双基限时练(一) 算法的概念
基 础 强 化
1．算法的有限性是指( )
A．算法必须包含输出
B．算法中每个步骤都是可执行的
C．算法的步骤是有限的
D．以上说法均不正确
解析 算法的有限性是指算法必须保证执行有限步后结束，故选C.
答案 C
2．下面四种叙述能称为算法的是( )
A．在家里一般是妈妈做饭
B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C．在野外做饭叫野炊
D．做饭必须要有米
解析 B选项中给出了做饭所需的步骤，满足算法的概念，所以B选项中描述的是算法，故选B.
答案 B
3．下面的结论正确的是( )
A．一个程序的算法步骤是可逆的
B．一个算法可以无止境的运算下去
C．完成一件事情的算法有且只有一种
D．设计算法要本着简单方便的原则
解析 根据算法的特征与算法的设计原则， D选项正确．
答案 D
4．阅读下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是( )
A．求1×2×3的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6，最终结果为6
B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C．方程x2－1＝0有两个实数根
D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15
解析 算法指的是解决一类问题的方法或步骤，选项C只是陈述了方程有两个根的事实，没有解决如何求这两个根的问题，所以不能看成算法．
答案 C
5．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，下列选项中最好的一个算法为( )
A．S1洗脸刷牙；S2刷水壶；S3烧水；S4泡面；S5吃饭；S6听广播．
B．S1刷水壶；S2烧水的同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭；S5听广播．
C．S1刷水壶；S2烧水的同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭的同时听广播．
D．S1吃饭的同时听广播；S2泡面；S3烧水的同时洗脸刷牙；S4刷水壶．
解析 C选项中的算法设计从时间观念上来看更加合理，故选C.
答案 C
6．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( )
①S＝1＋2＋3＋…＋100；
②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N*)．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解析 算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内能完成任务．②是无限项求和，不能用算法求解．
答案 B
7．一个厂家生产商品的数量按照每年增加原来的18%的比率递增，若第一年产量为a，“计算第n年产量”这个算法程序中所用到的一个函数式为__________________．
解析 第一年的产量为a；
第二年的产量为a(1＋18%)；
第三年的产量为a(1＋18%)2；
…
第n年的产量为a(1＋18%)n－1.
答案 y＝a(1＋18%)n－1
8．求a，b，c中最大值的算法中最少要有________次比较过程，才能输出最大值．
解析 求a，b，c中最大值的算法如下：
S1 max＝a；
S2 若b>max，则max＝b；
S3 若c>max，则max＝c；
S4 输出max.
∴求a，b，c中最大值的算法中，最少需要两次比较．
答案 两
9．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．
第一步，出家门．
第二步，________.
第三步，坐火车去北京．
解析 按照这个人出门去北京的顺序，第二步应该为打车去火车站．
答案 打车去火车站
能 力 提 升
10．设计一个解方程组的算法，算法步骤用自然语言描述．
解
算法步骤为：
S1 ①×2＋②得5x＋1＝0； ③
S2 解③得x＝－；④
S3 将④代入①，可得y＝；
S4 输出x，y的值．
11．已知函数y＝试设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
解 算法如下：
S1 输入x的值．
S2 当x≤－1时，计算y＝－x2－1；
否则执行S3.
S3 计算y＝x3.
S4 输出y.
12．实验室中，某实验员需将495 g氯化钾药品平均分成三份，当时称量物品的天平只有50 g和5 g的两个砝码，如何设计算法使称量的次数最少？需称量多少次？
解 算法步骤如下：
S1 先计算出495 g氯化钾平均分成三份，每份应该是165 g；
S2 165 g中有3个5 g和3个50 g；
S3 先用5 g砝码和50 g砝码称出55 g氯化钾；
S4 再用55 g氯化钾和55 g砝码共同称出110 g氯化钾，与上一次称出的55 g氯化钾混合得到一份165 g的氯化钾；
S5 再用所称出的165 g氯化钾作为砝码再称出165 g氯化钾，此时剩下的氯化钾也为165 g.
这样全部的氯化钾被平均分成了三份，按照此算法共需要称量3次．
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13．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( )
A．这个算法可以求所有的零点
B．这个算法可以求任何方程的零点
C．这个算法能求所有零点的近似解
D．这个算法可以求变号零点近似解
解析 二分法的理念依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．
答案 D
双基限时练(十) 系统抽样
基 础 强 化
1．一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为1至50号，为了了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )
A．放回抽样法 B．抽签法
C．随机数表法 D．系统抽样法
解析 根据系统抽样的定义可知，这种抽样方式为系统抽样．
答案 D
2．有40件产品，编号从1至40，现在从中抽取4件检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A．5,10,15,20 B．2,12,22,32
C．11,20,29,38 D．5,8,31,36
解析 抽样间隔为40×＝10，故选B.
答案 B
3．为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．40 B．30
C．20 D．12
解析 抽样间隔为1200×＝40.
答案 A
4．总体容量为524.若采用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 524×＝131，∴当抽样间隔为4时不需要剔除个体．
答案 B
5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析 根据系统抽样的方法结合不等式求解．
抽样间隔为＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x0(x0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*.
∴24≤k＋≤36.
∵∈，∴k＝24,25,26，…，35，
∴k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.
答案 B
6．从2011名学生志愿者中选取50名组成一个志愿者报名团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2011人中剔除11人，余下的2000人再按系统抽样的方法进行选取．则每人入选的机会( )
A．不全相等 B．全不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
解析 系统抽样是公平的，每个个体被抽到的可能性都相等，与是否被剔除无关．
答案 C
7．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6,30,42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是________．
解析 抽样间隔为48×＝12，故所求座位号为18.
答案 18
8．某商场想通过检查发票上的销售额的方式来快速估计每月的销售总额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽取一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是________．
解析 题中抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第1组中抽取了15号，以后各组抽取的号码为15＋50(n－1)(n为组的编号)，符合系统抽样的特点．
答案 系统抽样法
9．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本．规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析 由题意知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码的个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号的顺序依次为60, 61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.
答案 63
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10．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本间距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？
解 交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不班，不能代表其他几天的情况．
改进方法：可以将所要调查的时间段的每一天先随机编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样法．如果是调查一年的交流通量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本间距改为8.
11．某校高中一年级有250名学生，为了了解他们的视力状况，打算从中抽取一个容量为50的样本，试用系统抽样法进行抽取，并写出过程．
解 S1 把250名学生编号为1,2，…，250.
S2 分段．取分段间隔k＝＝5，将总体平均分成50段，每段含5个个体．
S3 从第1到5号中，任意取出一个号码l，
从后面各段中依次取出l＋5，l＋10，…，l＋245这49个号码．
把以上号码所对应的学生抽出，这样就得到了一个容量为50的样本．
12．从2008名同学中抽取一个容量为20的样本，试叙述系统抽样的步骤．
解 (1)采用随机的方式给个体编号：1,2,3，…2008.
(2)剔除8个个体．
(3)将剩下的个体重新编号，由于20?2000＝1?100，故将总体分成20个部分，每部分100个个体．
(4)在第一部分采用随机的方式抽取一个号码，比如66号．
(5)用起始号加间隔确定样本中的各个个体，如66,166,266，….
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13．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析 ∵＝8，∴第1组中号码为126－15×8＝6.
答案 B
双基限时练(十一) 分层抽样 数据的收集
基 础 强 化
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样法
解析 分层抽样法的特点为：总体中各类所占比例与在样本中所占比例一致．故选D.
答案 D
2．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，则分层抽样、简单随机抽样、系统抽样中，为不放回抽样的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
答案 C
3．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )
A．30 B．25
C．20 D．15
解析 在总体中，松树所占比重为＝，故样本中松树也占，也就是150×＝20棵，故选C.
答案 C
4．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行仪器安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 ∵＝，
∴抽取植物油类食品和果蔬类食品的个数为
(10＋20)×＝6.
答案 C
5．某服装加工厂某月生产A，B，C三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
2300
样本容量(件)
230
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是( )
A．80 B．800
C．90 D．900
解析 ∵抽样比为，∴样本容量为400.∵A与C共170件，∴A有90件，C有80件．∴C的数量为800.
答案 B
6．某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A．60 B．80
C．120 D．180
解析 11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则抽样比为.
∵从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，
∴从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷总数为＝900(份)，则15～16岁回收问卷份数为：x＝900－120－180－240＝360(份)．
360×＝120(份)，故选C.
答案 C
7．某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为________．
解析 ＝，故在不到40岁的教师中抽取的人数为350×＝50.
答案 50
8．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为________．
解析 ∵＝，
∴样本中高三学生人数为500×＝50.
