本册综合测试(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析 ＝＝＝1＋i.
答案 A
2．下列推理正确的是( )
A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖
B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－c
C．若a>0，b>0，则lga＋lgb≥2
D．若a>0，b<0，则＋＝－≤
－2＝－2
答案 D
3．a＝0是复数a＋bi(a、b∈R)为纯虚数的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
4．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为＝60＋90x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1000元时，工资为50元
B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元
C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元
D．劳动生产率为1000元时，工资为90元
答案 C
5．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )
A．①—综合法，②—分析法
B．①—分析法，②—综合法
C．①—综合法，②—反证法
D．①—分析法，②—反证法
答案 A
6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )
答案 A
7．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为( )
A．22 B．36
C．38 D．42
解析 把x＝－3＋2i代入方程2x2＋px＋q＝0，得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，整理得(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∵p，q∈R，∴解得
∴p＋q＝38.
答案 C
8．阅读下面的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写( )
A．i<3
B．i<4
C．i<5
D．i<6
解析 i＝1，s＝2；
s＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；
s＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；
s＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.
因输出s的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i<6”．
答案 D
9．在流程图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )
A．连接点 B．判断框
C．流程线 D．处理框
答案 C
10．“金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )
A．完全归纳推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
答案 B
11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a1＝1，Sn＝n2·an，
∴a1＋a2＝22·a2，?a2＝；
由a1＋a2＋a3＝32·a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，
得a4＝…，
猜想an＝.
答案 B
12．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析 |z－i|＝|3－4i|＝5，
∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2等于________．
解析 由于ei恒为0，即解释变量与预报变量成函数关系，此时两变量间的相关指数R2＝1.
答案 1
14．某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如下：
如果某人用手机查询该机卡上余额，该如何操作？__________.
答案 该人用手机拨通10011电话，按1号键，再按2号键，便可查询该手机卡上的余额
15．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)，(a，b∈N)，且f(1)＝2，则＋＋＋＋＝________.
解析 由f(a＋b)＝f(a)·f(b)可知，对?n∈N有f(n＋1)＝f(n)f(1)＝f(n)·2，∴＝2，
∴＋＋＋＋＝10.
答案 10
16．观察下列不等式：
1＋<.
1＋＋<，
1＋＋＋<，
…
照此规律，第五个不等式为________．
解析 观察各不等式的特点，易写出第四个不等式为1＋＋＋＋<，
第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
答案 1＋＋＋＋＋<
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知：x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.
求证：a，b中至少有一个不小于0.
证明 假设a，b都小于0，
即a<0，b<0，则a＋b<0.
又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
这与假设所得a＋b<0矛盾，故假设不成立．
∴a，b中至少有一个不小于0.
18．(12分)某大型企业人力资源部为研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持企业改革
不太赞成企业改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
解 由K2公式得
K2＝≈10.759
因为10.759>7.879
所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作的积极性是有关的．
19．(12分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a>0，b>0，那么lg≥；
(2)设x>0，y>0，求证：(x2＋y2)>(x3＋y3).
证明 (1)综合法：
∵a>0，b>0，∴≥，
∴lg≥lg，
又lg＝lgab＝，
∴lg≥.
分析法：∵a>0，b>0，
∴a＋b>0，要证lg≥，
只需证2lg≥lgab，
即证lg()2≥lgab，
只需证()2≥ab，
即证(a＋b)2≥4ab，
即证(a－b)2≥0.
而(a－b)2≥0恒成立．
故原不等式成立．
(2)∵x>0，y>0，
∴要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，
只需证明(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，
即证x2y2(3x2－2xy＋3y2)>0，
只需证3x2－2xy＋3y2>0.
∵3x2－2xy＋3y2＝3(x－)2＋y2>0成立，
∴原式成立．
20．(12分)高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间申请查分．
(1)本人填写《查分登记表》交县(区)招办申请查分，县(区)呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知；有误，则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接通知，再由县(区)招办通知考生．
试画出该事件的流程图．
解 流程图如下：
21．(12分)先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1.
求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，
则f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a
＝2x2－2x＋a＋a.
因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4－8(a＋a)≤0.从而得a＋a≥.
(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，试写出上述结论的推广式；
(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．
解 (1) 若a1，a2，…，an∈R，
a1＋a2＋…＋an＝1.
求证：a＋a＋…＋a≥.
(2) 构造函数
f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a.
因为对?x∈R，恒有f(x)≥0，
所以Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
从而得：a＋a＋…＋a≥＝.
22．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？
(注：b＝，a＝－b)．
解 (1) 根据表中所列数据可得散点图如下：
(2) 列出下表，并用科学计算器进行有关计算
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
因此，＝＝5，＝＝50
＝145，＝13500，
iyi＝1380，
于是可得b＝＝
＝6.5；
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.
因此，所求回归直线方程为＝6.5x＋17.5.
(3) 据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．
本册综合测试(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．变量y与x之间的回归方程( )
A．表示y与x之间的函数关系
B．表示y与x之间的不确定关系
C．反映y与x之间的真实关系
D．反映y与x之间真实关系达到最大限度的吻合
解析 回归方程是表示y与x具有相关关系，相关关系是一种非确定性关系，而回归方程是由最小二乘法求得的，它反映了y与x之间真实关系达到最大限度的吻合．
答案 D
2．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则等于( )
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
解析 z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，
＝＝＝＝－1＋i.
