双基限时练(一)
1．一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量，这里的解释变量是( )
A．作物的产量
B．施肥量
C．试验者
D．降雨量或其他解释产量的变量
解析 作物的产量为预报变量，故施肥量为解释变量．
答案 B
2．下列说法正确的有( )
①回归方程适用于一切样本和总体；
②回归方程一般都有时间性；
③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析 ①回归方程只适用于我们研究的样本和总体．②我们所建立的回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的可能取值的平均值，并非准确值，故②③正确．
答案 C
3．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
A．身高一定是145.83 cm
B．身高在145.83 cm以上
C．身高在145.83 cm以下
D．身高在145.83 cm左右
答案 D
4．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )
A．由样本数据得到的回归方程＝bx＋a必过样本中心(，)
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y与x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
答案 C
5．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心(4,5)，则回归直线方程为( )
A.＝1.23x＋0.08
B.＝0.08x＋1.23
C.＝1.23x＋4
D.＝1.23x＋5
解析 回归直线方程过样本点的中心，把点(4,5)代入A项成立．
答案 A
6．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )
A．83% B．72%
C．67% D．66%
解析 将y＝7.675代入回归方程，可计算得x≈9.26，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.675÷9.26≈0.83，即约为83%.
答案 A
7．若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为＝5x＋250，当施化肥量为80kg时，预报水稻产量为_____________________．
解析 当x＝80 kg时，＝5×80＋250＝650 kg.
答案 650 kg
8．在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是①__________，②__________.
答案 判断两个变量是否线性相关 判断两个变量更近似于什么函数关系
9．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程为＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
答案 0.254
10．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的残差是________．
解析 将x＝160代入＝0.85x－82.71，得＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.
答案 －0.29
11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：＝，＝－ )
解 (1)散点图如图所示．
(2)由表中数据得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，
＝54，
∴＝0.7.
∴＝1.05.
∴＝0.7x＋1.05.
回归直线如图中所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解 (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
所以＝－＝80＋20×8.5＝250.
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1000
＝－202＋361.25，
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
双基限时练(十)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
答案 B
2．(5－i)－(3－i)－5i等于( )
A．5i B．2－5i
C． 2＋5i D．2
答案 B
3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
4．z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵z＝3－4i，∴|z|＝＝5，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋1－i＝－1－5i，其对应点为(－1，－5)，在第三象限．
答案 C
5．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
解析 由题意知，f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝3＋4i－(－2－i)－2i＝5＋3i.
答案 D
6．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A. B．2
C. D．4
解析 ∵＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故||＝2.
答案 B
7．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝________.
解析 设z＝bi (b∈R，且b≠0)，
则|z－1－i|＝|bi－1－i|
＝|－1＋(b－1)i|＝＝3，
∴(b－1)2＝8.
∴b＝1±2.
∴z＝(±2＋1)i.
答案 (±2＋1)i
8．(－＋3i)＋(－2i)－[(－2i)＋(＋2i)]＝________.
答案 －2＋i
9．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
解析 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.
答案 －1
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，
求x＋yi.
解 ∵z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i，又z1＋z2＝5－6i，
∴∴
∴x＋yi＝2＋8i.
11．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，
(1)求向量、、对应的复数；
(2)判定△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)∵＝－
∴对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i.
同理对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
对应的复数为(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
(2)∵||＝，
||＝，||＝，
∴||2＋||2＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
(3)由(2)知，△ABC的面积
S△ABC＝××＝2.
12．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求|z|2.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
|z|＝，代入z＋|z|＝2＋8i，
得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴|z|2＝a2＋b2＝289.
13．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2为虚数，求m的取值范围．
解 z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，
∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2(m∈R)．
故m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
双基限时练(十一)
1．在复平面内，复数z＝对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝＝－i，∵点(，－)在第四象限．∴复数z对应的点在第四象限．
答案 D
2．复数的值是( )
A.i B．－i
C．i D．－i
解析 ＝＝i.
答案 A
3.等于( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析 ＝＝＝－i.
答案 C
4.等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析
＝
＝＝－i(1＋2i)
＝2－i.
答案 C
5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
解析 ＝
＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
答案 B
6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 (m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，由此复数为实数得n2－m2＝0，即n＝±m，故所求的概率为P＝＝.
答案 C
7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________.
解析 ·i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i.
答案 －1＋i
8．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析 a＋bi＝＝1＋i，
∴a＋b＝1＋1＝2.