答案 50
9．高一·二班小明同学进行一项研究，他想得到全班同学的臂长数据，他应该选择的最恰当的数据收集方法是________．
答案 做试验
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10．某公司有1000名职工，其中工龄在5年以下的有300人，5年至10年的有500人，10年以上的有200人，现计划选取100人听取对公司管理的意见，应该在各部分人中各抽取多少人．
解 300×＝30(人)，500×＝50(人)，
200×＝20(人)，∴在5年以下工龄的人中选取30人，5年至10年工龄的人中选取50人，10年工龄以上的人中选取20人．
11．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3?2?5?2?3，从这3万人中抽取一个容量为300的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解 因为疾病与地理位置及水土均有关，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：
S1 将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
S2 按照各乡镇人口的比例随机抽取：300×＝60(人)，300×＝40(人)，300×＝100(人)，300×＝40(人)，300×＝60(人)，因此各乡镇抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
S3 将300人组到一起，即得到一个样本．
12．下面问卷是为了调查最近上映的影片的受欢迎程度而设计的，调查对象是去电影院的人，你认为这份问卷好不好？为什么？
姓名________ 年龄________
地址________ 电话________
工资收入________ 工作单位________
今天晚上你看的电影是________．
电影的名字是________．
影片好看吗？很好________ 好________ 不好________．
用十分制为影片打分：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
比起你看的上一场电影怎么样？1 2 3 4 5
你认为这部电影什么地方最精彩？________。
从事文艺工作吗？________.买雪糕了吗？________.
是开私家车来的吗？________.
解 这份问卷不好，因为：
(1)女士一般不喜欢别人问年龄，男士一般不喜欢别人问工资收入．“年龄”和“工资收入”放在前面会影响受调查者答题．
(2)问题“比起你看的上一场影片怎么样？1 2 3 4 5”意思含混，不容易做答．
(3)问题“你认为这部影片什么地方最精彩？________”容易引起受调查者选择上面影片好看的选项．
(4)最后两个问题“买雪糕了吗？________是开私家车来的吗？________”与这次调查的关系不大．
在问卷的设计中，不但要考虑“难以启齿”的问题本身对调查结果的影响，而且还要考虑其他因素．例如：问题在问卷中的位置也会对调查者产生影响．一般地，比较容易的，不涉及个人的问题应当排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面．
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13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )
A．9 B．10
C．12 D．13
解析 由分层抽样可得，＝，解得n＝13.
答案 D
双基限时练(十二)
用样本的频率分布估计总体的分布
基 础 强 化
1．下列关于频率分布直方图的说法，正确的是( )
A．直方图的高表示取某数的频率
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现频数与组距的比值
C．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
D．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现频率与组距的比值
解析 频率分布直方图的纵坐标表示，故选D.
答案 D
2．从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，前三组是不超过80分的人，其频数之和为20 人，其频率之和(又称累积频率)为0.4，则所抽取的样本的容量是( )
A．100 B．80 C．40 D．50
解析 样本容量为＝50.故选D.
答案 D
3．下列说法不正确的是( )
A．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D．频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的
解析 在频率分布直方图中各个小矩形的高就是该组的.
答案 A
4．某市教育行政部门为了对2012届高中毕业生的学生水平进行评价，从该市高中毕业生中抽取1000名学生的数学成绩作为样本进行统计，其频率分布直方图如图所示．则这1000名学生的数学平均成绩的最大可能值为( )
A．67.50 B．72.05 C．76.50 D．77.50
解析 由题意得平均成绩的最大可能值为0.05×50＋0.1×60＋0.25×70＋0.35×80＋0.15×90＋0.1×100＝77.50.
答案 D
5．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出________人．( )
A．20 B．25 C．30 D．35
解析 由直方图可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500＝2500人．
按分层抽样应抽出2500×＝25人．
答案 B
6．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图．据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为( )
A.100 B．160
C．200 D．280
解析 由茎叶图可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为×8＝160.
答案 B
7．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是________．
解析 由频率分布直方图可得前三小组的频率之和为1－5×(0.013＋0.037)＝0.75，又由前3个小组的频率之比为1?2?3，可得第2小组的频率为0.75×＝0.25，则报考飞行员的学生人数是＝48人．
答案 48
8．如图是CBA篮球联赛中，甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是________．
解析 从茎叶图上可知，甲得分为：8,10,15,16,22,23,25,26,27,32，平均值为20.4；乙得分为：8,12,14,17,18,19,21,27,28,29，平均值为19.3，∴平均分高的是运动员甲．
答案 甲
9．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的频率约为________．
解析 题中给出了20个数，其中在497.5～501.5之间的数共有5个，所以频率为＝0.25.
答案 0.25
能 力 提 升
10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
频数
频率
[500,900)
48
[900,1100)
121
[1100,1300)
208
[1300,1500)
223
[1500,1700)
193
[1700,1900)
165
[1900，＋∞)
42
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率．
解 (1)
分组
频数
频率
[500,900)
48
0.048
[900,1100)
121
0.121
[1100,1300)
208
0.208
[1300,1500)
223
0.223
[1500,1700)
193
0.193
[1700,1900)
165
0.165
[1900，＋∞)
42
0.042
(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6.
11．为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组数如下：
[10.75,10.85)3；[10.85,10.95)；[10.95,11.05)13；[11.05,11.15)16；[11.15,11.25)26；[11.25,11.35)20；[11.35,11.45)7；[11.45,11.55)4；[11.55,11.65]2.
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图．
解 (1)频率分布表：
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
[10.95,11.95)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65]
2
0.02
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图与频率分布折线图如图所示：
12．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414,412,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)完成所附的茎叶图；
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
解 (1)茎叶图如图所示
(2)用茎叶图处理的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据．
(3)通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产重量为397.8千克．由此可知，品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高．但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中于平均产量附近．
品 味 高 考
13．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
解析 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是＝50.
答案 B
双基限时练(十三)
用样本的数字特征估计总体的数字特征
基 础 强 化
1．描述总体离散程度或稳定性的数字特征是总体的方差，以下统计算法估计总体稳定性的是( )
A．样本的平均值 B．样本的方差
C．样本的最大值 D．样本的最小值
解析 在统计中，可以用样本的数字特征估计总体的数字特征，故选B.
答案 B
2．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示(如图所示)，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是( )
A.甲>乙，且甲比乙成绩稳定
B.甲>乙，且乙比甲成绩稳定
C.甲<乙，且甲比乙成绩稳定
D.甲<乙，且乙比甲成绩稳定
解析 由题意得甲＝90，乙＝88，甲的成绩的方差是×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，乙的成绩的方差是×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．故选A.
答案 A
3．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这个41个分数的平均数为N，那么M?N为( )
A. B．1 C. D．2
解析 若x1，x2，…，xn的平均数为M，即
＝M，则x1，x2，…，xn，这n＋1个数的平均数N＝＝＝＝M，所以M?N＝1?1.
答案 B
4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ∵
∴∴或
∴|x－y|＝4.
答案 D
5．一组数据中的每一个数据都减去80后得一组新的数据，如果求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为( )
A．81.2,84.4 B．78.8,4.4
C．81.2,4.4 D．78.8,75.6
解析 平均数是反应一组数据的平均水平，方差反应一组数据离散程度．故给一组数据都加上或减去一个非零常数，则这组数的平均数就改变相应的值，方差不变．
答案 C
6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me
解析 由题意mo＝5，me＝＝5.5，＝＝，显然>me>mo，故选D.
答案 D
7．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)125,124,121,123,127，则该样本标准差s＝________(克)(用数字作答)．
解析 因为样本平均数＝(125＋124＋121＋123＋127)＝124，则样本方差s2＝(12＋02＋32＋12＋32)＝4，
所以s＝2.
答案 2
8．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________.
解析 由平均数是10得x＋y＝20，由标准差是得
＝，
∴(x－10)2＋(y－10)2＝8，∴xy＝96.
答案 96
9．某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计
组别
平均
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
则全班的平均成绩为________，标准差为________．
解析 平均值为：＝＝85；
即x＋x＋…＋x＝720＋20×902＋320＋20×802＝291040.
方差为s2＝＝＝51.
即标准差为.
答案 85
能 力 提 升
10．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
X:y
1:1
2:1
3:4
4:5
解 (1)依题意得，
10(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.
(2)这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．
(3)数学成绩在[50,60)的人数为：100×0.05＝5，
数学成绩在[60,70)的人数为：100×0.4×＝20，
数学成绩在[70,80)的人数为：100×0.3×＝40，
数学成绩在[80,90)的人数为：100×0.2×＝25，
所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：
100－5－20－40－25＝10.
11．某划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：甲，27,38,30,37,35,31.乙，33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁最优秀．
解 甲＝(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33.
乙＝(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝15.67.
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝12.67.
∴甲＝乙，s>s，说明二人的最大速度平均值相同，但乙比甲更稳定．故乙比甲更优秀．
12．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
3000元
450元
350元
400元
320元
320元
410元
(1)计算所有人员的周平均收入；
(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？
解 (1)周平均收入＝(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．
(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
(3)去掉老板的收入后的周平均收入＝(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．这能代表打工人员的周收入水平．
品 味 高 考
13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为( )
A. B.
C．36 D.
解析 利用平均数为91，求出x值，利用方差的定义，计算方差．
答案 B
双基限时练(十四) 变量的相关性
基 础 强 化
1．下列关系是函数关系的是( )
A．光照时间和棉花的亩产量
B．降雪量和交通事故的发生率
C．速度一定时，位移与时间的关系
D．父母的身高与子女的身高关系
解析 速度v一定时，位移s与时间t成正比，即
s＝vt.故选C.
