双基限时练(一)
基 础 强 化
1．下列叙述中，一定是平面的是( )
A．一条直线平行移动形成的面
B．三角形经过延展得到的面
C．组成圆锥的面
D．正方形围绕一条边旋转形成的面
解析 直线平行移动可以形成平面或曲面，只有在方向不变的情况下才能得到平面；圆锥的侧面不是平面；正方形围绕一条边旋转形成的面显然不是平面．故选B.
答案 B
2．下列结论中，不正确的是( )
A．平面上一定存在直线 B．平面上一定存在曲线
C．曲面上一定不存在直线 D．曲面上一定存在曲线
解析 圆柱面和圆锥面是曲面，但它们的母线是直线，故C错误．
答案 C
3．下列关于长方体的叙述不正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定形成一个长方体
B．长方体中相对的面都相互平行
C．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离
D．两底面之间的棱互相平行且等长
解析 将矩形沿矩形所在平面平移，不会形成长方体，故A错误．
答案 A
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与BD1既不相交又不平行的棱有( )
A．3条 B．4条
C．6条 D．8条
解析 在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1；在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD；上下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条．
答案 C
5．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成一个正方体的图形是( )
解析 将四个选项中的图形折叠可知，A、B、D均可形成正方体，只有C选项不可以形成正方体，故选C.
答案 C
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个说法：
( )
①MN∥平面APC ②B1Q∥平面ADD1A1 ③A，P，M三点共线 ④平面MNQ∥平面ABCD
A．①② B．①④
C．②③ D．③④
解析 平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点，故B1Q∥平面ADD1A1；A，P，M三点不共线；平面MNQ与平面ABCD是相交的．故选A.
答案 A
7．一个平面将空间分成__________部分；两个平面将空间分成__________部分．
解析 两个平面平行时，将空间分为三部分，两个平面相交时，将空间分为四部分．
答案 二；三或四
8．下列关于长方体的说法中，正确的是__________．
①长方体是由六个平面围成的；②长方体一个面内的任意点到对面的距离相等；③连接长方体的任意两个顶点得到的是长方体的棱．
解析 利用长方体的有关概念进行判断．
①不正确，因为长方体是由六个矩形所围成的几何体，③中注意棱的定义为每相邻两个面的公共边．
答案 ②
能 力 提 升
9．线段AB长为5 cm，在水平面上向右移4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移4 cm记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________；
(3)A到平面BCC′B′的距离为________．
解析 由题意画出适合题意的长方体，如图所示，则易得所求答案．
答案 (1)3 cm
(2)4 cm
(3)5 cm
10．关于长方体ABCD－A1B1C1D1的6个面与12条棱，回答下列问题．
(1)与直线B1C1既不平行也不相交的直线有哪几条；
(2)与直线B1C1平行的平面有哪几个；
(3)与直线B1C1垂直的平面有哪几个；
(4)与平面BC1平行的平面有哪几个；
(5)与平面BC1垂直的平面有哪几个．
答案 (1)AA1，DD1，AB，DC.
(2)平面ABCD，平面ADD1A1.
(3)平面ABB1A1，平面CDD1C1.
(4)平面ADD1A1.
(5)平面ABB1A1，平面ABCD，平面CDD1C1，平面A1B1C1D1.
11．如图所示，画出(1)(2)(3)中线段m绕着直线l旋转一周形成的曲面．
解 (1)由于m与l平行，旋转过程中m与l的距离不变，产生的曲面如图①所示．
(2)由于m与l相交，旋转过程中产生的曲面是以m与l的交点为顶点的锥面，如图②所示．
(3)由于m与l不平行，旋转过程中产生的曲面是以m的延长线与l的交点为顶点的锥面的一部分，如图③所示．
12．小明设计了某个产品的包装盒，但是少设计了其中一部分(如下图所示)，请你把它补上，使其成为有盖的正方体盒子．
(1)你能有________种弥补的办法？
(2)任意画出一种成功的设计图．
解析 (1)弥补的方式有4种，如图所示：
(2)以上四个图中任意一个均可．
答案 (1)4
(2)
品 味 高 考
13．下列说法中正确的是( )
A．直线平移只能形成平面
B．直线绕定直线旋转形成柱面
C．固定射线的端点让其绕着一个圆弧转动可以形成锥面
D．曲线平移一定形成曲面
答案 C
双基限时练(十)
基 础 强 化
1．下列命题：①若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；④若直线a∥b，b?α，则直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①③中有可能a在平面α内，②中a可能与平面α相交，④正确．
答案 A
2．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
解析 在正方体中选择三条满足题意条件的棱，观察可知，它们的位置关系是相交或异面．
答案 D
3．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是( )
A. 相交 B. b∥α
C. b?α D. b∥α或b?α
解析 ∵a∥b，a∥α，∴b∥α或b?α.故选D.
答案 D
4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．都平行 B．都相交
C．在两个平面内 D．至少和其中一个平行
解析 A不正确，这条直线可能在一个平面内．
B不正确，这条直线如果和两个平面都相交，那么它与两个平面的交线有两种可能：相交或异面，这与已知不符．
C不正确，这条直线如果在两个平面内则必为这两个平面的交线，即与两个平面的交线重合，这与已知不符．
D正确，这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内平行另一个平面，符合至少与一个平面平行．
答案 D
5．若∠AOB＝∠A1O1B1，且O1A1∥OA，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析 如图，两角不在同一平面内时，O1B1与OB不平行．
答案 D
6．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，G是△ABC的重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝( )
A. B.
C. D.
解析 BC＝5，∵BC∥α，α∩面ABC＝MN，∴BC∥MN.