答案 B
3．散点图在回归分析过程中的作用是( )
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否线性相关
答案 D
4．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
答案 C
5．在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( )
A．99.9% B．95%
C．90% D．0
解析 ∵13.097>10.828，∴有99.9%的把握认为两个变量有关系．
答案 A
6．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析 ＝1＋i，则1＋2i＝(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i，
∵a，b∈R，
∴解得
答案 A
7．在一次试验中，当变量x的取值分别为1、、、时，变量y的值依次为2、3、4、5，则y与x之间的回归曲线方程为( )
A.＝x＋1 B.＝2x＋1
C.＝＋3 D.＝＋1
解析 把变量x的值代入验证知，回归曲线方程为＝＋1.
答案 D
8．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，A＝B＝90°不成立．②所以三角形中不能有两个直角．③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°.正确顺序的序号为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
答案 B
9．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．25 B.
C．5 D.
解析 解法一：z＝＝＝＝－4－3i.
∴|z|＝|－4－3i|＝＝5.
解法二：|z|＝＝＝＝5.
答案 C
10．已知下表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
…
则a81的位置是( )
A．第13行第2个数
B．第14行第3个数
C．第13行第3个数
D．第17行第2个数
解析 第n行最后一项为a，故当n＝13时，有a91，所以a81是第13行第3个数．
答案 C
11．如图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数( )
A．y＝x＋1的图象上 B．y＝2x的图象上
C．y＝2x的图象上 D．y＝2x－1的图象上
解析 读程序框图知，输出的(x，y)依次是：(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，这些点都在y＝2x－1的图象上．
答案 D
12．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
解析 设数列为{bn}，则b1＝1＝a1－1，
b2＝a＋a2＝a2－1＋a2(2－1)，
b3＝a2＋a3＋a4＝a3－1＋a3＋a2(3－1)，
b4＝a3＋a4＋a5＋a6＝a4－1＋a4＋a5＋a2(4－1)，
…
bn＝an－1＋an＋…＋a2(n－1)(n∈N*)，
∴bk＝ak－1＋ak＋…＋a2(k－1)．
答案 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．观察数列，3，，，3，…，写出数列的一个通项公式an＝________.
解析 观察数列，，，，，…，
被开方数3,9,15,21,27，…，
成等差数列，通项为3＋(n－1)×6＝6n－3，故an＝(n∈N*)．
答案 (n∈N*)
14．下列表示旅客搭乘火车的流程，正确的是________．
①买票―→候车―→上车―→检票
②候车―→买票―→上车―→检票
③买票―→候车―→检票―→上车
④候车―→买票―→上车―→检票
答案 ③
15．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
解析 若z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，
∵θ∈[0,2π]，∴θ＝，或θ＝.
答案 或
16．如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．
解析 在△ABC中，有正弦定理＝＝，于是类比三角形中的正弦定理，在三棱锥S－ABC中，猜想＝＝.
答案 ＝＝
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．
解 根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．列出对应的2×2列联表如下：
中奖注数
未中奖注数
总计
未分析
50
950
1000
分析后
75
1425
1500
总计
125
2375
2500
假设H0：对彩票号码的研究与中奖无关．
由表中数据，得K2的观测值为
k＝＝0.
因为0<2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．
18．(12分)已知f(z)＝|1＋z|－，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.
解 f(z)＝|1＋z|－，f(－z)＝|1－z|＋，
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
由f(－z)＝10＋3i，得
|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，
所以
解方程组得
所以复数z＝5－3i.
19．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－×＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋2－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα
＝(sin2α＋cos2α)＝.
20．(12分)下面命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．
命题：若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则<.
解 命题是真命题，证明如下：
∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0.
要证<，只需证<a，
只需证b2－ac<3a2，因为b＝－a－c，故
只需证(a＋c)2－ac<3a2，即证2a2－ac－c2>0，
即证(2a＋c)(a－c)>0.
∵2a＋c>a＋b＋c＝0，a－c>0，
∴(2a＋c)(a－c)>0成立，故原命题成立．
21．(12分)设函数y＝f(x)定义在R上，对任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0
(1)求证：f(0)＝1，且当x<0时，f(x)>1；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
证明 (1)∵对m，n∈R，恒有
f(m＋n)＝f(m)·f(n)，
∴令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
又0当x<0时，－x>0，从而
f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)＝.
∵－x>0，∴01.
(2)任取x1，x2∈R，且x1∴x2－x1>0，故0即0又f(0)＝f(x1－x1)＝f(x1)·f(－x1)＝1，
∴f(－x1)＝.
又当x∈R时，f(x)>0，
∴0<<1，∴f(x2)f(x2)，
故f(x)在R上是减函数．
22．(12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率．
解 (1)因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝3(名)．
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20岁至40岁的有2名(记为y1，y2)，大于40岁的有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同的取法：y1y2，y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有一名年龄在20岁至40岁”，则A中的基本事件有6种：
y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3.
故所求的概率为P(A)＝＝0.6.