答案 C
2．下列关系是相关关系的是( )
A．人的年龄与他拥有的财富之间的关系
B．曲线上的点和该点的坐标之间的关系
C．某地区的降水量与地下水位
D．一个学生的数学成绩与英语成绩的关系
解析 降水量越多，地下水位越高．故选C.
答案 C
3．已知x、y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝( )
A．1.30 B．1.45
C．1.65 D．1.80
解析 依题意得，＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线＝0.95x＋必过中心点(，)，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋，由此解得＝1.45，选B.
答案 B
4．为了了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的回归直线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝x＋1
C．y＝88＋x D．y＝176
解析 由题意＝＝176，
＝＝176，
由于(，)一定满足回归直线方程，经验证知选C.
答案 C
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归直线方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析 ＝＝3.5，
＝＝42，
∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
∴回归方程为＝9.4x＋9.1，
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5，故选B.
答案 B
6．如下图所示的5个点中，去掉________点后，剩下的4个点的线性相关关系最明确( )
A．E B．D
C．B D．A
解析 由图可知，去掉D点后，剩下的A、B、C、E非常接近于一条直线，即这四个的线性关系最明确，故选B.
答案 B
7．已知一个回归直线方程＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则＝________.
解析 因为＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，
且＝1.5＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.
答案 58.5
8．对于回归方程＝4.75x＋257，当x＝28时，y的估计值是________．
解析 当x＝28时，y＝4.75×28＋257＝390.
答案 390
9．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析 由题意知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案 0.254
能 力 提 升
10．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温℃
25
18
12
10
4
0
杯数
18
30
37
35
50
54
(1)根据表中的数据画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与卖出的热茶杯数近似成什么关系吗？
解 (1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图如图：
(2)从散点图上可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性关系，且为负相关关系．说明了气温越高，所卖出的热茶的杯数就越少．
11．某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程．
解 (1)散点图如下图．
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
于是可得，＝＝6.5，
＝－＝50－6.5×5＝17.5，
于是所求的回归直线方程是＝6.5x＋17.5.
12．要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表所示：
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
82
89
73
98
56
75
表中x是学生入学数学成绩，y是指高一年级期末考试数学成绩．
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)若某学生王明亮的入学数学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩为多少？
解 (1)作出散点图如图所示，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．
(2)
i
xi
yi
x
y
xiyi
1
63
65
3969
4225
4095
2
67
78
4489
6084
5226
3
45
52
2025
2704
2340
4
88
82
7744
6724
7216
5
81
82
6561
6724
6642
6
71
89
5041
7921
6319
7
52
73
2704
5329
3796
8
99
98
9801
9604
9702
9
58
56
3364
3136
3248
10
76
75
5776
5625
5700
可求得＝(63＋67＋…＋76)＝70，
＝ (65＋78＋…＋75)＝75，
＝≈0.721，
∴≈75－0.721×70＝24.53.
所求的回归直线方程为＝0.721x＋24.53.
(3)若王明亮的入学数学成绩为80分，代入上面的回归直线方程＝0.721x＋24.53，可得≈82(分)．
品 味 高 考
13．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为＝bx＋a，其中b＝10.5，据此模型来预测当x＝20时，的估计值为( )
A．210 B．210.5
C．211.5 D．212.5
解析 因为＝＝5，
＝＝54.
又因为＝bx＋a恒过定点(，)且b＝10.5，
所以a＝1.5，故当x＝20时，＝211.5
答案 C
双基限时练(十五)
随机现象 事件与基本事件空间
基 础 强 化
1．下列试验能够构成事件的是( )
A．掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100 ℃
D．摸彩票中头奖
解析 事件必须有条件和结果，A，B，C只有条件，没有结果，构不成事件，D既有条件又有结果，可以构成事件．
答案 D
2．在下列4个事件中，是随机事件的是( )
A．物体在重力作用下自由下落
B．若x是实数，则|x|<0
C．若a>b，则a－b<0
D．函数y＝logax(a>0，a≠1)是(0，＋∞)上的增函数
解析 A是必然事件，B、C是不可能事件，根据对数函数的性质可知，当a>1时单调递增，当0答案 D
3．一个家庭有两个小孩，则基本事件空间Ω是( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
解析 把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有情况是：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故选C.
答案 C
4．下列说法错误的是( )
A．“在标准大气压下，水加热到100℃时沸腾”是必然事件
B．“姚明在一场比赛中投球的命中率为60%”是随机事件
C．“在不受外力作用的条件下，作匀速直线运动的物体改变其匀速直线运动状态”是不可能事件
D．“济南市明年今天的气温与今天一样”是必然事件
解析 济南市明年今天的气温与今天是否一样是不可预知的，可能一样，也可能不一样，故该事件是随机事件．
答案 D
5．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析 A中包含的基本事件为：正反、反正、正正；
B中包含的基本事件为：正反、反正；
C中包含的基本事件为：正正；
D中包含的基本事件为：正反、反正．
所以，A中所述事件包含3个基本事件．
答案 A
6．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上” 包含的基本事件共有________个．( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析 从A中取两个不同的数，构成点的坐标，则“点落在x轴上”的基本事件有：(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)，共有9个基本事件．
答案 C
7．质点O从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．
解析 由于点平移4次后可能位于坐标轴上，也可能位于某一象限内．
答案 随机
8．“从有3个排球、2个足球的筐子里任取1个球”，一次试验是________，试验结果是________．
答案 “取出一球” “得到一个排球”“得到一个足球”
9．投掷两枚骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有________种．
解析 点数之和为8包含(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)5个基本事件．
答案 5
能 力 提 升
10．盒中现有4个白球，5个黑球，从中任意取出一个球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？
(2)“取出的球是白球”是什么事件？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？
解 (1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件．
(2)“取出的球是白球”可能发生，是随机事件．
(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件．
11．现有甲，乙，丙三人玩剪刀、石头、布的猜拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该事件的基本空间；
(2)事件“三人不分胜负”包含的基本事件有哪些？
解 (1)以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布，则：
Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)事件“三人不分胜负”包含下列九个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)，(J，B，S)，(J，S，B)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)．
12．有四只手套，两只白色，两只黑色，现从中抽取两只，每次取一只．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)“至少有一只白色的手套”这一事件包含哪几个基本事件？
解 (1)基本事件空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(白，黑)，(黑，白)}．
(2)“至少有一只白色手套”这一事件包含3个基本事件为：(白，白)，(白，黑)，(黑，白)．
品 味 高 考
13．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是( )
A．“出现奇数点” B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” D．“点数是3的倍数”
解析 “出现2点”这个事件发生，因为2为偶数，所以“出现偶数点”这一事件发生．
答案 B
双基限时练(十六) 频率与概率
基 础 强 化
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件发生的概率总是在(0,1)内
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析 根据定义，概率的取值范围为[0,1]，故A错；B，D两个选项把频率、概率这两个概念颠倒了．故选C.
答案 C
2．在一次摸彩票中奖活动中，一等奖奖金为10000元，某人摸中一等奖的概率是0.001，这是指( )
A．这个人抽1000次，必有1次中一等奖
B．这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元
C．这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001
D．以上说法都不正确
解析 摸一次彩票相当于做一次试验，某人摸中一等奖的概率是0.001，只能说明这个人抽一次，抽中一等奖的可能性是0.001，而不能说这个人抽1000次，必有1次中一等奖，也不能说这个人每抽一次，就得奖金10000×0.001＝10元．
答案 C
3．设某厂生产的某产品的次品率为2%，估算该厂生产的8000件该产品中合格品的件数可能为( )
A．160 B．7840 C．7998 D．7800
解析 次品率为2%，则8000件产品中可能有160件次品，所以合格品可能为8000－160＝7840(件)．
答案 B
4．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( )
A. B.
C. D．1
解析 这是一个必然事件．
答案 D
5．下列结论正确的是( )
A．事件A的概率P(A)必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其明显疗效可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
解析 统计学中，可以用样本事件A发生的频率来估计在总体中事件A发生的概率，故C选项正确．
答案 C
6．已知集合M＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合M中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)C．P(A)＝P(B) D．P(A)、P(B)大小不确定
解析 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．
答案 C
7．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析 设共进行了n次试验，则＝0.02，解得n＝500.
答案 500
8．在一次考试中，某班有80%的学生及格，80%是________(填“概率”或“频率)．
答案 频率
9．在盒子中有10个相同的球，分别标有1, 2，…，10，从中任取一个球，则此球号码为偶数的概率为____________．
解析 P(号码为偶数)＝＝0.5.
答案 0.5
能 力 提 升
10．每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，若每题都选择第一个选择支，则一定有3道题的选择结果是正确的．”这句话对吗？
解 这句话是错误的．
解答一道选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择结果正确的概率是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，可能都选错，也可能有2道题、4道题甚至12道题都选择正确．
11．天气的概率预报对人们的生产、生活安排非常重要，以降水预报为例，一般的预报不是报有雨就是报无雨，而在降水概率预报中，则主要用降水发生的可能程度来表示．例如：今天电视台的天气预报说今晚阴有雨，明天白天降水概率为60%，请回答下列问题：
(1)明天运输部门抢运粮食，能否在白天进行？为什么？
(2)如果抢运的是化肥、白糖，能否在白天进行？为什么？
解 (1)在降水概率为60%时，仍可进行抢运粮食，毕竟还有40%的无雨概率，不过要采取防雨措施．
(2)因为化肥、白糖属易溶物质，所以最好暂时不运，否则必须采取严密的防雨措施．
12．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1001
1000
1004
1003
1000
满意人数m
999
998
1002
1002
1000
满意频率
(1)计算表中的各个频率．
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书的满意情况．
解 (1)表中各个频率依次是：0.998,0.998,0.998，0.999，1.