∵G∈MN，∴MN＝BC＝.
答案 D
7．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则MN与平面BDC的位置关系是__________．
答案 平行
8．如图所示，直线a∥平面α，点B，C，D∈a，点A与a在α的异侧．线段AB，AC，AD交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG等于________．
解析 ∵a∥α，EG＝α∩平面ABD，
∴a∥EG，又点B，C，D∈a，
∴BD∥EG.
∴＝＝＝＝＝，
∴EG＝＝＝.
答案
能 力 提 升
9．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＋BD＝a，AC·BD＝b，则EF2＋EH2＝________.
解析 由已知AC＋BD＝a，AC·BD＝b，
∴＋＝，·＝，
即EF＋EH＝，EF·EH＝，
∴EF2＋EH2＝(EF＋EH)2－2EF·EH＝－.
答案 －
10.
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．
求证：AB1∥平面BC1D.
证明 连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1.
∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D.
11.
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AE＝A1E1，AF＝A1F1，P∈E1F1，
(1)过P作一条直线与棱CD平行，说明怎样作；
(2)求证：EF綊E1F1.
解 (1)如图所示，在平面A1B1C1D1内过P作直线l∥C1D1.
∵C1D1∥CD，∴l∥CD.
即l为所要求作的直线．
(2)证明 连接E1E、FF1，
∵AE綊A1E1，
∴四边形AEE1A1为平行四边形．
∴A1A綊EE1，同理A1A綊F1F.
∴四边形E1E綊F1F，
∴EFF1E1是平行四边形，
∴EF綊E1F1.
12．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′D的中点．
求证：EF∥平面A′BC.
证明 取A′C的中点M，连接MF，MB，则FM∥DC，且FM＝DC，
∵EB∥DC，且EB＝DC，∴FM綊EB，
∴四边形EBMF为平行四边形，∴EF∥MB.
∵EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，
∴EF∥平面A′BC.
品 味 高 考
13．若直线l不平行于平面α，且l?α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．
答案 B
双基限时练(十一)
基 础 强 化
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．垂直相交
解析 如图所示，这两个平面的位置关系为平行或相交．
答案 C
2．已知直线a、b和平面α、β，给出以下命题，其中真命题为( )
A．若a∥β，α∥β，则a∥α
B．若α∥β，a?α，则a∥β
C．若α∥β，a?α，b?β，则a∥b
D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
解析 A中有可能a?α；B正确；C中有可能a与b异面；D中a与b可能平行相交或异面．
答案 B
3．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α内有无数条直线平行于β
B．α内不共线三点到β的距离相等
C．l、m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β
D．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
解析 当α与β相交时，A、B、C选项中均能成立，故A、B、C选项均错．
答案 D
4．已知m、n表示两条直线，α、β、γ表示平面，下列命题正确的是( )
A．若α∩β＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥γ
B．若m、n相交且都在α、β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，且m∥n，则n∥α，n∥β
D．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
解析 A错误，α与γ可能相交，例如三棱柱的三个侧面的位置关系；C错误，因为有可能n?α或n?β；D错误，因为α与β可能相交；B正确，因为满足面面平行的判定定理．
答案 B
5．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
解析 如图所示，取A1D1，A1B1，AD，AB的中点M，N，P，Q，则面MNQP∥面DBB1D1，∴在面MNQP中共有6条直线与面DBB1D1平行．同理取B1C1，C1D1，CD，CB中点E，F，G，H，则在面EFGH中也有6条直线与面DBB1D1平行．故共有12条．
答案 D
6．下面给出四个命题：
①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB＝CD；②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条直线和已知平面α平行；④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α.
其中正确的命题是( )
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①④
解析 ①中四边形ABCD是平行四边形，故①正确．
②中a与c的关系不能确定，可能平行、相交或异面，故②错误．
③中当空间内的任一点在平面α内时，则不成立，故③错误．结合选项可知，应选D.
答案 D
7．过平面外一点可以作__________条直线与已知平面平行；过平面外一点可以作__________个平面与已知平面平行．
答案 无数 唯一的一
8．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面．现给出六个命题：
①a∥c，b∥c?a∥b ②a∥γ，b∥γ?a∥b ③c∥α，c∥β?α∥β ④α∥γ，β∥γ?α∥β ⑤c∥α，a∥c?a∥α ⑥a∥γ，α∥γ?a∥α
正确命题是________(填序号)．
解析 直线平行或平面平行能传递，故①④正确；②中，a与b可能异面或相交；③中，α与β可能相交；⑤中，可能a?α；⑥中，可能a?α，故正确命题是①④.
答案 ①④
能 力 提 升
9.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析 取B1C1的中点P，易证平面FHNP∥平面B1BDD1.故只要M∈FH，即可保证MN∥平面B1BDD1.
答案 M∈FH
10.
如图，已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC.
证明 在△PAB中，∵D，E分别是PA，PB的中点，∴DE∥AB，
又知DE?平面ABC，
∵因此DE∥平面ABC，同理EF∥平面ABC.
又∵DE∩EF＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
11.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，如图所示，E，F分别为A1C1，B1C1的中点，D为棱CC1的中点，G是棱AA1上一点，且满足A1G＝mAA1，若平面ABD∥平面GEF，试求m的值．
解 ∵平面ABD∥平面GEF，平面AA1C1C交平面ABD，平面GEF分别为AD，GE，
∴由面面平行的性质定理得AD∥GE，
∴△ADC∽△EGA1，
又∵D为CC1的中点，E为A1C1的中点，
∴＝＝，
即A1G＝CD＝×CC1＝AA1，
由A1G＝mAA1，得m＝，
∴m的值为.
