为圆心，4为半径的圆，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
11．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．
解 (1)∵点M(6,9)在圆上，
∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.
又a>0，∴a＝.
(2)∵|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围为(3，)．
12．如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．
解 (1)kAB＝＝－，
∴kBC＝.
依点斜式得，BC所在直线的方程为：y＝x－2.
(2)在上式中，令y＝0，得x＝4，∴C(4,0)．
∵M为Rt△ABC的外接圆的圆心，
∴M为AC的中点，即M(1,0)．
此时2r＝|AC|＝6，∴r＝3.
∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝9.
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13．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切．则圆C的方程为________________________．
解析 圆心为(－1,0)，半径为＝，所以圆C方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案 (x＋1)2＋y2＝2
双基限时练(二十三)
基 础 强 化
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
解析 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．
答案 D
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程为
(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．
∵直线过圆心，
∴将(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，可得a＝1.
答案 B
3．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
解析 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．
答案 A
4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 圆心(a，－b)，∵圆心位于第三象限，则a<0，b>0.
直线y＝－x－，k＝－>0，－>0.
∴直线不经过第四象限．
答案 D
5．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
解析 直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝.
∴C到直线AB的最小距离为－1，
S△ABC的最小值为×|AB|×＝×2×＝3－.
答案 A
6．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，
∴直线OP垂直于x＋y－2＝0，故选A.
答案 A
7．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程是________．
解析 直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．
答案 x＋y－4＝0
8．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
解析 直线l经过圆心(1,2)，由于直线l不经过第四象限，故直线绕点(1,2)在直线l1与l2之间转动，如图所示，
∵l1的斜率为2，l2的斜率为0，故直线l的斜率的取值范围为[0,2]．
答案 [0,2]
能 力 提 升
9．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
解析 该圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，∴F＝4.
答案 4
10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．
(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若点P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值．
解 (1)∵点P在圆C上，
∴m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，
整理得(m－4)2＝0，∴m＝4，∴点P(4,5)，
∴|PQ|＝＝2.
kPQ＝＝＝.
(2)圆C的圆心C为(2,7)，
|CQ|＝＝4.
∵圆C的半径为2，
∴|PQ|的最大值为6，最小值为2.
11．已知x2＋y2＋(t＋1)x＋ty＋t2－2＝0表示一个圆．
(1)求t的取值范围；
(2)若圆的直径为6，求t的值．
解 (1)∵方程表示一个圆，则有D2＋E2－4F＞0，
∴(t＋1)2＋t2－4(t2－2)＞0，
∴2t＞－9，即t＞－.
(2)由条件知，圆的半径是3，
∴3＝.
∴2t＋9＝36.∴t＝＞－.即t＝.
12．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
解 设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知AP⊥OP.
当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)．
当x＝0时，y＝0.
当x≠1且x≠0时，kAP·kOP＝－1.
∵kAP＝，kOP＝，∴×＝－1，
即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．
点(1,0)，(0,0)适合上式．
综上所述，P点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
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13．若点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．
答案 (x－2)2＋(y－2)2＝10
双基限时练(二十四)
基 础 强 化
1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不能确定
解析 题中圆的圆心为(2,3)，半径为1，
则圆心到直线的距离d＝＝1，
∴直线与圆相切．
答案 C
2．直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为( )
A．－1或－3 B.或－
C．1或3 D.
解析 2＝2，∴|a－2|＝1.
∴a＝3，或a＝1.
答案 C
3．已知P是圆(x－3)2＋y2＝1上的动点，则点P到直线y＝x＋1的距离的最小值为( )
A．3 B．2
C．2－1 D．2＋1
解析 圆上的点到直线的最近距离等于圆心到直线的距离减去半径．∵d＝＝2，∴P到直线y＝x＋1的距离的最小值为2－1.
答案 C
4．若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝有两个公共点，则k的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(－∞，－1]
解析 曲线y＝表示圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半个圆，
如图所示，直线y＝kx＋4＋2k过定点(－2,4)，
当直线过(2,0)时，
k＝＝－1.
当直线与圆在第一象限相切时，k＝－.
∵直线与圆有两个公共点，∴k∈.
答案 B
5．过圆x2＋y2－4x＝0外一点P(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m、n应满足的关系是( )
A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4
C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8
解析 圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2,0)，半径为2.
∵过点P的两条切线互相垂直，
∴由切线及半径组成的四边形为正方形，
∴＝2，∴ (m－2)2＋n2＝8.