(2)由(1)中的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，读者对此教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.
(3)由(1)(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势．
品 味 高 考
13．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
解 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为＝，
用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145个，
其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
双基限时练(十七) 概率的加法公式
基 础 强 化
1．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
解析 “至少一次中靶”即为“一次中靶”或“两次中靶”，根据互斥事件是不能同时发生的这一定义知，应选C.
答案 C
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球与都是白球
B．至少有1个白球与至少有一个红球
C．恰有1个白球与恰有2个白球
D．至少有1个白球与都是红球
解析 结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C中恰有1个白球，即1白1红，与恰有2个白球是互斥事件，但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况．
答案 C
3．把红、黑、绿、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得绿牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析 “甲分得红牌”与“乙分得绿牌”两事件可能同时发生，故A、B、C均错，故选D.
答案 D
4．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①正确，②③④错误．
答案 D
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析 “甲不输”包括两个互斥条件：甲赢和甲乙和棋，故90%－40%＝50%.易错之处在于对“甲不输”理解不到位，而误选C.
答案 D
6．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 电话在前四声被接的概率为＋＋＋＝.
答案 B
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则从产品中抽查一件，抽得正品的概率为________．
解析 记从产品中抽得甲、乙、丙级品分别为事件A、B、C，A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
答案 0.96
8．某战士射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95.
(1)的概率为________．
(2)若事件B(中靶环数不小于6)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率为________．
解析 (1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3；
P(D)＝P(A)－P(B)＝0.95－0.7＝0.25.
答案 (1)0.05 (2)0.3 0.25
9.某地区的年降雨量的概率如下表所示：
年降雨量
(单位 mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降雨量在[100,200)范围内的概率________；
(2)求年降雨量在[150,200)或[250,300]范围内的概率________；
(3)求年降雨量不在[150,300]范围内的概率________；
(4)求年降雨量在[100,300]范围内的概率________．
解析 (1)记这个地区的年降雨量在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这4个事件是彼此互斥的．根据互斥事件的概率加法公式，年降雨量[100,200) (mm)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降雨量在[150,200)或[250,300]范围内为事件B∪D，∴P(B∪D)＝P(B)＋P(D)＝0.25＋0.14＝0.39.
(3)年降雨量不在[150,300]范围内为事件B∪C∪D的对立事件．∴1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－(0.25＋0.16＋0.14)＝0.45.
(4)降雨量在[100,300]范围内为事件A∪B∪C∪D，
∴P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.12＋0.25＋0.16＋0.14＝0.67.
答案 (1)0.37 (2)0.39 (3)0.45 (4)0.67
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10．判断下列各对事件是不是互斥事件，是不是对立事件？并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生．
解 (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2)不是互斥事件，从而也不是对立事件．
理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，其中“1名男生、1名女生”和“1名女生、1名男生”是相同的，可以同时发生．
11．从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2.45 g的概率是0.22，质量不小于2.50 g的概率是0.20，那么质量在[2.45,2.50)g范围内的概率是多少？
解 记“质量小于2.45 g”为事件A，“质量不小于2.50 g”为事件B，“质量在[2.45,2.50)”为事件C，易知事件A、B、C互斥，且A∪B与C互为对立事件．
所以质量在[2.45,2.50) g范围内的概率是
P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)
＝1－0.22－0.20＝0.58.
12．在某一时间内，一条河流流经某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位
( m)
低于10
10～12
12～14
14～16
不低于16
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流流经这一处的年最高水位在下列范围的概率：
(1)低于16 m；
(2)低于12 m；
(3)不低于14 m.
解 记事件A＝{低于10 m}，B＝{10～12 m}，C＝{12～14 m}，D＝{14～16 m}，E＝{不低于16 m}．易知事件A、B、C、D、E互斥．
(1)P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.28＋0.38＋0.16＝0.92.
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
也可用对立事件的性质，即(A∪B∪C)与(D∪E)互为对立事件，所以有P(D∪E)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.1－0.28－0.38＝0.24.
品 味 高 考
13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
解析 “至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件．故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案
双基限时练(十八) 古典概型
基 础 强 化
1．有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 三张奖券的顺序可能是：(空，奖，奖)，(奖，空，奖)，(奖，奖，空)．故小明最后抽且中奖的概率为.
答案 C
2．一个停车场有3个并排的车位，分别停放着“红旗”，“捷达”，“桑塔纳”轿车各一辆，则“捷达”车停在“桑塔纳”车的右边的概率和“红旗”车停在最左边的概率分别是( )
A.， B.，
C. ， D.，
解析 三辆车停放组成的基本事件：(红旗、捷达、桑塔纳)，(红旗、桑塔纳、捷达)，(捷达、红旗、桑塔纳)，(桑塔纳、红旗、捷达)，(捷达、桑塔纳、红旗)，(桑塔纳、捷达、红旗)，共有6个，所以“捷达”车停在“桑塔纳”车右边的概率为＝，“红旗”车停在最左边的概率为＝.
答案 A
3．在所有两位数(10～99)中，任取一个数，能被2或3整除的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 10～99中共有90个数字，其中满足能被2或3整除的有60个，故所求概率为＝.
答案 C
4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 该事件的基本事件：(甲→丙，乙→丁)，(甲→丁，乙→丙)，(甲→丙，乙→丙)，(甲→丁，乙→丁)．故甲、乙两个把贺卡送给同一人的概率为.
答案 A
5．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子点数分别记为x，y，则log2xy>1的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 先后抛两枚骰子，共有36个基本事件，若log2xy>1，则y>2x，符合条件的x，y有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，∴P＝.
答案 A
6．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y.则事件“x＋y≤3”的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 先后投掷骰子两次共有36个基本事件，其中两点和小于等于3的有：(1,1)，(1,2)，(2,1)．故满足x＋y≤3的概率为＝.
答案 A
7．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两枚均匀正方体骰子(每个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6)，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
解析 ③不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
答案 ①②④
8．同时抛掷两个骰子，向上的点数不相同的概率为________，向上的点数之积为偶数的概率为________．
解析 同时抛两个骰子，向上的点数相同的基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，故点数不同的基本事件有36－6＝30个．所以向上点数不同的概率为＝.
两数之积为偶数，可以是奇数×偶数，也可以是偶数×偶数．骰子上有奇数1,3,5，偶数2,4,6.故向上的点数之积为偶数的基本事件为3×3×2＋3×3＝27个．所以向上的点数之积为偶数的概率为＝.
答案
9．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出两个数，则两个数的和是2或3的倍数的概率为________．
解析 从五个数字中任取两个所包含的基本事件有
(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)共10个，两个数的和是2或3的倍数的基本事件有6个，∴P＝＝.
答案
能 力 提 升
10．某工厂由于工作失误，未贴标签前，把2箱含“三聚氰胺”的问题牛奶与合格的2箱牛奶混到了一起．对这4箱牛奶逐箱进行检测，到确定出2箱问题牛奶为止．
(1)求第一次检测时，就检测出含“三聚氰胺”的牛奶概率；
(2)求通过2次检测，就能筛选出2箱问题牛奶的概率．
解 用A1，A2分别表示2箱含“三聚氰胺”的问题牛奶，用B1，B2分别表示合格的2箱牛奶．这4箱排列共有以下24种可能：
A1A2B1B2，A1A2B2B1，A1B1A2B2，
A1B2A2B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，
A2A1B1B2， A2A1B2B1，A2B1A1B2，
A2B2A1B1，A2B1B2A1，A2B2B1A1，
B1A1A2B1，B1A1B2A2，B1A2A1B2，
B1B2A1A2，B1A2B2A1，B1B2A2A1，
B2A1A2B1，B2A1B1A2，B2A2A1B1，
B2B1A1A2，B2A2B1A1，B2B1A2A1.
(1)由上可知第一次检测时，就检测出含“三聚氰胺”的牛奶有12种可能，∴P＝＝.
(2)通过2次检测，就能筛选出2箱问题牛奶的有8种可能，∴P＝＝.
11．袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两个球都是白球；
(2)B：取出的两个球是一个白球一个红球．
解 设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝＝；
(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
∴取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为
P(B)＝.
12．下表是某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5个等级．例如表中所示英语成绩为4级，数学成绩为2级的学生共5人．
设x、y分别表示英语成绩和数学成绩.
(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上，y＝3的概率是多少？
(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？
解 (1)P(x＝4)＝＝；P(x＝4，y＝3)＝；
P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＝＝；
当x≥3时，有50×＝35(人)，
在此基础上，y＝3时，有1＋7＋0＝8(人)，
所以在x≥3的基础上，P(y＝3)＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)＝1－－＝.
又P(x＝2)＝＝，所以a＋b＝3.