12．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB中点，沿DE将ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B中点，求证：ME∥平面A′CD.
证明 取BC中点N，连接MN，NE，在△ABC中，E是AB中点，N是BC中点，∴NE∥AC.
在△A′BC中，M是A′B中点，N是BC中点，
∴MN∥A′C.
∵MN∩NE＝N，MN、NE?平面MNE，
A′C∩AC＝C，A′C、AC?平面A′CD，
∴平面MNE∥平面A′CD.
又∵ME?平面MNE，∴ME∥平面A′CD.
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13．有下列说法：
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
②夹在两个平行平面之间的平行线段相等
③平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
④平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．
其中正确的是________．
答案 ①②
双基限时练(十二)
基 础 强 化
1．已知直线l⊥平面α，直线m?α，则( )
A．l⊥m B．l可能和m平行
C．l与m相交 D．无法确定
解析 直线l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意一条直线，∵m?α，故l⊥m.
答案 A
2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能有一个，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析 当a与b垂直时，过a且与b垂直的平面有且只有1个；当a与b不垂直时，过a且与b垂直的平面不存在．
答案 B
3．已知空间两个不同的直线m、n和两个不同的平面α、β，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，n?α，则m∥n
B．若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m∥α，m?β，α∩β＝n，则m∥n
解析 A选项中m与n可能异面；B选项中n与α可能平行或在α内；C选项中m与n的位置关系不确定，故A、B、C均错误，D是线面平行的性质定理，D成立．
答案 D
4．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为( )
A．相交但不垂直 B．垂直但不相交
C．不相交也不垂直 D．无法判断
答案 B
5.
如图，PA⊥平面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析 ∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥AC，PA⊥BC，PA⊥AB.
∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形．
答案 A
6．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB中点，且∠ABC＝90°，则点D到平面SBC的距离为( )
A. B.
C. D.
解析
如图，过A作AE⊥SB交SB于E，
∵SA⊥面ABC，∴SA⊥BC.
∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.
∵SB∩BC＝B，∴AE⊥平面SBC.
∵D是AB中点，∴D到平面SBC的距离为AE.
在Rt△SAB中，SA＝4，AB＝3，
∴AE＝，
∴D到平面SBC的距离为.
答案 C
能 力 提 升
7．如图所示，P、Q、R分别是正方体的棱AB、BB1、BC的中点，则BD1与平面PQR的位置关系是__________．
答案 垂直
8．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为________．
解析 连接BC.
∵C为圆周上的一点，AB为直径，
∴BC⊥AC.
又∵PA⊥平面⊙O，BC?平面⊙O，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，C为垂足，
∴BC即为B到平面PAC的距离．
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝(cm)．
答案 cm
9．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，
又∵PQ⊥QD，
∴QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，
当圆与BC相切时，点Q只有一个，
故BC＝2AB＝2.
答案 2
10.
如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面ABCD，再过A作AE⊥SB于E，过E作EF⊥SC于F.求证：SC⊥平面AEF.
证明 ∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴SA⊥BC.
又∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB.
∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE.
又∵AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.
又∵EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.
11．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.
(1)求证：BE∥平面PDA；
(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB.
证明 (1)∵EC∥PD，PD?平面PAD，EC?平面PDA，
∴EC∥平面 PDA，同理可得BC∥平面PDA.
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC＝C，
∴平面EBC∥平面PDA.
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA.
(2)取BD中点M，连接MC，MN，
∵N是PB中点，∴MN∥PD，且MN＝PD.
∵EC∥PD且PD＝2EC，∴EC∥MN且EC＝MN.
∴四边形MNEC是平行四边形，
∴NE∥MC.
∵M是BD中点，且四边形ABCD是正方形，
∴CM⊥BD.
∵PD⊥平面ABCD，且MC?平面ABCD，
∴PD⊥MC.
∵BD∩PD＝D，∴MC⊥平面PDB，
∴NE⊥平面PDB.
12．如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.
证明 (1)∵SA⊥平面AC， BC?平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.
又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF，
∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.
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13．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则( )
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案 D
双基限时练(十三)
基 础 强 化
1．过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( )
A．1 B．2
C．无数 D．1或无数
解析 当直线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当直线与平面不垂直时，只有一个过直线的平面与已知平面垂直．
答案 D
2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α且m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥m
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析 ∵m?α，m⊥γ，∴α⊥γ.
∵l＝β∩γ，∴l?γ，∴m⊥γ，∴m⊥l.
答案 B
3．下列命题中a，b，c表示直线，α、β、γ表示平面，正确的是( )
A．若a∥β，b∥β，则a∥b
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若α⊥β，a?α，b?β，则a⊥b
D．若a⊥α，a⊥b，b?α，则b∥α
解析 A、C选项中a与b的位置关系不确定，B选项中α与β的关系不确定，D选项正确．
答案 D
4．已知l、m、n是三条不同的直线，下列不正确的是( )
A．若m∥n，n⊥β，m?α，则α⊥β
B．若α⊥β，a?α，则a⊥β
C．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
D．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β
解析 B选项中a与β可能相交、平行或在β内．
答案 B
5．已知两直线m、n，两平面α、β，且m⊥α，n?β，下面有四个命题：
①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；③若m∥n，则有α⊥β；④若α⊥β，则有m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①③正确．
答案 C
6.
在正三棱锥P－ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断：
①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC.
其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①②正确．
答案 B
7．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，且一点P到这三个平面的距离分别为3,4,5，则OP的长为____________．
解析 OP可看作是以3,4,5为棱长的长方体的体对角线．
答案 5
8．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题__________．
答案 ①③④?②或②③④?①
能 力 提 升
9．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析 由题意知n⊥α，而m⊥α，∴m∥n.
