【名师一号】2014-2015学年高中数学选修1-2单元测试卷：第一章+统计案例

第一章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两个变量x与y的回归模型中分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
答案　A
2．下列结论正确的是(　　)
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法
A．①②　　　　　　　　　 B．①②③
C．①②④ D．①②③④
答案　C
3．下列有关线性回归的说法不正确的是(　　)
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．线性回归直线得到具有代表意义的回归直线方程
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
答案　D
4．预报变量的值与下列哪些因素有关(　　)
A．受解释变量的影响与随机误差无关
B．受随机误差的影响与解释变量无关
C．与总偏差平方和有关与残差无关
D．与解释变量和随机误差的总效应有关
答案　D
5．“回归”一词是研究子女身高与父母身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程＝a＋bx中，b(　　)
A．在(－1,0)内 B．等于0
C．在(0,1)内 D．在(1,10)内
解析　由题设知，b>0，且b<1.
答案　C
6．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列说法正确的是(　　)
A．l1与l2重合
B．l1与l2平行
C．l1与l2交于点(，)
D．无法判定l1与l2是否相交
解析　由线性回归方程必过样本中心(，)知，应选C.
答案　C
7．在回归分析中，残差图中的纵坐标为(　　)
A．残差 B．样本编号
C. D.n
答案　A
8．身高与体重的关系可以用(　　)来分析(　　)
A．残差分析 B．回归分析
C．二维条形图 D．独立检验
答案　B
9．对于P(K2>k)，当k>2.706时，就约有________的把握认为“x与y有关系”(　　)
A．99% B．95%
C．90% D．以上都不对
答案　C
10．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
解析　由2×2列联表，二维条形图知，与相差越大，两个分类变量有相关关系的可能性越大．
答案　A
11．变量x、y具有线性相关关系，当x的取值为8,12,14,16时，通过观测知y的值分别为5,8,9,11，若在实际问题中，y的预报值最大是10，则x的最大取值不能超过(　　)
A．16 B．15
C．17 D．12
解析　因为x＝16时，y＝11；当x＝14时，y＝9，所以当y的最大值为10时，x的最大值应介于区间(14,16)内，所以选B.
答案　B
12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表：
数学
物理　　
85～100分
85分以下
合计
85～100分
37
85
122
85分以下
35
143
178
合计
72
228
300
现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为(　　)
A．0.5% B．1%
C．2% D．5%
解析　由表中数据代入公式得
K2＝
≈4.514>3.84，
∴有95%的把握认为数学成绩与物理成绩有关，因此判断出错率为5%.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．已知一个回归方程为＝1.5x＋4.5，x∈{1,5,7,13,19}，则＝________.
解析　＝9，∴＝1.5×9＋4.5＝18.
答案　18
14．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k＝4.073，那么有__________的把握认为两变量有关系，已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
解析　∵K2＝k＝4.073>3.841，又P(K2≥3.841)≈0.05，
∴有95%的把握认为两变量有关系．
答案　95%
15．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.918)≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：
p：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；
q：如果某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是__________．(把你认为正确的都填上)
(1)p∧綈q；(2)綈p∧q；
(3)(綈p∧綈q)∧(r∨s)；(4)(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
解析　由题意，K2≈3.918，P(K2≥3.918)≈0.05，所以只有第一位同学判断正确．即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”由真值表知(1)，(4)为真命题．
答案　(1)(4)
16．已知某化妆品的广告费用x(万元)与销售额y(百万元)的统计数据如下表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析，y与x有较强的线性相关性，且＝0.95x＋，若投入广告费用为5万元，预计销售额为________百万元．
解析　由表中数据求得＝2，＝4.5.
所以＝4.5－0.95×2＝2.6.
所以回归方程为＝0.95x＋2.6.
当x＝5时，＝0.95×5＋2.6＝7.35.
答案　7.35
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某高校调查询问了56名男女大学生在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据．从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系.
参加运动
不参加运动
合计
男大学生
20
8
28
女大学生
12
16
28
合计
32
24
56
解　由表中数据得a＝20，b＝8，c＝12，d＝16，a＋b＝28，a＋c＝32，b＋d＝24，c＋d＝28，n＝a＋b＋c＋d＝56.
则K2＝≈4.667.
因为4.667>3.841，
所以有95%的把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系．
18．(12分)我校数学老师这学期分别用A、B两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人，入学时数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样)．现随机抽取甲、乙两班各20名学生的数学期末考试成绩，得到茎叶图：
(1)依茎叶图判断哪个班的平均分高？
(2)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
(3)学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解　(1)甲班数学成绩集中于60～90分之间，而乙班数学成绩集中于80～100分之间，所以乙班的平均分高．
(2)记成绩为86分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，F，
“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15个．
“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)共9个．
故P＝＝.
(3)由茎叶图可得2×2列联表如下：
甲班
乙班
合计
优秀
3
10
13
不优秀
17
10
27
合计
20
20
40
所以K2＝≈5.584>5.024，
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．
19．(12分)有人发现了一个有趣的现象，中国人的邮箱名称里含有数字的比较多，而外国人邮箱名称里含有数字的比较少．为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系，他收集了124个邮箱名称，其中中国人的有70个，外国人的有54个，中国人的邮箱中有43个含数字，外国人的邮箱中有21个含数字．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)他发现在这组数据中，外国人邮箱名称里含数字的也不少，他不能断定国籍和邮箱名称里是否含有数字有无关系，你能帮他判断一下吗？
解　(1)2×2列联表如下：
邮箱情况
国籍情况
有数字
无数字
合计
中国人
43
27
70
外国人
21
33
54
合计
64
60
124
(2)假设“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”．由表中数据得K2＝≈6.201.
因为K2>5.024，所以有理由认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“国籍和邮箱名称里是否含有数字有关”．
20．(12分)某班5名学生的数学和物理成绩如表：
学生
学科　　
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
(3)一名学生的数学成绩是96分，试预测他的物理成绩．
解　(1)散点图如下图所示：
(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.
则＝≈0.625.
＝－＝67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以y对x的线性回归方程是
＝0.625x＋22.05.
(3)当x＝96，
则＝0.625×96＋22.05≈82.
所以预测他的物理成绩是82分．
21．(12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
积极参加班级工作
加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由？
解　(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人．概率为＝；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为.
(2)由表中数据可得
K2＝＝
≈11.5>10.828
故有99.9%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
22．(12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如下表：
刹车时的车速(km/h)
0
10
20
30
40
50
60
刹车距离(m)
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
7.8
(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
(2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
解　(1)散点图如图表示：
(2)由图象，设函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将(0,0)，(10,0.3)(20,1.0)代入，得

解得a＝0.002，b＝0.01，c＝0.
所以，函数的表达式为
y＝0.002x2＋0.01x(0≤x≤140)．
经检验，表中其他各值也符合此表达式．
(3)当y＝46.5时，即0.002x2＋0.01x＝46.5，
所以x2＋5x－23250＝0.
解得x1＝150，x2＝－155 (舍去)．
故可推测刹车时的速度为150 km/h，而150>140，
因此发生事故时，汽车属于超速行驶．