品 味 高 考
13．箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A表示“拿出的手套配不成对”；事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．
(1)请罗列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
解 (1)分别设3双手套为：a1a2；b1b1；c1c2；a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．
从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)；
(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)；
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)；
(b2，c1)，(b2，c2)；
(c1，c2)．共15个基本事件．
(2)①事件A包含12个基本事件，故P(A)＝＝(或能配对的只有3个基本事件，P(A)＝1－＝)；
②事件B包含6个基本事件，故P(B)＝＝；
③事件C包含6个基本事件，故P(C)＝＝.
双基限时练(十九) 随机数的含义与应用
基 础 强 化
1．下列概率模型中，是几何概型的有( )
①从区间[－10,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任意取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任意取出一个整数，求取到大于1而小于8的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 第一个概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]内有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；
第二个概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]内都有无数多个数，且区间内每个数被取到的可能性相等；
第三个概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，是有限的；
第四个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且点P落在任何一点处都是等可能的，故选B.
答案 B
2．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 P＝＝.
答案 A
3．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是( )
A．1 B.
C. D.
解析 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率为＝.
答案 C
4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A． 7.68 B．16.32 C．17.32 D．8.68
解析 椭圆面积约S＝4×6×＝16.32.
答案 B
5．如图所示，墙上有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )
A. B.
C. D.
解析 根据余弦函数的图象可知，S阴影＝S矩，
P＝＝.
答案 D
6．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|>1的概率为( )
A. B. C. D.
解析 在球O中挖去一个相同球心，且半径为1的球后，剩余几何体内任一点都满足|OP|>1，故所求概率为＝.
答案 A
7．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝(b1－0.5)*6，则b是区间________上的均匀随机数．
答案 [－3,3]
8．一艘轮船只有在涨潮时才能驶入港口，已知该港口涨潮的时间为早晨5：00至7：00，和下午5：00至6：00，则该船在一昼夜可能进港的概率________．
解析 一昼夜可以进港的时间共有3个小时，
∴P＝＝.
答案
9．一个游戏转盘上有三种颜色，红色占30%，蓝色占50%，黄色占20%，则指针分别停在红色和蓝色区域的概率比为______．
解析 ＝＝.
答案
能 力 提 升
10.如图，∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，试求：
(1)△AOC为钝角三角形的概率；
(2)△AOC为锐角三角形的概率．
解 如图，由平面几何知识：
当AD⊥OB时，OD＝1；
当OA⊥AE时，OE＝4，BE＝1.
(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时，△AOC为钝角三角形，
记“△AOC为钝角三角形”为事件M，
则P(M)＝＝＝0.4.
即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.
(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形，
记“△AOC为锐角三角形”为事件N，则P(N)＝＝＝0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.
11．两人约定在20：00到21：00之间在某一地点见面，并且先到者必须等后到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各个时刻相见的可能性是相同的，求两人在约定时间内能够相见的概率．
解 设两人分别于x时刻和y时刻到达见面地点，要使两人能够在约定时间范围内见面，当且仅当－≤x－y≤.两人到达见面地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．
因此阴影部分的面积与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内能够相见的可能性大小，则所求概率为P＝＝＝.
12.
现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．
解 由于随机地投掷飞镖，飞镖在正方形内每一个点的机会是等可能的，所以符合几何概型的条件，
∵S阴影＝××＝，S正＝22＝4，
∴P＝＝＝.
品 味 高 考
13.
如图所示，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其
他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A．1－ B.－1
C．2－ D.
解析 选择面积作为测度，求解几何概型的概率．
取面积为测度，则所求概率为P＝＝
＝＝1－.
答案 A
双基限时练(二) 程序框图
基础 强 化
1．下面程序框图中具有计算功能的是( )
A. B.
C. D.
解析 程序框图中具有计算功能的是处理框，也就是矩形框，故选C.
答案 C
2．下面说法正确的是( )
A．程序框图是由矩形框和线段组成的
B．带箭头的流程线上算法的运行是可逆的
C．终端框表示一个算法的结束
D．输入输出框表示一个算法的输入和输出信息
解析 程序框图是由多种图形符号组成的，除矩形框和线段外，还有平行四边形框、菱形框等等，∴A错误；算法是不可逆的，∴B错误；终止框表示一个算法的结束，∴C错误．故选D.
答案 D
3．下列是流程图中的一部分，表示恰当的是( )
解析 B选项应该用处理框而非输入、输出框，C选项应该用输入、输出框而不是处理框，D选项应该在出口处标明“是”和“否”．
答案 A
4．下列关于程序框图的理解中正确的有( )
①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解；
②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言；
③在程序框图中，起止框是任何流程不可少的；
④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①②③④均正确，故选D.
答案 D
5．一个完整的程序框图至少包含( )
A．起、止框和输入、输出框
B．起、止框和处理框
C．起、止框和判断框
D．起、止框，处理框，输入、输出框
解析 根据算法的特征，算法必须有输出，根据程序框图的概念，起止框是任何流程不可少的，所以一个完整的程序框图至少包括起、止框和输入、输出框．
答案 A
6．如下图所示的是一个算法程序框图，已知a1＝3，输出的c＝7，则a2的值为( )
A．11 B．17
C．15 D．12
解析 该程序框图描述的是求两个数的平均数．
∵c＝，∴7＝，∴a2＝11.
答案 A
7．如图所示，程序框图的输出结果是________．
解析 s＝＋，a＝2，b＝4，∴s＝＋＝.
答案
8．图(2)是计算图(1)的阴影部分面积的一个程序框图，则①中应该填________．
解析 ∵S＝x2－π×2＝x2，∴M＝x2.
答案 M＝x2
9．已知一个算法的程序框图如下图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为________．
解析 程序框图中描述的算法功能是求分段函数
y＝的值．
当x≥0时，x2－1＝0，则x＝1；
当x<0时，x2＋4＝0，则x无解．
∴当输出结果为0时，输入的x的值为1.
答案 1
能力 提 升
10．如图，说明框图中各图形符号的名称及其表示的意义．
解 ①输入、输出框；表示的意义：数据的输入或者结果的输出．
②处理框；表示的意义：赋值、执行计算语句、结果的传送．
③判断框；表示的意义：根据给定条件判断．
④起、止框；表示的意义：框图的开始或结束．
11．根据给定二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，设计算法，求其顶点坐标，并画出程序框图．
解 算法步骤为：
S1 输入系数a，b，c的值；
S2 计算x＝－，y＝；
S3 输出该二次函数的顶点坐标(x，y)．
程序框图为：
12．写出判断两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2是否垂直的算法，并画出程序框图．
解 算法如下：
S1 输入k1，k2的值；
S2 计算u＝k1×k2；
S3 若u＝－1，则直线l1与l2垂直；否则，l1与l2不垂直；
S4 输出信息“垂直”或“不垂直”．
程序框图如图所示．
品 味 高 考
13．下列关于程序框图的说法正确的是( )
A．程序框图是描述算法的语言
B．在程序框图中，一个判断框最多只能有一个退出点
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．程序框图中，所有程序框都可以有多个进入点、多个退出点
解析 一个判断框可以有多个退出点，所以B不正确；程序框图要比自然语言直观、形象，C不正确；除判断框外，其余框只有一个进入点一个退出点，所以D错误．
答案 A
双基限时练(二十) 概率的应用
基 础 强 化
1．“今天北京的降雨概率是60%，上海的降雨概率是70%”，下列说法不正确的是 ( )
A．可能北京今天降雨了，而上海没有降雨
B．可能上海今天降雨了，而北京没有降雨
C．可能北京和上海都没有降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
解析 因为北京的降雨概率比上海的降雨概率小，故D说法不正确．
答案 D
2．根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为78.7%.某眼镜厂商要到一中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为600人，则眼镜商应带滴眼液的数目为( )
A．600 B．787
C．不少于473 D．不多于473
解析 由概率的意义，该校近视生人数约为78.7%×600＝472.2，结合实际情况，应带滴眼液不少于473瓶．
答案 C
3．活期存款本上留有四位数密码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取，某人忘记了密码的最后一位，那么此人取款时，在对前三个数码输入后，再随意按一个数字键，正好按对他原来所留密码的概率为( )
A. B.
C. D.
解析 典型的古典概型，P＝.
答案 B
4．某人手表慢了，他打开电视机想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表，则他等待不超过一刻钟的概率为( )
A. B. C. D.
解析 由于电视机每隔1小时显示整点一次，并且在0～60之间任何一个时刻显示整点是等可能的，所以在哪个时间显示整点的概率只与该时间段的长度有关．而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，这是一个与时间长度有关的几何概型，P＝＝.
答案 C
5．某产品的设计长度为20 cm，规定误差不超过0.5 cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( )
A. B. C. D.
解析 不合格产品的件数为12件，故P＝＝.
答案 D
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2，…，6}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为( )
A. B. C. D.
解析 当a＝1时，b＝1,2；当a＝2时，b＝1,2,3；当a＝3时，b＝2,3,4；当a＝4时，b＝3,4,5；当a＝5时，b＝4,5,6；当a＝6时，b＝5,6，即有16种满足题意，∴P＝＝.