答案 平行
10.
如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，求证：平面AGC⊥平面BGC.
证明 ∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC.
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
∴BC⊥平面ABEF.
∵AG?平面ABEF，∴BC⊥AG.
∵AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形，G是EF中点，
∴AG＝BG＝a.
∵AB＝2a，AB2＝AG2＋BG2，∴AG⊥BG.
∵BG∩BC＝B，∴AG⊥平面BGC.
∵AG?平面AGC，∴平面AGC⊥平面BGC.
11.
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M，N分别为A1B，B1C1的中点．
(1)求证：BC∥平面MNB1；
(2)求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1.
证明 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
BC∥B1N，B1N?平面MNB1，BC?平面MNB1，
∴BC∥平面MNB1.
(2)∵C1C⊥平面ACB，而BC?平面ACB，
∴C1C⊥BC.
∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.
∵AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面A1ACC1，
∴BC⊥平面ACC1A1，又BC?平面A1CB，
∴平面A1CB⊥平面ACC1A1.
12.
如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；
(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．
证明 (1)设AB中点为O，连接OC、OD，则OD⊥AB，
∵平面ADB⊥平面ABC，OD?平面ABD，平面ADB∩平面ABC＝AB，∴OD⊥平面ABC.
∵OC?平面ABC，∴OD⊥OC.
在等边三角形ABD中，AB＝2，∴OD＝.
在△ABC中，AC＝BC＝，AB＝2，∴OC＝1.
在Rt△COD中，CD＝＝2.
(2)当△ADB转动的过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，
∴AB⊥平面COD，∴AB⊥CD.
当△ADB转动到与△ABC共面时，仍有AB⊥CD，
故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.
品 味 高 考
13.
如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：(1)平面EFG∥平面ABC；
(2)BC⊥SA.
解 (1)∵AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，
∴F是SB的中点．
又∵E是SA的中点，所以EF∥AB.
∴EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
同理EG∥平面ABC.
又EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面ABC.
(2)∵平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，
又AF?平面SAB，AF⊥SB，
∴AF⊥平面SBC，
∵BC?平面SBC，
∴AF⊥BC.
又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵SA?平面SAB，
∴BC⊥SA.
双基限时练(二)
基 础 强 化
1．四棱柱有( )
A．4条侧棱，4个顶点 B．8条侧棱，4个顶点
C．4条侧棱，8个顶点 D．6条侧棱，8个顶点
答案 C
2．有下列三种说法
①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱 ③棱柱的侧面都是平行四边形．其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由直棱柱的定义，知①正确；由正棱柱的定义，知底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故②错误；由棱柱的定义知其侧面都是平行四边形，故③正确．
答案 C
3．下列命题中正确的是( )
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用平行于棱柱侧棱的一个平面去截棱柱所得截面一定是平行四边形
解析 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，故A、B均错；棱柱的一个侧面是矩形不能保证其他侧面都是矩形，而直棱柱的侧面都是矩形，故C错；D正确．
答案 D
4．正方体的对角线的长度为a，则它的棱长为( )
A.a B.a
C．3a D．以上都不正确
解析 设棱长为x，则x＝a，则x＝a.
答案 B
5．经过棱柱不相邻的侧棱的截面叫做棱柱的对角面，关于棱柱对角面，说法正确的是( )
A．棱柱都有对角面
B．平行六面体的对角面全等
C．直棱柱的对角面是矩形
D．正棱柱的对角面是正方形
解析 三棱柱没有对角面，故A错；非矩形的平行四边形的两条对角线不相等，故以非矩形的平行四边形为底面的平行六面体的对角面不全等，故B错；正棱柱的侧棱长与底面正多边形的对角线不一定相等，所以正棱柱的对角面不一定是正方形，故D错．
答案 C
6．如图所示，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为( )
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤ D．模块③，④，⑤
解析 本题主要考查正方体的结构特征等知识，同时考查分析问题和解决问题的能力．观察得先将⑤放入⑥中的空缺处，然后上面可放入①②，其余可以验证不合题意．故选A.
答案 A
7．长方体有________条对角线，一个多面体至少有________个面．
答案 4 4
8．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的对角线长为，＝，则该正四棱柱的底面边长为________．
解析 由题意可知，AA＋AC2＝A1C2.
∵AA1＝AC，A1C＝，
∴(AC)2＋AC2＝6，AC＝.
∵正四棱柱底面是正方形，∴ AB＝1.
答案 1
9．一个正六棱柱的所有棱长均为1，则它最长的对角线的长度为________．
解析 正六棱柱的底面是正六边形，由于它的边长为1，所以正六边形中最长的对角线的长度为2，故该正六棱柱最长的对角线的长度为＝.
答案
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10．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．
解 (1)这个长方体是四棱柱，因为上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABCD是四边形，所以是四棱柱．
(2)平面BCNM把这个长方体分成的两部分还是棱柱．
左边部分的几何体的两个面ABMA1和DCND1平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABMA1是四边形，所以是四棱柱，即左边部分的几何体为四棱柱ABMA1－DCND1；同理右边部分的几何体为三棱柱BMB1－CNC1.
11．正三棱柱ABC－A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，试求截面BCD的面积．
解 如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE⊥BC，DE⊥BC.
∵AE＝×4＝2，
∴DE＝＝4.
∴S△BCD＝BC·ED＝×4×4＝8(cm2)．
∴截面BCD的面积是8 cm2.
12．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为多少？
解 此题相当于把两个正三棱柱都沿AA1剪开拼接后得到的线段AA1的长，即最短路线长为10.