答案 2
9．若z1＝1＋i，z2＝a－i，其中i为虚数单位，且z1·∈R，则实数a＝________.
解析 ∵z1·＝(1＋i)·(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i∈R，
∴a＋1＝0，a＝－1.
答案 －1
10．若z＝，则z100＋z50＋1的值是________．
解析 ∵z＝＝＝，
∴z100＋z50＋1＝100＋50＋1
＝50＋25＋1
＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
答案 i
11．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，求z.
解 由题意知，＝i·z－i＝1＋i，∴iz＝1＋2i，∴z＝＝2－i.
12．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C，若O＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 由题意知，A，B，C三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，
∵O＝λ＋μ，
∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．
∴解得
∴λ＋μ＝1.
13．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
∴2ab＝2.解得a＝b＝1或a＝b＝－1.
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)．
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i.
z－z2＝－1－3i.
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)．
S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
综上可知△ABC的面积为1.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cosA＋isinA，且满足|z＋1|＝1.
(1)求复数z；
(2)求的值．
解 (1)∵z＝cosA＋isinA，
∴z＋1＝1＋cosA＋isinA.
∴|z＋1|＝
＝＝1.∴2＋2cosA＝1，
cosA＝－，∴A＝120°.
∴sinA＝，复数z＝－＋i.
(2)由正弦定理，得：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)．
∴＝.
∵B＝180°－A－C＝60°－C，
∴原式＝＝＝＝＝2.即＝2.
双基限时练(十二)
1．流程图的基本单元之间的连线是用( )
A．流向线 B．虚线
C．流程线 D．波浪线
答案 C
2．以下给出程序框图的几种说法：
①任何一个程序框图都必须有起止框；
②输入框只能放在开始框后，输出框只能放在结束框前；
③判断框是唯一具有超过一个退出点的符号；
④对于一个程序来说，判断框内的条件表达方式是唯一的．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①③正确，对②来说输入框可以放在任何需要输入的地方．④判断框内的条件表达方式不唯一．
答案 B
3．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种流程( )
A．1.洗脸刷牙、2.刷水壶、3.烧水、4.泡面、5.吃饭、6.听广播
B．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭、5.听广播
C．1.刷水壶、2.烧水同时洗脸刷牙、3.泡面、4.吃饭同时听广播
D．1.吃饭同时听广播、2.泡面、3.烧水同时洗脸刷牙、4.刷水壶
答案 C
4．如图所示流程图中，判断正整数x是奇数还是偶数，判断框内的条件是( )
A．余数是1? B．余数是0?
C．余数是3? D．余数不为0?
答案 B
5．下面的工艺流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．土建设计 B．厂房土建
C．设备安装 D．工程设计
答案 C
6．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )
A．a→b→c→d→e→f
B．a→c→d→e→f→b
C．a→e→b→c→d→f
D．b→a→c→d→f→e
解析 打开电子信箱后，先点击“写邮件”，然后再输入．
答案 C
7．一名中学生在家庭范围内推广“节水工程”——做饭、淘米、洗菜的水留下来擦地或者浇花、洗衣服的水留下来冲卫生间．这样全家一个月可以节省水费十几元．你想知道这位中学生是如何去做的吗？请完成下表：
(1)处应填：________________；
(2)处应填：________________.
解析 结合题目的叙述，易知，(1)处填：做饭、淘米、洗菜；(2) 处填：冲卫生间．
答案 (1)做饭、淘米、洗菜
(2)冲卫生间
8．某工程的工序流程图如下(工时单位：天)，现已知工程总时数为 10天，则工序c所需工时为________天．
解析 设工序c所需工时数为x，由题设知可由线路a→c→e→g，需工时1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.
答案 4
9．如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成．箭头说明下一步是到哪一个框图，阅读这个流程图，回答下列问题：
如果a＝log3，b＝，c＝·(x≥1)，那么输出的数是________．(用a，b，c填空)．
解析 由题可知，输出的数应为a，b，c中的最大值，因为a<0,0
答案 c
10．机床的大修有如下的工作项目：拆卸清洗，部件检查，零件加工，零件修理，床身和工作台研合，部件组装(不含电器)，变速器组装，试车．试画出工序的流程图．
解 机床大修的工序流程图如下：
→→→→→→→
11．用数学语言和程序框图描述求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的过程．
解 (1) 用数学语言来描述算法：
S1 计算Δ＝b2－4ac.