答案 D
7．某班某次测验，全班53人中，有83%的人及格，则从该班中任抽出11人，仅有1人及格．你认为这件事可能吗？答：________(填“可能”或“不可能”)．
解析 全班的及格人数为53×83%≈44，不及格人数为53－44＝9.所以任取11人，在包含全部不及格学生的情况下，仍有2人及格．
答案 不可能
8．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上字母恰好是按字母顺序相邻的概率是________．
解析 从5张卡片中取出2张共有10个基本事件，其中2张卡片上的字母恰好相邻的事件有(A，B)，(B，C)，(C，D)，(D，E)共4个．所以P＝＝.
答案
9．一袋中5只红球，4只黑球，2只白球，从中摸一球，摸得红球为事件A，且P(A)＝；摸得白球为事件B，且P(B)＝，则“摸得的球为红球或白球”的概率为____________．
解析 P(摸得红球或白球)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案
能 力 提 升
10．某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂，质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒4件产品中无次品概率为0.3,4件中有1件次品的概率为0.1，求该盒产品被检验合格的概率．
解 本题属于古典概型，其中“该盒产品被检验合格”包含两种情况：A＝“4件无一次品”，B＝“4件中有一次品”，而事件A与B是互斥事件，故由互斥事件的概率加法公式求解．
记事件C＝“该盒产品被检验合格”，
则C＝A∪B，(其中A＝“4件无次品”，
B＝“4件中有一件次品”)，
∴P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.1＝0.4.
即该盒产品被检验合格的概率为0.4.
11．为了检测山上某个森林区域内松鼠的繁殖情况，可以使用以下方法：先从山上捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号，然后再把它放回森林．经过半年后，再从森林中捕捉50只，尾巴上有记号的松鼠共5只，试根据上述数据，估计此区域森林内松鼠的数量．
解 假定每只松鼠被捕捉的可能性是相等的，
从山上任捕一只，设事件A＝“带有记号的松鼠”．
则由古典概型可知P(A)＝.①
第二次从山上捕捉50只，带有记号的松鼠有5只，即事件A发生的频数：m＝5，
由此知P(A)≈＝.②
由①②可得：≈∴n≈1000.
所以估计森林内约有松鼠1000只．
12.
如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字，有人为甲、乙设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏公平？
解 列表如下：
A
B
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这种游戏规则不公平．
如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么游戏规则就是公平的．
品 味 高 考
13．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上都作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，估计该石块的第4面落在桌面上的概率约是________.
石块的面
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
解析 第四面落在桌面上的概率为P＝＝0.13.
答案 0.13
双基限时练(三) 顺序结构和条件分支结构
基 础 强 化
1．条件分支结构不同于顺序结构的特征是含有( )
A．处理框 B．判断框
C．输入、输出框 D．起、止框
解析 条件分支结构必须有判断框．
答案 B
2．程序框图中条件分支结构的判断框有________个入口和________个出口．( )
A．1,2 B．2,3
C．1,3 D．都不确定
答案 A
3．阅读下面的程序框图，若输入a，b，c分别是21、32、75，则输出的值是( )
A．96 B．53
C．107 D．128
解析 ∵21<32，∴m＝21＋75＝96，即输出96.
答案 A
4．已知f(x)＝
在求f(a)(0解析 因该函数f(x)的定义域被分成了三段，故在求f(a)的值的算法中要利用多分支结构，故选D.
答案 D
5．下列四个问题中不必用条件分支结构就能实现的是 ( )
A．解方程ax＋b＝0(a，b为常数)
B．已知圆的面积，求半径r
C．比较a、b、c的大小，求a、b、c中最大者
D．计算函数f(x)＝的函数值
解析 解方程ax＋b＝0需要判断a、b是否为零；比较a、b、c的大小需比较a与b，a与c，b与c的大小关系；计算f(x)＝的函数值需判断自变量x>0还是x≤0；求圆的半径只要知道圆的面积即可．所以A、C、D选项中所述问题需要条件分支结构，B选项中所述问题用顺序结构即可．故选B.
答案 B
6.根据下边程序框图，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为( )
A．1 B．－2
C．1或2 D．1或－2
解析 该程序框图表述的是分段函数
y＝当y＝4时x＝－2或x＝1.
答案 D
7．根据如图程序框图，若输入m的值是3，则输出的y的值是________．
解析 若输入m的值是3.
则p＝8，y＝8＋5＝13，
故输出y的值为13.
答案 13
8．下面程序框图表示的算法功能是________．
解析 其功能是比较a、b、c的大小，输出最大值．
答案 输出a，b，c中最大者
9．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50千克按0.53元/千克收费，超过50千克的部分按0.85元/千克收费，相应收费系统的程序框图如图所示，则①处应填________．
解析 由题意得y＝①是在x>50成立时所执行的步骤，因此①处应填y＝50×0.53＋(x－50)×0.85.
答案 y＝50×0.53＋(x－50)×0.85
能 力 提 升
10．画出解方程ax＋b＝0(a，b∈R)的算法程序框图．
解 如下图所示．
11．以下给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值．若要使输入的x的值与输出的y的值相等，求x的值．
解 该程序框图描述的算法是求分段函数
y＝
因为输入的x值与输出的y值相等，所以y＝x.
(1)∵∴x＝0或x＝1.
(2)∵∴x＝3.
(3)∵∴x无解．
综上所述，x的值为0,1,3.
12．火车站对乘客退票收取一定的费用，具体办法是：按票价每10元(不足10元按10元计算)核收2元；2元以下的票不退．试写出票价为x元的车票退掉后，返还的金额y元的算法的程序框图．(提示：[x]表示不大于x的最大整数)
解 如下图所示．
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13．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )
A．[－3,4] B．[－5,2]
C．[－4,3] D．[－2,5]
解析 作出分段函数s＝的图象(图略)，可知函数s在[－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，∴t∈[－1,3]时，s∈[－3,4]．
答案A
双基限时练(四) 循环结构
基 础 强 化
1．以下说法不正确的是( )
A．顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成，每一个算法都离不开顺序结构
B．循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件，反复执行某一处理步骤，故循环结构中一定包含条件结构
C．循环结构中不一定包含条件分支结构
D．用程序框图表示算法，使之更加直观形象，容易理解
解析 循环结构中一定含有条件分支结构，故C错．
答案 C
2．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 P＝1，S＝1,1≤2；P＝2，S＝1＋＝，≤2；P＝3，S＝＋＝，≤2；P＝4，S＝＋＝>2，结束循环，输出P＝4，故选C.
答案 C
3．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构和循环结构，下列说法正确的是( )
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合
解析 算法的逻辑结构共有三种，一个算法可以含有其逻辑结构的一种或两种或三种．
答案 D
4．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 S1 A＝1，S＝3；
S2 A＝2，S＝7；
S3 A＝3，S＝15；
S4 A＝4，S＝31；
S5 A＝5，S＝63；
∴程序循环体执行5次后退出循环，故判断框内的整数M为5.
答案 C
5.
计算 ＋＋＋…＋的值的一个程序框图如图所示，则判断框内应填入的条件是 ( )
A．i>10 B．i<10
C．i>20 D．i<20
解析 题中程序框图为直到型循环结构，即直到满足判断框内条件时，循环停止．由题意可知，i＝10时进行最后一次循环，即S再加上，循环后i值变为11，这时应终止循环，所以判断框内应填入的条件为“i>10”．
答案 A
6.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 i＝1，a＝1×1＋1＝2<50；
i＝2，a＝2×2＋1＝5<50；
i＝3，a＝3×5＋1＝16<50；
i＝4，a＝4×16＋1＝65>50，
此时跳出循环，并输出i的值为4.
答案 B
7．如图程序框图中，其输出结果为________．
解析 按照程序框图依次执行为
初始值a＝5，S＝1；
S1 a＝5，S＝6；
S2 a＝4，S＝10.
输出的S的值为10.
答案 10
8．阅读下面的程序框图，若输入m＝4，n＝3，则输出a＝________，i＝________.
解析 要结束程序的运算，就必须通过n整除a的条件运算，而同时m也整除a，那么a的最小值应为m和n的最小公倍数12，即此时有i＝3.
答案 12 3
9.
某地区有荒山2200亩，从2012年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．如图，某同学设计了一个程序框图计算到哪一年可以将荒山全部绿化(假定所植树全部成活)，则框图中?处应填上________．
解析 由题意知，?处应填入s≥2200.
答案 s≥2200
能 力 提 升
10．给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能．
解 ∵该问题是求30个数的和，
∴程序框图中所示循环体要执行30次．
∵循环变量i的初始值为1，∴它的终止值为30.
∴在判断框(1)处所填语句为i>30.
∵由题意可知，第i＋1个数比第i个数大i，
∴在执行框(2)处所填语句为p＝p＋i.
在(1)处填i>30，在(2)处填p＝p＋i.
