【名师一号】2014-2015学年高中数学人教B版必修2阶段检测卷：第一章+立体几何初步（含答案解析）

阶段检测试题一
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有(　　)
A．4条　 　　B．6条　　 　C．8条　　 　D．10条
解析　与AC相交的直线有AB、AD、AA1、CB、CD、CC1，其他6条均与AC异面．
答案　B
2．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两个球的半径之差为(　　)
A. B．1 C．2 D．3
解析　设两个球的半径分别为R与r(R>r)
则∴
∴R－r＝1.
答案　B
3.
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(　　)
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
答案　A
4．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么(　　)
A．a∥b，c∥d
B．a、b、c、d中至少有一对直线互相平行
C．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行
D．a、b、c、d中任何两条直线都不平行
解析　当a与b相交或a与b异面时，c∥d；当a∥b时， c∥d或c与d异面．
答案　B
5．一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两段，那么圆锥被分成的两部分的侧面积的比为(　　)
A．1?1 B．1?2 C．1?3 D．1?4
解析　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由于截面过圆锥高的中点，截得小圆锥的母线长为，底面半径为，
∴圆锥被分成的两部分的侧面积之比为
＝.
答案　C
6．若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于(　　)
A．6 B．6π C．3π D．6π
解析　圆台的侧面积S＝π(r1＋r2)l，其中r1、r2是上、下底面半径，l是母线长，∴该圆台的侧面积为3π.　
答案　C
7．如图所示，则这个几何体的体积等于(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
解析　
由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，
∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A.
答案　A
8．如图 ，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析　由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错．
答案　D
9.
如图所示，梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥y′轴，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．10 B．5 C．5 D．10
解析　平面图形还原如图所示．
CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2，AB＝A1B1＝2，∠ADC＝90°.
∴SABCD＝×(2＋3)×2＝5.
答案　B
10.
用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析　如图①所示，这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成，如图②所示，这个几何体最小时有5个小正方体构成，因此，这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
11．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题
①?β∥γ；②?m⊥β；③?α⊥β；④?m∥α
其中，真命题是________．
解析　平行于同一个平面的两个平面平行，①是真命题；若一个平面平行于另一个平面的垂线，则两个平面垂直，③是真命题．
答案　①③
12．在一个半径为13 cm的球内有一个截面，此截面面积是25π cm2，则球心到这个截面的距离为________．
答案　12 cm
13.
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝，BB1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度是________．
解析　将三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如下图．
在(1)中，EF＝
＝ ＝；
在(2)中，EF＝
＝ ＝；
在(3)中，EF＝
＝ ＝.
比较知(3)最小．
答案　
14.
将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD＝BD＝，∠BAC＝30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是________．
①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D－ABC的体积最大可达到.
解析　取AB中点O，当三角板ABD转动的过程中，AB不垂直平面COD，故AB不垂直CD，故②错，①③正确．
答案　①③
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、F、G分别为MB、PC、PB的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG∥平面ADPM；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．
解析　(1)证明：∵F、G为PC、PB中点，∴FG∥BC，又BC∥AD，∴FG∥AD，∵E、G为BM、PB中点，∴EG∥PM，又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面ADPM.
(2)不妨设AB＝2a，VP－MAB＝a3，VP－ABCD＝a3，所以＝.
16．(12分)
如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝PQ，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°.证明：BC⊥PQ.
证明　如图，过C做CO⊥PQ交PQ于O，连接OB.
∵α⊥β，∴CO⊥α.
∵BO?α，∴CO⊥BO；
在Rt△COA与Rt△COB中，
CA＝CB，CO＝CO，
∴Rt△COA≌Rt△COB.∴OA＝OB.
又∵∠BAP＝45°，∴∠BOA＝90°，即OB⊥PQ.
∵PQ⊥OC，PQ⊥OB，OC∩OB＝O，
∴PQ⊥面OBC.
∵BC?面OBC，∴PQ⊥BC.
17．(12分)
某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形、下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到0.01)．
解　设圆锥底面半径为r，高为h，
∵2πr＝π·10，∴r＝2，h＝＝4，
∴该蛋筒冰淇淋的表面积S＝＋2π·22＝28π
≈87.96 cm2.
体积V＝×π·22×4＋π×23＝(＋1)π
≈57.80 cm3.
故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96 cm2，体积约为
57．80 cm3.
18．(14分)
如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且BC＝2AD，AB＝4，SA＝3.
(1)求证：平面SBC⊥平面SAB；
(2)若E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝＝λ.
①求证：不论λ为何值，都有SC∥平面AEF；②是否存在λ，使得△AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由．
解　(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，∴ SA⊥AD.
∵∠BAD＝90°，∴AD⊥AB.
∵SA∩AB＝A，SA、AB?平面SAB，
∴AD⊥平面SAB，∵AD∥BC，∴BC⊥平面SAB.
∵BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.
(2)①证明：∵在△SBC中，＝，
∴EF∥SC.
∵EF?平面AEF，SC?平面AEF，∴SC∥平面AEF.
②当AF⊥SB时，由(1)知平面SAB⊥平面SBC，且平面SAB∩平面SBC＝SB，∴AF⊥平面SBC.
∵EF?平面SBC，∴AF⊥EF，
∴此时△AEF为直角三角形．
在Rt△SAB中，AB＝4，SA＝3，∴AF＝.
∴SF＝，FB＝，∴λ＝＝.
∴存在λ＝时，△AEF为直角三角形．