【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修3：第三章 概率 单元同步测试（含解析）

第三章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是(　　)
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析　由频率与概率的关系可知．
答案　C
2．从集合{a，b}的子集中任取一个集合，则这个集合只含有一个元素的概率是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析　集合{a，b}的子集个数为22＝4个，其中只含有一个元素的集合有2个，从中任取一个集合，只含一个元素的概率P＝＝.
答案　C
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析　P＝＝.
答案　D
4．盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球，若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　从4个小球中摸出2个小球，共有6种不同的情形，其中颜色相同的有3种不同的情形，故颜色不同的概率P＝1－＝.
答案　A
5．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　从5人中任选3人共有10种不同的情形，其中甲、乙均未被录用的情形有一种，其概率为，所以甲或乙被录用的概率为P＝1－＝.
答案　D
6．如果事件A与B是互斥事件，P(A＋B)＝0.8，P(A)－P(B)＝0.2，则P(A)＝(　　)
A．0.5　　　B．0.3 C．0.4　 　　D．0.6
解析　由P(A＋B)＝0.8＝P(A)＋P(B)，P(A)－P(B)＝0.2，得P(A)＝0.5.
答案　A
7．半径为3的球内有一个半径为1的球，在大球内任取一点，则该点落在小球内的概率是(　　)
A.　　 　B. C.　 　　D.
解析　P＝＝.
答案　C
8．取一个正方形及其外接圆，随机向圆内抛一颗豆子，则豆子落在正方形外的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设正方形的边长为a，则P＝＝.
答案　B
9．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取2个数，则2个数都是偶数的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析　P＝＝.
答案　D
10．一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸1个球，得到黑球的概率是；从中任意摸出2个球，都不是白球的概率是，则袋中黑球、白球、红球的个数分别为(　　)
A．4,5,1 B．4,1,5
C．1,4,5 D．5,4,1
解析　由＝，得x＝4，故有4个黑球；设黑球、红球共有n个，由题意，可得＝.得n＝5.
∴红球有1个，故白球有10－4－1＝5个．
答案　A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．
解析　设阴影区域的面积为S，则＝得S＝.
答案　
12．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是________．
解析　从5个球中任取2个，其中没有红球的概率P＝，故至少有一个红球的概率P＝1－＝.
答案　
13．设函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为________．
解析　∵f(x)＝(x－2)(x＋1)，∴当x0∈[－1,2]时f(x0)≤0，∴P＝.
答案　
14．甲、乙两人玩游戏，规则如算法流程图所示，则甲胜的概率为________．
解析　P＝＝.
答案　
15．一个不透明的袋子里装有标号为1,2,3,4,5的5只除编号外其余完全相同的小球，随机地取两球，若无放回地抽取，则两球的编号为相邻整数的概率为________；若有放回地抽取，则两球编号为相邻整数的概率是________．
解析　若无放回的抽取，则共有5×4＝20种不同的情形，其中数字相邻的共有8种不同的情形，故数字相邻的概率P＝＝；若有放回地抽取，则共有25种不同的情形，其中数字相邻的共有8种，故数字相邻的概率P＝.
答案　　
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)如图所示，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，求该点落在正方形内的概率．
解　设点P落在正方形内为事件A.
∵S半圆＝π，S正方形＝()2＝，
∴P(A)＝＝.
17．(12分)有编号为A1，A2，A3，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个，
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这两个零件直径相等的概率．
解　(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从这10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6个零件中任取两个，所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②设“从一等品中，随机抽取2个零件，两个零件直径相等”为事件B，事件B包含的所有可能结果是：(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6种，∴P(B)＝＝.
18．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解　(1)按相同的比例从不同的组中抽取人数．
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人．
(2)A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为.
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为.
现从抽样评委A组3人，B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率P＝·＝.
所以，从A、B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为.
19．(13分)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，
(1)其中两种品牌都齐全的概率是多少？
(2)取到甲型彩电的概率为多少？
解　(1)解法1：从5台中取2台共有10种取法，其中品牌齐全的有6种，故所求事件的概率P＝＝0.6.
解法2：P(A)＝1－－＝0.6.
(2)1－＝.
20．(13分)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．
解　(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3；
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
21．(13分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．
(1)在下面的表格中填写相应的频率；
分组
频率
1.00～1.05
1.05～1.10
1.10～1.15
1.15～1.20
1.20～1.25
1.25～1.30
(2)估计数据落在1.15～1.30中的概率；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
解　(1)根据频率分布直方图，可知频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表
分组
频率
1.00～1.05
0.05
1.05～1.10
0.20
1.10～1.15
0.28
1.15～1.20
0.30
1.20～1.25
0.15
1.25～1.30
0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在1.15～1.30中的概率约为0.47.
(3)＝2000，所以估计该水库中鱼的总条数为2000条．