11．画出求1＋＋＋…＋的值的一个程序框图．
解 从题目可以看出相加数的分子是不变的，而分母是有规律递增的，因此我们可以引入累加变量S和计数变量i，则S＝S＋，i＝i＋2这两个式子是反复执行的．程序框图如图所示：
12．已知2000年中国总人口数为12.6743亿，该年的人口增长率为7.58%，假设增长率保持不变，请设计算法，求2010年全国人口总数，画程序框图表示．
解 程序框图如图．假设今年的人口为x0，k年后的人口为xk，年增长率为r，在r保持不变的情况下，那么k年后的人口为xk＝x0(1＋r)k.该算法可利用循环结构表示，框图中的i是计数变量，mul是累积变量，mul的初始值为12.6743，i的范围是1至10.
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13．如图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入( )
A．q＝ B．q＝ C．q＝ D．q＝
解析 根据程序框图可知变量M为成绩及格的人数，变量N不为及格的人数，变量q代表及格率，所以q＝＝.
答案 D
双基限时练(五) 赋值、输入和输出语句
基 础 强 化
1．下列关于赋值语句的说法错误的是( )
A．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边的表达式的值，再赋给左边的变量
B．赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式
C．赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量
D．在算法语句中，赋值语句是最基本的语句
解析 赋值语句的功能是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量，故B选项错误．
答案 B
2．在我们写程序时，对于“//”号的说法正确的是( )
A．“//”后面是注释内容，对程序运行起着重要作用
B．“//”后面是程序执行的指令，对程序运行起着重要作用
C．“//”后面是注释内容，对程序运行不起作用
D．“//”后面是程序执行的指令，对程序运行不起作用
解析 “//”后面是注释内容，对程序运行不起作用．
答案 C
3． print(%io(2)，a，b，c)在屏幕上输出的顺序是( )
A．a，b，c B．c，b，a
C．b，c，a D．a，c，b
答案 B
4．某一程序中先后出现两个语句：
x＝3*5
x＝x+1
A.①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析 根据赋值语句的格式与特点可知②④正确．
答案 B
5.
运算结果为( )
A．－1，－2,1 B．－1，－2，－1
C．1，－2，－1 D．－1，－2,2
解析 ∵a＝1，b＝2，∴c＝a－b＝1－2＝－1，b＝1＋(－1)－2＝－2，∴输出a＝1，b＝－2，c＝－1.
答案 C
6．给出下列程序：
此程序的功能为( )
A．求点到直线的距离
B．求两点之间的距离
C．求绝对值
D．求输入的值的平方和
解析 输出的四个实数可作为两个点的坐标，程序中的a，b分别表示两个点的横、纵坐标之差，而m，n分别表示两点横、纵坐标之差的平方；s是横、纵坐标之差的平方和，d是平方和的算术平方根，即两点之间的距离，最后输出此距离．
答案 B
7．下列程序运行的结果是________．
解析 y＝4是将4赋给y，即y＝4；x＝y是将y值赋给x，即x＝4.
答案 y＝4，x＝4
8．下面的运算输出的结果为________．
解析 语句c＝是将a，b和的一半赋值给变量c，c为4；语句d＝c*c是将c的平方赋值给d，d为16，最后输出d的值．
答案 16
9．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试设计一个程序，输入A，B两点的坐标，输出其中点的坐标，现已给出程序的一部分，试在横线上填上适当的语句，把程序补充完整．
解析 由题意可知，程序中缺中点坐标，由中点坐标公式x＝，y＝可得．
答案 ①x＝(x1＋x2)/2 ②y＝(y1＋y2)/2
能 力 提 升
10．编写一个程序，要求输入两个实数a和b，输出它们的平方和以及它们的乘积的2倍．
解 对于两个实数a，b，它们的平方和是a2＋b2，它们的乘积的2倍是2ab.
11．中秋节到了，糕点店的售货员很忙，请设计一个程序，帮助售货员算账，已知豆沙馅的月饼每千克25元，蛋黄馅的月饼每千克35元，莲蓉馅的月饼每千克30元，那么依次购买这三种月饼a、b、c千克，应收多少钱？
解 a＝input(“豆沙馅的月饼”)；
b＝input(“蛋黄馅的月饼”)；
c＝input(“莲蓉馅的月饼”)；
y＝a*25＋b*35＋c*30
print(%io(2)，y)；
12．已知一个正三棱柱的底面边长为a，高为h，求该正三棱柱的体积和表面积，画出程序框图，并写出程序．
解 设正三棱柱的底面积为S，底面三角形的周长为C，则正三棱柱的体积V＝Sh，表面积P＝2S＋Ch.程序框图如图所示．
程序如下：
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13．下列给出的赋值语句中正确的是( )
A．3＝A B．M＝－M
C．B＝A＝2 D．x＋y＝0
解析 因为赋值语句表示把“＝”右边的量赋值给“＝”左边的变量．并且赋值号左边只能为变量名字，故A错，同时不能出现多个“＝”及进行代数式的演算故C，D错．
答案 B
双基限时练(六) 条件语句
基 础 强 化
1．下列关于条件语句的说法正确的是( )
A．条件语句中必须有else和end
B．条件语句中可以没有end
C．条件语句中可以没有else，但是必须有end
D．条件语句中可以没有end，但是必须有else
解析 条件语句主要有两种格式，分别是一般格式和最简单的格式，但是不管哪种格式，if与end必须同时出现，所以条件语句中可以没有else，但是必须有end，故选C.
答案 C
2．给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的绝对值；②求函数f(x)＝的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a，b，c中的最大数．其中不需要用条件语句来描述其算法的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 ①中求一个数的绝对值和②中求函数值都需要判断输入的x是大于等于0，还是小于0，所以需要用条件语句来实现；④中求三个数中的最大值，需要比较a与b、a与c、b与c的大小，求出其中最大的，也需要用条件语句；③中直接可求出正方形的边长，即可以直接求出周长，不需要分情况讨论．故利用条件语句描述的有3个．
答案 A
3．下面程序中， 若输入－2，则输出结果为( )
A. B．－ C．－3 D．－5
解析 该程序描述的函数为y＝
∴当x＝－2时，y＝－3.
答案 C
4．运行程序：
在两次运行中分别输入8,4和2,4，则两次运行程序的输出结果分别为( )
A．8,2 B．8,4 C．4,2 D．4,4
解析 对a、b的情况进行区分，当输入8,4的时候，a>b，所以c＝＝4；当输入2,4时，a>b不成立，所以选择执行c＝＝2.
答案 C
5．算法程序如下：
该程序的功能是( )
A．求出a，b，c三数中的最大数
B．求出a，b，c三数中的最小数
C．将a，b，c按从小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列
解析 由程序可知，当比较a，b的大小后，选择较大的数赋给a，当比较a，c的大小后，选择较大的数赋给a；最后输出a，所以此程序的作用是输出a，b，c中最大的数．
答案 A
6．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝9，键盘输入的x值应该是( )
A．－1 B．4或－1
C．4 D．2或－2
解析 当x<0时，由x2－3x＋5＝9得x1＝－1，x2＝4>0(舍去)；当x≥0时，由(x－1)(x－1)＝9得x1＝4，x2＝－2(舍去)．故x＝4或x＝－1.
答案 B
7．下面程序表示的函数解析式为________．
解析 该程序是条件语句的嵌套，它描述的函数是
y＝
答案 y＝
8．将下面程序补充完整，该程序的功能：判断输入的数x是不是正数，若是，则输出它的平方值；若不是，则输出它的相反数．
解析 输出它的相反数的前提是x≤0.
答案 x<＝0
9．写出下列程序的运行结果．
若输入－3，输出结果为________；若输入2，输出结果为________．
解析 程序的运行过程是先对a进行判断，由于a的符号不一样，结果也不一样．
答案 a negative number 3
能 力 提 升
10．阅读以下程序
(1)若输出的y值为1，求输入的x的值．
(2)若输出的y的取值范围是y∈[0,2]，求输入的x的范围．
解 该程序表示的是分段函数
y＝
(1)若y＝1
当x≥1时，lgx＝1，得x＝10.
当x<1时，－x＋1＝1，得x＝0.
即输入的x的值为10或0.
(2)若y∈[0,2]
则当x≥1时，lgx≤2，得x≤100，
即1≤x≤100.
当x<1时，－x＋1≤2得x≥－1，
即－1≤x<1，故输入的范围是[－1,100]．
11．已知函数y＝输入x的值，输出对应的函数值．画出程序框图，并编写程序．
解 程序框图如图所示．
程序如下：
12．某商场为促销实行优惠政策，若购物金额在600元以上，则打8折，若购物金额在400元以上600元以下(含600元)，则打9折，否则不打折．设计程序，要求输入购物金额x后，能输出实际交款额．
解
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13．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
输入x；
A．25 B．30 C．31 D．61
解析 通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数f(x)＝，∴f(6)＝25＋0.6×(60－50)＝31，选C.
答案 C
双基限时练(七) 循环语句
基 础强 化
1．关于for循环和while循环的说法错误的是( )
A．在for循环中，循环变量也称为循环体
B．在for循环中，步长为1，可以省略不写；若为其他值，则不可省略
C．while循环中，只有当表达式为真时，才执行循环体
D．在for循环和while循环中，必须都有“end”结尾
解析 for循环中，循环表达式也称为循环体，故A错．
答案 A
2．关于下面一段程序，其中正确的说法是( )
A．语句中的循环体共执行了10次
B．循环体是无限循环的
C．语句中的循环体一次也不执行
D．语句中的循环体只进行了一次
解析 由于k＝10，则k＝0不成立，则不执行循环体．
答案 C
3．程序
S＝1；
for i＝1：1：10
S＝(3︿ i)*S；
end
print (%io(2)，S)；
上面程序的功能为( )
A．用来计算3×103的值
B．用来计算355的值
C．用来计算310的值
D．用来计算1×2×3×…×10的值
解析 当i＝10时，S＝31·32·33·…·310＝355.