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13．下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱不全相等
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
D．棱柱的几何体中至少有两个面平行
答案 D
双基限时练(三)
基 础 强 化
1．下列条件能说明一个棱锥是正棱锥的是( )
A．各侧面都是等腰三角形
B．侧棱长度相等且底面是菱形
C．所有棱长都相等
D．底面是三角形且三条侧棱两两垂直
解析 一个棱锥的所有棱长都相等即可得到该棱锥的侧棱长度相等，底面是正多边形，故C正确．
答案 C
2．下列三个命题，其中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错．
②③可用反例图去检验，故②③不对．
答案 A
3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
答案 D
4．正四棱台的两底面的边长分别为3和5，则它的中截面面积为( )
A．4 B．9
C．16 D．25
解析 中截面的边长＝4，故S＝4×4＝16.
答案 C
5．正四棱台的上下底面周长分别是12和20，斜高为6，则它的高为( )
A. B.
C. D．4
解析 正四棱台上、下底面边长分别为3和5，如图所示，取上、下底面的中心O1、O，并作O1E1⊥B1C1交B1C1于E1，作OE⊥BC交BC于E，连接E1E，则四边形O1E1EO是直角梯形，过E1作E1F⊥OE交OE为F，则EF＝OE－O1E1＝－＝1.
∴E1E＝6，
∴E1F＝＝，
∴高为.
答案 B
6．一个棱锥被平行底面的截面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1： B．1：4
C．1：(＋1) D．(＋1) ：1
解析 如图，＝，
∴＝.
∴＝.
∴＝＝＋1.
∴棱锥的高被分成的两段之比为(＋1) ：1.
答案 D
7．已知正四棱锥的高为7，底面边长为8，其侧棱长为________．
解析 侧棱长＝＝9.
答案 9
8．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、2、2，则它的斜高为________．
解析 斜高＝＝.
答案
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9．在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点A，则蚂蚁爬过的最短路程为________．
答案
10．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解析 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
11．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，求它的高与斜高的长．
解 设正四棱锥S－ABCD的高为SO，如下图，过O作OE⊥BC于E，则E为BC中点，连接OB，
∴SO⊥OB，SO⊥OE.
∵BC＝4，
∴BE＝OE＝2，
∴OB＝2.
在Rt△SOB中，SO＝
＝＝2.
在Rt△SOE中，SE＝＝
＝2，
∴此棱锥的高为2，斜高为2.
12．已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面面积分别是与4，它的侧棱长为，求它的高与斜高的比值．
解 如右图，设正三棱台的上、下底面的中心分别为O1，O，连接A1O1，AO并延长分别交对边于E1、E，则E1E为斜高，O1O为高．
过A1作A1M⊥AE于M，过E1作E1N⊥AE于N，
则A1O1OM、O1ONE1都为矩形．
设上、下底面边长分别为a、b，则a2＝，b2＝4，
∴a＝2，b＝4.
∴AO＝，A1O1＝.
∴AM＝AO－A1O1＝.
在Rt△AA1M中，
A1M＝＝＝，
同理EN＝EO－E1O1＝×4－×2＝.
在Rt△E1EN中，
E1E＝＝＝.
∴此棱台的高与斜高的比为＝.
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13．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B.
C．(，＋∞) D.
解析 由正四棱锥的定义知四棱锥S－ABCD中，S在底面ABCD内的射影O为正方形的中心，而SA>OA＝AB，∴>，即k>.
答案 D
双基限时练(四)
基 础 强 化
1．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体为( )
A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台
解析 所形成的两个圆锥对底，其底面半径是这个直角三角形斜边上的高，这两个对底圆锥的高的和等于这个直角三角形斜边的长．
答案 C
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，则这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．球体 D．以上都可能
解析 球体被任何平面所截得的截面均为圆面；对圆锥，截面不能为四边形；对于圆柱，当截面过两条母线时，得到四边形．
答案 B
3．已知圆锥的底面面积为4π，高为2，则它的母线长为( )
A．1 B．2
C．2 D．4
解析 圆锥的底面半径为2，故它的母线长为2.
答案 C
4．圆台两底面半径分别是2和5，母线长是3，则它的高为( )
A．9 B．3
C．10 D．3
解析 h＝＝9.
答案 A
5．设地球的半径为R，在东经80°上有两点M、N，M在北纬30°，N在南纬15°，则M、N两点间的球面距离为( )
A. B.
C. D．πR
解析 经线圈是大圆，故经过M、N两点的大圆的圆心角为45°，∴M、N的球面距离为l＝2π×R×＝.
答案 B
6．已知球的半径为5，球心到截面的距离为3，则截面圆的面积为( )
A．4π B．6π
C．9π D．16π
解析 截面圆的半径为r＝＝4，∴S＝π·r2＝16π.
答案 D
7．一个圆台的母线长为5，上、下底面直径分别为2,8，则圆台的轴截面面积为________．
解析 圆台的高h＝ ＝4，
∴S＝×(2＋8)×4＝20.
答案 20
8．一圆锥的轴截面的顶角为120°，母线长为1，则过该顶点的圆锥截面中最大截面面积为__________．
解析 因为圆锥的轴截面的顶角为120°，大于90°，所以过顶点的所有截面中，面积最大的是等腰直角三角形的截面，且其面积为母线长的平方的一半．
答案
能 力 提 升
9．给出下列说法：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；③球面上任意三点可能在一条直线上；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．其中正确说法的序号是________．
解析 作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共面，故①错误；根据球的半径的定义可知②正确；球面上任意三点一定不共线，故③错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故④正确．
答案 ②④
10．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．
解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
11.