S2 如果Δ<0，则原方程无实数解；否则(Δ≥0)，x1＝，x2＝.
S3 输出解x1，x2或无实数解信息．
(2) 用框图来描述算法，如图所示：
12．中国网通规定，拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算．设通话时间为t(分钟)，通话费用为y(元)，如何设计一个程序计算通话费用．请画出程序框图．
解 依题意得程序框图如下：
双基限时练(十三)
1．如图所示是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应放在( )
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
解析 因基本关系包含了“子集”这一关系，故选C.
答案 C
2．根据下边的结构图，总经理的直接下属是( )
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．总工程师、专家办公室和开发部
D．总工程师、专家办公室和所有七个部
解析 由连线可以判断，选C.
答案 C
3．下面框图属于( )
A．流程图 B．结构图
C．程序框图 D．工序流程图
答案 A
4．下列关于结构图的说法不正确的是( )
A．结构图中各要素之间通常表示概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构的
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
解析 A、C、D是结构图的特征，正确．结构图有“树”形结构图和“环”形结构图之分．
答案 B
5．下列结构图中要素之间表示从属关系的是( )
解析 A、D是逻辑关系，呈现了知识的先后关系，B是结构图，但不是从属关系．对于C而言，显然合情推理和演绎推理是推理的下属．
答案 C
6．下列结构图中，体现要素之间逻辑先后关系的是( )
解析 A、B、D是知识结构中的从属关系．
答案 C
7．结构图是描述系统结构的图示，我们常见的是________和________，另外结构图还广泛地应用于其他情形，是人们有条理地思考和交流思想的工具．
答案 知识结构图 组织结构图
8．如图所示：
则“函数的应用”包括的主要内容有_____________________．
解析 由知识结构图可知，该主要内容包括两部分函数与方程，函数模型及其应用．
答案 函数与方程 函数模型及其应用
9．写出三角形分类的两种结构图(按边、角分类)．
解 (1) 三角形按边分类：
(2) 按角分类：
10．画出《高中数学·选修1－2》第三章“数系的扩充与复数的引入”的知识结构图．
解 如图所示：
11．有下列要素：哺乳动物、狗、飞行动物、麻雀、蛇、地龟、狼、动物、鹰、爬行动物，设计一个结构图，表示这些要素及其关系．
解 结构图：
12．某公司做人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两名，直接对总经理负责；设有6个部门，其中副经理A管理生产部，安全部和质量部，副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司人事调整后的人事结构图．
解 人事结构图如下：
双基限时练(二)
1．下列关于K2的说法正确的是( )
A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B．K2的值越大，两个事件的相关性越大
C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合
D．K2的观测值的计算公式为
K2＝
解析 A中K2的使用范围是四个数据中每个数据都必须大于5，故A错；B中过于确定，不正确；C正确；D中公式有错．
答案 C
2．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )
解析 在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.
答案 D
3．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理
种子未处理
合计
生病
32
101
133
不生病
61
213
274
合计
93
314
407
根据以上数据，则( )
A．种子经过处理跟是否生病有关
B．种子经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
解析 方法1：计算K2＝
≈1.678.
∴K2<2.706，故可判断种子经过处理与是否生病无关，应选B.
方法2：＝≈0.2406，＝≈0.2226.
∵与相差较小，
∴可以认为种子经过处理跟是否生病无关．
答案 B
4．为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )
A．平均数 B．方差
C．回归分析 D．独立性检验
答案 D
5．分类变量x和y的列联表如下，则( )
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A.ad－bc越小，说明x与y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明x与y的关系越弱
C．(ad－bc)2越大，说明x与y的关系越强
D．(ad－bc)2越小，说明x与y的关系越强
解析 由K2＝知，(ad－bc)2越大，K2值越大，说明x与y的关系越强．
答案 C
6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总数
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总数
26
24
50
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关系的把握大约为( )
A．99% B．95%
C．90% D．无充分依据
解析 由表中数据计算
K2＝≈5.059，
而K2＝5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关．
答案 B
7．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：
死亡
存活
合计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
合计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是________________________．
解析 根据独立性检验的基本思想，可知其类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题，进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．
答案 小白鼠的死亡与剂量无关
8．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据得到，
k＝≈4.844，因为k>3.841，所以确定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__________．
解析 ∵k＝4.844>3.841，∴有95%的把握可以确定主修统计专业与性别有关，那么这种判断出错的可能性为5%.