故选B.
答案 B
4．下面两个程序最后输出的S的值为( )
程序1：
i＝1；
while i<8
i＝i＋2；
S＝2]
程序2：
i＝1；
while i<8
S＝2]i＝i＋2；
end
disp(S)；
A．都是17 B．都是21
C．21,17 D．14,21
解析 程序1中：当i＝7时进入循环体后，i＝9，S＝21，退出循环．程序2中：当i＝7时进入循环体，S＝2×7＋3＝17，i＝9，退出循环．
答案 C
5．下面程序的运算结果为( )
i＝0；
S＝0；
While S<＝20
S＝S＋i；
i＝i＋1；
end
print(%io(2)，i)；
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 S＝0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＝21>20，由于循环体为“S＝S＋i；i＝i＋1”，∴程序终止时i＝7.
答案 B
6．执行程序：
该程序输出的第10个数为( )
A．181 B．100
C．210 D．221
解析 该程序输出第10个数为S＝1＋3＋…＋19＝100.
答案 B
7．当下列程序中运行后，输出的结果为________．
解析 第一步：s＝2，i＝2；
第二步：s＝3，i＝3；
第三步：s＝4，i＝4；
第四步：s＝5，i＝5.
程序终止时，i＝5.
答案 5
8．s＝1；
for i＝1：2： 7
s＝3]
上面程序输出的结果为________．
解析 ∵i的终值为7，∴输出最终结果为S＝3×7＝21.
答案 21
9．若下面程序的运行结果为240，则“表达式”应为i>________.
解析 while循环语句中，当表达式为真时执行循环体，否则退出循环．由于输出的结果为240＝15×16，所以执行了两次循环，因此表达式应为i>14.
答案 14
能力 提 升
10．编写计算＋＋＋…＋的算法程序．
解 程序为：
S＝0；
for i＝1：1：99
S＝S＋1/(i*(i＋1))；
end
print(%io(2)，S)；
11．试编写程序确定S＝1＋4＋7＋10＋…中至少加到第几项时S≥300.
解 程序如下：
12．设计一个程序将全班60名学生考试及格者的平均分计算并打印出来．
解 程序为：
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13．下列问题可以用循环语句设计程序的有( )
①求1＋3＋32＋…＋39的和；
②比较a，b两个数的大小；
③对于分段函数，要求输入自变量，输出函数值；
④求平方值小于100的最大自然数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析 ①④可以用循环语句设计程序，②③要用条件语句设计程序．
答案 C
双基限时练(八) 中国古代数学中的算法案例
基 础 强 化
1．98与63的最大公约数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 ∵(98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,7)，
∴98与63的最大公约数为7.
答案 B
2．24与32的最小公倍数为( )
A．8 B．48
C．96 D．128
解析 ∵(24,32)→(24,8)→(8,8)，
∴24与32的最大公约数为8，
∴24与32的最小公倍数为24×32÷8＝96.
答案 C
3．以下是利用更相减损之术求114和36的最大公约数的操作步骤：(114,36)→(78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→(6,12)→(6,6)，那么114和36的最大公约数为( )
A．1 B．12
C．6 D．36
解析 由条件知最大公约数为6.
答案 C
4．用程序框图表示“割圆术”，将用到( )
A．顺序结构 B．循环结构
C．顺序结构和条件结构 D．三种基本逻辑结构
解析 割圆术是利用正多边形的面积逐渐逼近圆的面积，在此过程中利用了循环结构求多边形的面积．
答案 B
5．用秦九韶算法计算f(x)＝3x6＋4x5－6x4＋3x3－2x2＋5x－1.当x＝2时的值时，需要做的乘法和加法次数分别为( )
A．6,6 B．5,6
C．5,5 D．6,5
解析 在f(x)中，n＝6，即f(x)的最高次为6，∴在利用秦九韶算法时，需做乘法和加法各6次．
答案 A
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形为( )
A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11 D．( (x－3)x＋2)x－11
解析 f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11.
答案 D
7．4081与20723的最大公约数为________．
解析 利用辗转相除法：
(4081,20723)→(4081,318)→(265,318)→(265,53)
∴4081与20723的最大公约数为53.
答案 53
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1当x＝3时的值时，先算的是________．
答案 0.5×3＋4
9．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π的实际值．(填“大于”“等于”“小于”)
解析 由割圆术可知．
答案 小于
能 力 提 升
10．用等值算法求三个数175,100,75的最大公约数．
解 先求175与100的最大公约数：
175－100＝75,100－75＝25,75－25＝50,50－25＝25.
所以175与100的最大公约数是25.
以下再求 25与75的最大公约数．
75－25＝50,50－25＝25.
故25也是25和75的最大公约数，这样25就是175,100,75三个数的最大公约数．
11．用秦九韶算法求f(x)＝3x5＋4x4－5x3＋x2－6x＋2，当x＝3时f(x)的值．
解 f(x)＝((((3x＋4)x－5)x＋1)x－6)x＋2
当x＝3时，v0＝3，
v1＝3×3＋4＝13，
v2＝13×3－5＝34，
v3＝34×3＋1＝103；
v4＝103×3－6＝303；
v5＝303×3＋2＝911.
12．设计程序，求两正整数m，n的最小公倍数．
解 由于m，n的最小公倍数即为m与n乘积除以m与n的最大公约数，因此，可先求出m与n的最大公约数，再用m·n去除以这个最大公约数即可．
程序如下：
品 味 高 考
13．根据递推公式其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为( )
A．anx＋an－1 B．(anx＋an－1)x＋an－2
C．(anx＋an－1)x D．anx＋an－1x
解析 根据秦九韶算法知，v2＝v1x＋an－2，v1＝anx＋an－1，故选B.
答案 B
双基限时练(九) 简单随机抽样
基 础 强 化
1．在统计中，从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个( )
A．对象 B．个体 C．样本 D．容量
答案 C
2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大
B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小
C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等
D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关
解析 根据简单随机抽样的概念，某个个体被抽到的可能性与第几次抽样无关，每次被抽到的可能性相等．
答案 C
3．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数集中随机抽取10个分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
答案 D
4．对于简单随机抽样的下列说法( )
①它要求被抽取的总体个数有限；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样．其中正确的命题是( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
答案 A
5．如果用简单随机抽样从个体数为10的总体中抽取一个容量为2的样本，那么每个个体被抽到的可能性为( )
A. B.
C. D．不确定
解析 每个个体被抽到的可能性为＝.
答案 C
6．某校有30个班，每班60个人，每班选派3人参加数学竞赛，在这个问题中抽取的样本容量为( )
A．30 B．60
C．90 D．120
解析 30×3＝90人，故选C.
答案 C
7．要检查某种产品的合格率，检查人员从1000件产品中任意抽取了50件，则这种抽样方法是________．
答案 简单随机抽样
8．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象．若每位工人被抽到的可能性为，则n＝________.
解析 简单随机抽样为机会均等抽样．
由＝，得n＝100.
答案 100
9．假设要考察某公司生产的500克袋装年奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 66 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析 找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，
第二个数916它大于800要舍去，
第三个数955也要舍去，
第四个数667符合题意，
这样依次读出结果．
答案 785,667,199,507,175
能 力 提 升
10．下面的抽样是否为简单随机抽样？
(1)某班有50名同学，指定个子最高的10名同学参加学校组织的某项活动；
(2)从10个零件中一次性抽取4个进行质检；
(3)一袋子里有10个球，随意摸一个，放回后再摸一个，连续摸5次．
解 (1)是指定个子最高的10名同学，不是等可能抽样，因而(1)不是简单随机抽样；(2)是一次性抽取而不是逐个抽取，因而也不是简单随机抽样；(3)是有放回抽样，也不是简单随机抽样．
11．上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮拉拉队的成员，采用下面两种选法：
选法一 将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选．
选法二 将39个白球与1个红球(球除颜色外其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．
试问这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何异同？
解 选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中39个白球无法相互区分．这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等，均为.
12．某校某班有60名学生，为了调查学生身体发育情况，打算从中抽取一个样本容量为10的样本，此样本若用随机数表法抽取，写出抽样过程．
解 第一步：先将60名同学编号为00,01,02，…，59.
第二步：在随机数表中任取一个数，例如选出第3行第6个数3，
第三步：从选定的数字3开始向右读数，每次读2个数字，读数为：39,07,37,42,20,22,10,48,08,46.所以参加体检的学生为编号为以上10个数字的同学．
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13．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检验
C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩．现抽取农田480亩估计全乡农田平均亩产量
解析 A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校种类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．解答本题时，应关注两个方面的问题：(1)抽出的样本必须准确地反映总体特征；(2)操作起来比较方便．
答案 B