如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
解 作出圆台的侧面展开图，如下图所示，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝，可求得OA＝20 cm.设∠BOB′＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10 cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的.所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.
12．设地球的半径为R，在南纬60°圈上有两点A，B，A在西经90°，B在东经90°，求A，B两点间纬线圈的弧长及A，B两点间的球面距离．
解 纬度数为60°，则纬度圈小圆的半径r＝Rcos60°＝.
如图所示，设南纬60°圈的中心为O1，地球球心为O，则∠AO1B＝180°.
∴AB＝2AO1＝R.
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴在南纬60°圈上，的长为×＝；
在球面上，A，B两点间的球面距离为×R＝.
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13．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1：2，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③水平放置的不等边三角形的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
写出其中正确说法的序号________．
解析 对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上且不与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长的比不为1：2；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，水平放置的不等边三角形的直观图可以是等边三角形．
答案 ④
双基限时练(五)
基 础 强 化
1．如图所示，该直观图表示的平面图形为( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．正三角形
解析 在该直观图中的三角形有两条边分别平行于x′轴和y′轴，在平面直角坐标系中，这两条边互相垂直，故该三角形的平面图形是直角三角形．
答案 C
2．两条不平行的直线，其平行投影不可能是( )
A．两条平行线 B．一点和一条直线
C．两条相交直线 D．两个点
解析 若它们的投影是两个点，则这两条线均平行于投射线，所以这两条直线平行，由已知这两条直线不平行，故他们的投影不可能是两个点．
答案 D
3．下列几种说法正确的个数是( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 在平面直角坐标系中，x轴与y轴所成的角为90°，而在直观图中它们所成的角为45°和135°，故①错；若两条线段一条平行于x轴，一条平行于y轴，则在直线图中对应的线段将不等，故②错；③④正确．
答案 B
4．利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形；②平行四边形的直观图还是平行四边形；③正方形的直观图还是正方形；④菱形的直观图还是菱形．其中正确的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 根据斜二测画法，三角形的直观图还是三角形，平行四边形的直观图还是平行四边形，正方形与菱形的直观图都是平行四边形．
答案 C
5．如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是( )
A.米 B.米
C．5米 D．10米
解析 直径d＝5sin45°＝米．
答案 B
6．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析 S△ABC＝a2，∴S△A′B′C′＝S△ABC＝a2.
答案 D
7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．
解析 在原图形中，OA＝BC＝a，OB＝2a，∠BOA＝90°，∴AB＝OC＝3a，∴原图形的周长为8a.
答案 8a
8．如图①所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为图②中的________．
解析 △MND在上、下底面与左、右侧面上的投影均为图a所示，在前、后侧面上的投影如图c所示．故ac正确．
答案 ac
能 力 提 升
9．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为__________．
解析 如图易知，水平放置的△ABC即为图中△A′BC′.
∴AB边上的中线C′D＝A′B.又∵O′A′＝C′A′＝3，BC′＝2B′C′＝4，∴A′B＝5，∴C′D＝.
即AB边上中线实际长度为.
答案
10．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m处，同一时刻一根长 m的木棒垂直于地面，且影子长1 m，求此球的半径．
解 由题设知BO′＝10，设∠ABO′＝2α(0°<α<45°)(如右图)，由题意知tan2α＝＝，即2α＝60°，
∴α＝30°，∴tanα＝.
在Rt△OO′B中，tanα＝，
∴R＝BO′·tanα＝m.
11．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．
解 (1)画x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°；
(2)Ox轴上取点D(3,0)，在O′x′轴上取D′、B′，使O′D′＝OD，O′B′＝OB(如图)，在O′y′轴上取C′，使O′C′＝OC，在O′x′轴下方过D′作D′A′∥O′y′，使D′A′＝DA；
(3)连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′就是四边形OABC的直观图．
12．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.
(1)将其恢复成原图形；
(2)求原平面图形△ABC的面积．
解 (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.
②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
③连接AB、BC，则△ABC即为
△A′B′C′原来的图形，如图．
(2)∵B′D′∥y′轴，
∴BD⊥AC.
又B′D′＝1.5且A′C′＝2，
∴BD＝3，AC＝2，
∴S△ABC＝BD·AC＝3.
品 味 高 考
13．如图为水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，若D是△ABC中BC边的中点，那么AB，AD，AC三条线段中最长的是________，最短的是________．
答案 AC AB
双基限时练(六)
基 础 强 化
1．以下说法中，不正确的是( )
A．有些简单的几何体，用主视图和俯视图就能确定其形状和大小
B．三视图能真实反映各种几何体的形状和大小
C．对于复杂的几何体，三视图不足以反映其大小和形状
D．只要确定了实物的位置和观察方向，就能画出其三视图
解析 对于简单的几何体，如一块砖，向两个互相垂直的平面作正投影，就能反映它的大小和形状；对于复杂的几何体，三视图可能不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面．故B选项不正确．
答案 B
2．如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是( )
解析 该圆柱形物体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是圆．
答案 A
3．①、②、③是三个几何体的三视图，①、②、③对应标号正确的是( )
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱
A．④③② B．②①③
C．①②③ D．③②④
解析 甲图为圆柱，乙图为三棱锥，丙图为圆锥．
答案 A
4．已知一物体和它的三视图如图所示，其中错误的视图是( )
A．主视图 B．俯视图
C．左视图D．无错误
解析 主视图错了，主视图中看到的应该是线段BC.
答案 A
5．将正三棱柱截去三个角(如图①所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图②，则该几何体按图②所示方向的左视图为( )
解析 ∵是正三棱柱，且AE在平面EG中，
∴在左视图中，AE为竖直的．故选A.