答案 5%
9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为__________.
P(K2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2>k)
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.83
解析 由表中数据可知，当k＞5.024时，出错的可能性占0.025，故有把握认为“X和Y有关系”的百分比为97.5%.
答案 97.5%
10．调查某班学生，按性别和籍贯分类得调查表如下：
天津
非天津
合计
男
12
28
40
女
6
19
25
合计
18
47
65
性别对籍贯的影响中，可信度小于__________．
解析 k＝≈0.277
∵0.277<0.455，∴查表可知小于0.50.
答案 50%
11．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动，你能否判断性别与休闲方式是否有关系？
解 首先建立列联表如下
休闲方式为看电视
休闲方式为运动
合计
女性
43
27
70
男性
21
33
54
合计
64
60
124
∵a＝43，b＝27，a＋b＝70，c＝21，d＝33，c＋d＝54，
a＋b＋c＋d＝124，a＋c＝64，b＋d＝60，
∴k＝
＝≈6.201>5.024，
即有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关．
12．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由？
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝
解 (1)调查的500位老年人中，有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)K2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据可以看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异．因此，在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
双基限时练(三)
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
答案 A
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )
○○○●●○○○●●○○○●●○○……
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案 A
3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．11n
答案 B
4．n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析 观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由↑可知从2010到2012为↑→.
答案 C
5．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式为( )
A．n2－1 B．n2－2n＋2
C．2n－1 D．2n－1＋1
解析 ∵a1＝1，an＝2an－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知an＝2n－1.
答案 C
6．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A适合．
答案 A
7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析 a1＝1＝12，a2＝1＋2＋1＝4＝22，
a3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
a4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
…，
由此可以猜想an＝n2.
答案 n2
8．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：
______________________________________________________.
答案 凸n边形的内角和是(n－2)×180°(n≥3)
9．观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．
答案 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
10．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？
顶点数
边数
区域数
a
b
c
d
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：
顶点数
边数
区域数
a
3
3
2
b
8
12
6
c
6
9
5
d
10
15
7
(2)观察：
3＋2－3＝2；
8＋6－12＝2；
6＋5－9＝2；
10＋7－15＝2.
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝1006，F＝1006，代入(2)中关系式，得E＝2010.
故这个平面图形有2010条边．
11．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1，且2a－a＋a2·a1＝0，
即2a＋a2－1＝0解得a2＝；
当n＝2时，由
3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，
解得a3＝，
…
由此猜想：an＝.
12．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝(*)，并给出(*)式的证明．
解 一般式为：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明如下：左边＝＋＋
＝－[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)
＝－
＝＝右边，
所以sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝成立．
(注：将一般式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝等均正确．)
双基限时练(四)
1．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
2．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lgx＋lgy
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析 由向量的运算性质知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正确．
答案 D
3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．三棱锥 D．正方体
答案 C
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．③
C．①② D．①②③
答案 D
5．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四面体的高)
解析 平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.
答案 C
6．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的方程为( )
A.＋＋＝1
B.＋＋＝1
C. ＋＋＝1
D．ax＋by＋cz＝1
答案 A
7．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.
解析 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V＝πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．
答案 V球＝πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)
8．等差数列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
答案 b＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)
9．坐标平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为(，)．类比以上结论，若△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心G的坐标为________．
答案 (，)
10．找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.
圆
球
(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦
(1)_____________________________________________ __________
(2)与圆心距离相等的弦长相等
(2)_______________________________________________________
(3)圆的周长C＝πd
(3)_______________________________________________________
(4)圆的面积S＝πr2
(4)________ _______________________________________________
答案 (1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面
(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等
(3)球的表面积S＝4πr2
(4)球的体积V＝πr3
11．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？
解 设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则
kAP·kBP＝·＝.
由于A，B，P三点都在椭圆上．
所以两式相减有＋＝0，
所以＝－，即kAP·kBP＝－.
故椭圆＋＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－.
12．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.
在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
图1
解 如图1所示，在Rt△ABC中，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又∵BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则＝＋＋.
图2
如图2，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.
∵AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋.
双基限时练(五)
1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
答案 C
2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )
A．一般的原理原则 B．特定的命题
C．一般的命题 D．定理、公式
答案 A
3．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
4．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则( )
A．m＝0 B．m＝0，或n＝0
C．n＝0 D．m＝0，且n＝0
答案 D
5．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是( )
A．－6 B.