答案 C
6．若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1相交，则( )
A．a2＋b2<1 B．a2＋b2>1
C.＋<1 D.＋>1
解析 由题意，圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，∴＋>1.
答案 D
7．经过A(2，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上的圆的方程为________．
解析 设圆心(a，－2a)，
∴r＝＝，∴a＝1.
∴圆的半径r＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y＋2)2＝2
8．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1与直线l：x－2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 圆心C到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝.
答案
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9．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝8上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有________个．
答案 3个
10．已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：(3a－4)x－y－1＝0，且l1∥l2，求以N(1,1)为圆心，并且与l2相切的圆的方程．
解 ∵l1∥l2，∴当a≠0时，＝－1≠，
∴a＝1，经检验，当a＝0时l1与l2不平行，故a＝0舍去，
∴l2：x＋y＋1＝0，∵圆与l2相切，∴r＝＝.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝.
11．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值，圆心总在同一条直线l上．
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？
解 (1)将圆的方程配方得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25.设圆心为(x，y)，则
消去m，得x－3y－3＝0.
∴圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．
(2)设与l平行的直线是l′：x－3y＋b＝0，圆心(3m，m－1)到直线l′的距离为d＝＝.
∵半径r＝5，∴当dr时，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．
12．已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
(1)当直线l过圆心时，求直线l的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求AB的长．
解 (1)圆心C(1,0)，∵直线l过点P(2,2)与圆心，
∴直线l的方程＝，即2x－y－2＝0.
(2)直线l的方程为x－y＝0，
则圆心到直线l的距离为d＝＝.
∵r＝3，∴|AB|＝2 ＝.
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13．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
解析 根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.
答案 A
双基限时练(二十五)
基 础 强 化
1．已知0A．外切 B．相交
C．外离 D．内含
解析 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．两圆的圆心距离d(O，O′)＝＝.显然有|r－|<<＋r.∴两圆相交．
答案 B
2．圆x2＋y2－2x－8＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－3＝0
解析 令两个圆的方程相减可得x－y＋1＝0，故两圆公共弦所在直线方程为x－y＋1＝0.
答案 C
3．已知圆O1：x2＋y2－4x－6y＝0与圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x＋y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析 两圆公共弦的垂直平分线即为两圆圆心的连心线，
∵O1(2,3)，O2(3,0)，∴直线O1O2：＝，即3x＋y－9＝0.
答案 C
4．两圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A. B.
C. D. 5
解析 2r＝＝，∴r＝.
答案 B
5．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
解析 两圆的圆心分别为(0,0)和(－2,2)，它们的中点为(－1,1)，
直线l的斜率为k＝－＝1，
∴直线l的方程为x－y＋2＝0.
答案 D
6．和x轴相切，并和圆x2＋y2＝1外切的动圆的圆心轨迹方程是( )
A．x2＝2y＋1 B．x2＝－2y＋1
C．x2＝2|y|＋1 D．x2＝2y－1
解析 设动圆圆心的坐标为(x，y)，
由题意可知，＝1＋|y|，即x2＝2|y|＋1.
答案 C
7．若圆x2＋y2＝4与x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝__________.
解析 圆x2＋y2＝4与(x－a)2＋y2＝1相内切，故(a－0)2＋(0－0)2＝(2－1)2，即a2＝1，∴a＝±1.
答案 ±1
8．已知两圆相交于(1,3)和(m,1)，两圆圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值为________．
解析 两圆连心线过公共弦的中点，
∴－＋＝0，∴m＋c＝3.
答案 3
9．圆(x－3)2＋(y－1)2＝4与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的公切线的条数为________．
解析 两圆圆心分别为(3, 1)和(1,2)，圆心距为，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1，∵1＜＜3，∴两圆相交，
∴它们只有2条公切线．
答案 2条
能 力 提 升
10．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝16}，集合N＝{(x，y)|x2＋(y－2)2＝a－1}，若M∩N＝?，求a的取值范围．
解 因为M∩N＝?由题意可分为三种情况讨论：
(1)当a－1＜0，即a＜1时，N＝?，满足M∩N＝?；
(2)当a－1＝0，即a＝1时，N＝{(0,2)}，即集合N仅表示一个点，由02＋22＜16知这个点不在圆x2＋y2＝16上，所以M∩N＝?；
(3)当a－1＞0，即a＞1时，M∩N＝?，圆x2＋y2＝16与圆x2＋(y－2)2＝a－1外离或内含．外离时，圆心距大于两圆半径之和，即2＞4＋，此式显然无解．
内含时应有|－4|＞2，解得a＞37，或1＜a＜5.