答案 A
6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的左视图面积为( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析 由题意可知，该三棱柱的左视图应为矩形，如图所示．
在该矩形中，MM1＝CC1＝2，CM＝C1M1＝·AB＝.
所以左视图的面积为S＝2.
答案 A
7．一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如下图所示，则这个组合体包含的小正方体的个数是________个．
解析 该几何体如图所示．
∴它包含的小正方体的块数为5.
答案 5
8．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析 根据几何体的直观特征及空间想象可知，四棱柱与圆柱的主视图不会是三角形．
答案 ①②③⑤
能 力 提 升
9．如图所示，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
解析 在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.
答案 ①②③
10．画出下图中所示纺锤体的三视图．
解 纺锤体的三视图如图所示．
11．在下面图中，图②是图①中实物画出的主视图和俯视图，判断其是否正确，如果不正确，请找出错误并改正，然后分别画出它们的左视图．
(1)①
②
(2)①
②
解 (1)原题图a是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图a；
a
(2)原题图①的组合体可以看作是如图a中几何体的组合，主视图与俯视图都应画出中间的柱体与圆柱的交线，所以原题图②不正确，正确视图如图b.
a b
12．根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图：
(1)三视图如下图①；
(2)三视图如下图②.
解 (1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切．它的实物草图如图①.
(2)由三视图知，该物体上部分是一个正方体，下部分是一个长方体去掉了一个角，它的实物草图如图②.
品 味 高考
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
解析 由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.
答案 D
双基限时练(七)
基 础 强 化
1．若正三棱锥的斜高是高的倍，则该棱锥的侧面积是底面积的( )
A.倍 B．2倍
C.倍 D．3倍
答案 B
2．一个几何体的三个视图都是面积为2的圆，则这个几何体的表面积为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
解析 球的表面积为球的大圆面积的4倍，
∵球的每一个视图都是大圆，且面积为2，
∴球的表面积为2×4＝8.
答案 C
3．已知正四面体ABCD的表面积为S，其中四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析
如图所示，连接AE、AG并延长分别交BC、CD于M、N，则M、N分别是BC、CD中点．
∴EG＝MN，MN＝BD.
∴EG＝BD.
∴正四面体EFGH与ABCD的棱长之比为.
∴它们的表面积之比为，即＝.
答案 A
4．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )
A．πQ B．2πQ
C．3πQ D．4πQ
解析 正方形绕其一边旋转一周得到的几何体是圆柱，它的底面半径为，高为，
∴它的侧面积S＝2π××＝2πQ.
答案 B
5．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，那么这个圆柱的全面积是( )
A．2πR2 B.πR2
C.πR2 D.πR2
解析 设圆柱高h，由＝，得h＝R，
∴S柱全＝2π2＋2π2＝πR2.
答案 B
6．正四棱台上、下底面边长分别为a、b，侧棱长为(a＋b)，则棱台的侧面积为( )
A．2(a＋b) B．(a＋b)
C．2(a＋b) D．(a＋b)
解析 正四棱台的斜高
h＝ ＝.
S侧＝4×[(a＋b)×]＝2(a＋b).
答案 A
7．正方体的表面积与其内切球表面积的比为________．
答案 6?π
8．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．
解析 根据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，S表＝S圆柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.
答案 12π
能力 提 升
9．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为__________cm2.
解析 设棱柱的侧棱长为x，则22＝()2＋x2，
∴x＝，S表面积＝S底＋S侧＝2＋4×1×＝2＋4.故填2＋4.
答案 2＋4
10．设计一个正四棱锥形冷水塔，高是0.85 m，底面边长是1.5 m，求制造这种水塔需要多少铁板．
解析 如图，S表示塔的顶点，O表示底面的中心，则SO是高，设SE是斜高，
在Rt△SOE中，根据勾股定理，得
SE＝≈1.134(m)．
则S正棱锥侧＝ch′＝×(1.5×4)×1.134≈3.40(m2)．
11．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的表面积．
解 该几何体是由一个正四棱台和一个正四棱柱组成，其表面积等于正四棱台的表面积与正四棱柱的侧面积之和．
S正四棱台＝8×8＋4×4＋×(4＋8)××4＝(80＋24)cm2，S正四棱柱侧＝4×4×2＝32cm2，
∴该几何体的表面积为(112＋24)cm2.
12．在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．
解 如下图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm.
同理π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm.
设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，
∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15.
∴R2＝x2＋202＝252.∴R＝25.
∴S球＝4πR2＝2500π cm2.
∴球的表面积为2500π cm2.
品 味 高 考
13．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方体，那么该球的表面积是____________．
解析 依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝＝2，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π()2＝12π.
答案 12π
双基限时练(八)
基 础 强 化
1．一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长为( )
A．2 cm B. cm
C．4 cm D．8 cm
解析 设正方体的棱长为a，则16×4＝a3，
∴a＝4.
∴正方体的棱长为4 cm.
答案 C
2．一个圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a，下底长为2a，对角线长为a，则这个圆台的体积是( )
A.πa3 B.πa3
C.πa3 D.πa3
解析 如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝a，知∠ADB＝90°.取DC中点E，AB中点F，分别过D点、C点作DH⊥AB，CG⊥AB，知DH＝a.
∴HB＝＝a.
∴DE＝HF＝a.
∴V圆台＝·a＝πa3.
答案 D
3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.
答案 C
4．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )
A．1：2 B．2：3
C．3：4 D．4：5
解析 设棱台上底面面积为S，由上、下底面边的比为1：2，可知下底面面积为4S.设棱台的高为h，
则V台＝h(S＋＋4S)＝Sh，
∵棱柱A1B1C1－FEC的体积为V＝S·h，
∴＝＝.