C．－ D．6
解析 ∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
答案 D
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
7. 在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．
答案 大前提和推理过程
8．关于函数f(x)＝lg (x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x>0时，f(x)为增函数；
③f(x)的最小值是lg2；
④当－11时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是________．
解析 易知f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg＝lg(x＋)．∵g(x)＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确．
答案 ①③④
9．因为中国的大学分布在全国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在全国各地．结论
(1)上面的推理形式正确吗？为什么？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
解 (1)推理形式错误．
大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．
(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．
10．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
证明 ∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.
x＝0满足|x|≤1，
∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；
小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.
11．如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，试用三段论的形式证明EF∥平面BCD.
证明 连接BD.
∵三角形的中位线平行于第三边，大前提
而EF是△ABD的中位线，小前提
∴EF∥BD.结论
∵如果不在平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，大前提
而EF?平面BCD，BD?平面BCD，且EF∥BD，小前提
∴EF∥平面BCD.结论
12．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn，(n＝1,2,3，…)．
证明：(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，
an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)，
∴(n＋2)Sn＝nan＋1＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴＝2·(n＝1,2,3，…)．
故数列是首项为1，公比为2的等比数．
(2)由(1)知，＝2·＝4·(n≥2)，
则Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)．
又∵a2＝3S1＝3，∴S2＝a1＋a2＝4＝4a1.
故对任意的n∈N*，有Sn＋1＝4an.
双基限时练(六)
1．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析 若∠A为钝角，由余弦定理知cosA＝<0，∴b2＋c2－a2<0.
答案 C
2．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则( )
A．S4C．S6解析 ∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.
答案 B
3．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由A·A>0?∠A为锐角，而角B， C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，一定有A·A>0.
答案 B
4．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是( )
A. B．－
C. D.π
解析 由题意知，sin(＋φ)＝±1，
所以当φ＝时，sin(＋)＝sin＝1.
答案 C
5．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；
②a，b?α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③a⊥α，a∥β，则α⊥β；
④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①因为a∥b，b∥α?a∥α或a?α，所以①不正确．
②因为a，b?α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．
③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α?c⊥α?α⊥β，所以③正确．
④a⊥α，b∥α?a⊥b，所以④正确．
综上知③，④正确．
答案 B
6．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4
C.≥a＋b D.≥
解析 特殊法，取a＝1，b＝4，则D项不成立．
答案 D
7．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．
解析 p2＝ab＋cd＋2，
q2＝(ma＋nc)(＋)
＝ab＋＋＋cd
≥ab＋cd＋2
∴q2≥p2，∴p≤q.
答案 p≤q
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析 x2＋mx＋4<0?m<－x－，∵y＝－(x＋)在(1,2)上单调递增，∴－(x＋)∈(－5，－4)
∴m≤－5.
答案 (－∞，－5]
9．求证：ac＋bd≤·.
证明 (1)当ac＋bd<0时，
ac＋bd≤·显然成立．
(2)当ac＋bd≥0时，
要证ac＋bd≤·成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，
只需证2abcd≤a2d2＋b2c2，
只需证(ad－bc)2≥0成立．
而(ad－bc)2≥0显然成立．
所以ac＋bd≤·成立．
综上所述ac＋bd≤·成立．
10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.
证明 因为a2＝b(b＋c)，
所以a2＝b2＋bc.
由余弦定理得
cosA＝＝＝.
又因为cos2B＝2cos2B－1＝2()2－1
＝2()2－1＝
＝＝.
所以cosA＝cos2B.
又因为A，B是三角形的内角，
所以A＝2B.
11．如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)由E，F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC，
∵EF?平面ABC而BC?平面ABC.
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D?平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.
CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C?平面BB1C1C，
∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式an.
解 (1)证明：∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5，
∴Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)．
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1(n≥2)．
∴＝＝2.
又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，
∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.
又∵＝＝2.
∴数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，a1＋1＝6，an＋1＝6×2n－1＝3×2n，
∴an＝3×2n－1.
双基限时练(七)
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
答案 C
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．两个都是非负数
D．至少有一个是正数
答案 D
3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )
A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，c不全是正数 D．abc<0
答案 C
4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
答案 D
5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案 C
6．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
答案 a≠1，或b≠1
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
以上步骤正确的顺序是________．
答案 ③①②
8．有下列四个命题：
①同一平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交；
②两个不相等的角不是直角；
③平行四边形的对角线互相平分；
④已知x，y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1.