综上，当a＜5，或a＞37时， M∩N＝?.
11．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．
解 公共弦所在直线的斜率为，已知圆的圆心坐标为，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，即3x＋2y－7＝0.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.
12．已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆O1：x2＋(y－1)2＝上一动点，点N是圆O2：(x－2)2＋y2＝上一动点，求|PN|－|PM|的最大值．
解 ∵M是⊙O1上的点，N是⊙O2上的点，半径都为，
又P(t，t)，t∈R在直线y＝x上，
则求|PN|－|PM|的最大值就是求－的最大值，
即求|PO2|－|PO1|＋1的最大值，
而|PO2|－|PO1|的最大值是点O1关于直线y＝x的对称点(1,0)到O2(2,0)的距离，
∴|PO2|－|PO1|＋1的最大值是2.
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13．两圆C1：x2＋y2＝a与C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．
解析 由x2＋y2＋6x－8y－11＝0，
得(x＋3)2＋(y－4)2＝36，
从而C1(0,0)，r1＝，C2(－3,4)，r2＝6，
∵圆C1与C2内切，
∴|C1C2|＝|r2－r1|，
即5＝|6－|，
∴a＝1或121.
答案 1或121
双基限时练(二十六)
基 础 强 化
1．有下列叙述：
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0，c)．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①中Ox上点的坐标形式为(a,0,0)，即y坐标与z坐标均为0；②③④正确．故选C.
答案 C
2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(－2,1,4) D．(2,1，－4)
答案 B
3．若半径为r的球在第Ⅴ卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是( )
A．(r，r，r) B．(r，r，－r)
C．(－r，－r，r) D．(r，－r，r)
答案 B
4．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是( )
A. B.
C．(－12,3,5) D.
答案 B
5．如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱的中点，N是所在棱的四分之一分点，则M，N之间的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 根据题意，得点M和点N的坐标分别为，，根据空间两点间的距离公式，得点M，N之间的距离为d(M，N)＝＝.故选B.
答案 B
6．已知P点是Q(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则d(P，Q)等于( )
A．10 B.
C. D．38
解析 P(2，－3，－5)，d(P，Q)＝|5－(－5)|＝10.
答案 A
7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的面积为________．
解析 |AB|＝
＝.
|AC|＝＝.
|BC|＝＝.
显然|AC|2＋|BC|2＝|AB|2.故△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝××＝.
答案
8．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．
解析 |AB|＝＝.
∴当t＝时，|AB|有最小值为.
答案
能 力 提 升
9．若点P(x，y，z)到A(1,0,1)，B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是________，猜想它表示的图形是________．
解析 由两点间距离公式得(x－1)2＋y2＋(z－1)2＝(x－2)2＋(y－1)2＋z2，化简得2x＋2y－2z－3＝0，由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面．
答案 2x＋2y－2z－3＝0 线段AB的中垂面
10.
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别是PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2.建立适当的空间直角坐标系，写出点A、B、C、D、P、E、F的坐标．
解 ∵PA＝PD，面PAD⊥面ABCD，
∴过P做PO⊥AD交AD于O，
则PO⊥面ABCD且O是AD中点，
以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∵PA＝PD＝AD＝2，
∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(，2，0)，C(－，2，0)，D(－，0,0)，P(0,0，)，E(－，， )，F(0，，0)．
11．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)d(A，B)；
(2)线段AB的中点坐标；
(3)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
解 (1)由空间两点间的距离公式，得
d(A，B)＝＝.
(2)线段AB的中点坐标为，即为.
(3)点P(x，y，z)到A，B的距离相等，则
＝，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0，
即到A， B距离相等的点P的坐标(x，y，z)满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
12．试在坐标平面yOz内的直线2y－z＝1上确定一点P，使P到Q(－1,0,4)的距离最小．
解 ∵点P在yOz平面内，∴可设P(0，y,2y－1)，由两点间的距离公式得
|PQ|＝
＝＝.
显然当y＝2时，|PQ|取最小值，这时点P(0,2,3)．
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13．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，点P在对角线BD′上且BP＝BD′，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析 点P在坐标面xDy上的射影落在BD上．∵BP＝BD′，∴点P的x坐标和y坐标都为，点P的z坐标为.故点P的坐标为.
答案 D