答案 C
5．如图，是一个几何体的主视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )
A．24 B．12
C．8 D．4
解析 该几何体是一个长方体挖去了一个三棱柱后剩下的几何体，则其体积为2×3×4－×(2×3)×4＝12.
答案 B
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
解析 由三视图想象并画出直观图后计算．根据三视图画出直观图如图所示，此几何体是一个四棱锥V－ABCD，VD⊥底面ABCD，底面为一个直角梯形．
VV－ABCD＝SABCD·VD＝××2＝4.
答案 A
7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为________．
解析 该几何体是一个四棱锥，底面是矩形，面积为48，高为4，所以它的体积V＝×48×4＝64.
答案 64
8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
解析 设球的半径为R，
∴V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝，
V球＝πR3，
∴V柱：V锥：V球＝2πR3：：＝3：1：2.
答案 3：1：2
能 力 提 升
9．在四面体ABCD中，以A为顶点的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，，3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为________．
答案
10．下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右边两个是主视图和左视图．
(1)请按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程)；
(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．
解 (1)俯视图如图所示，
(2)V＝23－××2×2×1＝8－＝.
11．正方形ABCD的边长为1，分别取边BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，FA为折痕，折叠这个正方形，使B，C，D重合于一点P，得到一个三棱锥如图所示，求此三棱锥的体积．
解 ∵∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴翻折后∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°.
∴Rt△PEF可以看作是三棱锥的底面，
而AP可以看作是三棱锥的高．
比较发现：AP＝1，PE⊥PF，PE＝PF＝，
∴VA－PEF＝S△PEF·AP＝××××1＝.
12.
如图所示正三棱台ABC－A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，求三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比．
解
品 味 高 考
13．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 B. C. D．6
解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.
答案 B
双基限时练(九)
基 础 强 化
1．下列命题，正确的是( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面
C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
解析 A正确；B中当A、B、C三点共线时，结论有可能不成立；C中b、c可能不共面；D中四边形可能为空间四边形，故B、C、D均错．
答案 A
2．若三条直线两两相交，则由这三条直线确定的平面个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．1个或3个
解析 当这三条直线不共点时，它们能确定一个平面；当这三条直线共点时，它们能确定1个或3个平面．
答案 D
3．下列命题中，真命题的个数是( )
①若空间四个点不共面，则这四个点可确定四个平面；②四边相等的四边形是菱形；③如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 若空间四点不共面，则这四点组成的几何体是三棱锥，它有四个面，故①正确；②中有可能是空间四边形，故②错；若这三个点共线，则不能得出两个平面重合的结论，有可能两个平面相交，故③错；根据平行四边形的定义可知，④正确．故选B.
答案 B
4．如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，那么( )
A．l?α B．l?α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
解析 ∵M∈a，a?α，∴M∈α.同理N∈α.
∵M∈l，N∈l，∴由基本性质1可知，l?α.
答案 A
5．下列命题正确的是( )
A．若a?α，b?β，则a、b是异面直线
B．若a?α，b?α，则a、b是异面直线
C．若a∩b＝?，则a、b是异面直线
D．不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
解析 根据异面直线的定义可知，D选项正确．
答案 D
6．下列各图形中，P、Q、R、S分别是棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
A
B
C
D
解析 A中易证PS∥QR；B中易证PQ∥SR，C中可证PS∥QR，只有选D.
答案 D
7．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β且C?l，又AB∩l＝R，过A、B、C三点确定的平面记作γ，则β∩γ＝____________.
解析 如图所示，∵α∩β＝l，AB∩l＝R，
∴AB∩β＝R，C∈β.
∴R∈面ABC∩β，C∈面ABC∩β.
∴面ABC∩β＝RC.
答案 RC
8．若a、b是异面直线，b、c也是异面直线，则a与c的位置关系________．
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
如图所示，令C1D1＝a，BC＝b.
∵b与c异面，∴c可能是A1B1，DD1，AA1，
∴a与c的关系可能是平行、相交或异面．
答案 相交或平行或异面
能 力 提 升
9．有以下三个命题：
①不在平面内的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．
请将所有正确命题的序号写出__________．
答案 ①③
10.
如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．
解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
即点S在交线上，
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
11.
如图所示，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
(1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？
(2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面截正方体所得的截面？
解 (1)如图，能交于一点．理由如下：
因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD且EF与CD相交，设交点为P.
由△EBF≌△PCF，
可得PC＝BE＝AB.
同理，GH与CD相交，设交点为P1，
同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB.
所以P1与P重合，因此直线EF，GH，DC能交于一点．
(2)由(1)知EF，GH相交于一点，则E，F，G，H四点共面．
如图，延长HG，DD1，相交于点R，延长FE交DA的延长线于Q，则点R，Q是截面与侧面AD1的公共点，
连接RQ与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，
可得截面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图的阴影部分所示．
12.
如图所示，在三棱锥P－ABC中，D、E是PC上不重合的两点，F、H分别是PA、PB上的点，且与点P不重合．求证：EF和DH是异面直线．
证明 ∵PA∩PC＝P，∴PA、PC确定一个平面α.
∵E∈PC，F∈PA，∴E∈α，F∈α，∴EF?α.
∵D∈PC，∴D∈α，且D?EF.
又PB∩α＝P，H∈PB，
∴H?α，DH∩α＝D，且DH与EF不相交．
∴直线EF和DH是异面直线．
品 味 高 考
13．下列图形中，满足α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB的图形是( )
解析 可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断．
答案 C