其中适合用反证法证明的是________．
答案 ①②④
9．如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．
∴f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
解得
所以－所以当a≥－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
11．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.
证明：＝＋不成立．
证明 假设＝＋成立，则＝＝，
∴b2＝ac.
又∵b＝，∴()2＝ac，即a2＋c2＝2ac，
即(a－c)2＝0，
∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾，
∴＝＋不成立．
12．如右图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解 (1)如右图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝＝.
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB?平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，
故AB?平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF.
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
双基限时练(八)
1．设C＝{复数}、A＝{实数}、B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．?UA＝B
C．A∩?UB＝? D．B∪?UB＝C
答案 D
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是( )
A．a＋b＝a－bi B．a＋bi＝－a＋bi
C．ab＝0 D．a＝b＝0
答案 A
3．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1或0 B．1
C．0 D．以上都不对
答案 C
4．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
答案 A
5．(－1)i的实部是( )
A. B．1
C．－1 D．0
答案 D
6．若x，y∈R，且z＝x＋yi是虚数，则有( )
A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈R
C．x∈R，y＝0 D．x∈R，y≠0
答案 D
7．已知复数z＝m2－3m＋(m2－5m＋6)i(m∈R)，若z<0，则m＝________.
解析 ∵m∈R，且z<0，∴z∈R，
∴解得m＝2.
答案 2
8．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为__________．
解析 由4－3a－a2i＝a2＋4ai，
得解得a＝－4.
答案 －4
9．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析 由复数相等的充要条件知，
消去a，
得x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)＋(y＋1)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
10．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
－3,0,2＋i， i，－4i，sin＋isin.
解 －3,0,2＋i，i，－4i，sin＋isin的实部分别为－3,0,2,0,0,1；虚部分别是0,0，，1，－4，.
－3,0是实数；2＋i，i，－4i，sin＋isin是虚数；其中i，－4i是纯虚数．
11．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
解 由题意得
∴
解得m＝4.
12．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
解 设x＝a为方程的一个实数根．
则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0
∵a，m∈R，由复数相等的充要条件
有解得
故实数m的值为.
双基限时练(九)
1．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0,0) D．(1,1)
答案 A
2．复数z＝|z|的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z为实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
答案 D
3．复数z＝＋i2对应点在复平面( )
A．第一象限内 B．第四象限内
C．实轴上 D．虚轴上
答案 C
4．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为( )
A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c， b＝－d D．a≠c，b≠d
解析 设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，
z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．
∵P与Q关于y轴对称，
∴a＝－c，b＝d.
答案 A
5．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．两点 D．线段
解析 由|z|2－3|z|＋2＝0，
得(|z|－1)(|z|－2)＝0，
∴|z|＝1，或|z|＝2，
由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．
答案 B
6．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
解析 |z1|＝|5＋3i|＝＝，
|z2|＝|5＋4i|＝＝，
∵<，∴|z1|<|z2|.
答案 D
7．已知复数z＝x－2＋yi的模为2，则点(x，y)的轨迹方程为__________．
解析 依题意得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案 (x－2)2＋y2＝8
8．复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为__________．
解析 由z＝3＋4i知＝(3,4)，
∴直线的斜率为k＝.
答案
9．已知集合M＝{1,2，m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i}，N＝{3i}，且M∩N≠?，则实数m的值为________．
解析 ∵M∩N≠?，
∴m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i＝3i，
∴解得m＝－2.
答案 －2
10．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应点满足下列条件？
(1)在第三象限；
(2)在虚轴上；
(3)在直线x－y＋3＝0上．
解 复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6)．
(1)点Z在第三象限，则
解得
∴0(2)点Z在虚轴上，则
解得m＝0，或m＝4.
(3)点Z在直线x－y＋3＝0上，
则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0，
即－3m＋9＝0，∴m＝3.
11．已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．
解 ∵z∈C，可设z＝x＋yi(x，y∈R)，
又|z＋1＋i|＝1，
∴(x＋1)2＋(y＋)2＝1.
∴点(x，y)在以(－1，－)为圆心，半径为1的圆上．
由|z|＝知，|z|的最小值为1，最大值为3.
12．已知两个向量a，b对应的复数z1＝3和z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角．
解 ∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
∴a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
