双基限时练(一)
基 础 强 化
1．下列说法正确的是( )
A．钝角是第二象限角
B．第二象限角比第一象限角大
C．大于90°的角是钝角
D．－165°是第二象限角
解析 钝角的范围为(90°，180°)，故它是第二象限角，∴A正确，C错误；120°是第二象限角，390°是第一象限角，∴B错误；－165°是第三象限角，∴D错误．
答案 A
2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB的位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
解析 ∠AOB＝120°，∠BOC＝－270°，
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°－270°＝－150°.
答案 B
3．与405°终边相同的角为( )
A．－45° B．45°
C．135° D．225°
解析 405°＝360°＋45°，故与405°的终边相同的角为45°.
答案 B
4．－1236°角的终边所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 －1236°＝－3×360°－156°，即－1236°角的终边与－156°角的终边相同，∵－156°是第三象限角，故－1236°是第三象限角．
答案 C
5．在平面直角坐标系中，若角α与β的终边互相垂直，则角α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝k·360°＋α＋90°，k∈Z
D．β＝k·360°＋α±90°，k∈Z
解析 如图所示，可知β－α＝k·360°±90°，k∈Z.
答案 D
6．若θ是第三象限角，则与90°－θ一定不是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵θ是第三象限角，∴是第二象限或第四象限角.90°－θ是第三象限角，∴与90°－θ一定不是第一象限角．
答案 A
7．如图，终边落在阴影部分的角的集合为________．
解析 该区域的边界分别是
k·360°－45°，k∈Z，与k·360°＋120°，k∈Z.
故该区域表示的角的集合为
{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．
答案 {α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
8．时间经过2小时20分钟，则分针所转过的角度为________．
解析 分针走过5分钟，转过的角度为－30°，走过1小时，则转过的角度为－360°，∴时针走过2小时20分，分针转过的角度为2×(－360°)＋(－120°)＝－840°.
答案 －840°
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9．若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.
解析 由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°＜α＜360°，令k＝3，得α＝270°.
答案 270°
10．在0°到360°内找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；
(2)－840°；
(3)2496°；
(4)3401°.
解析 (1)－150°＝－360°＋210°，
∴0°到360°内，与－150°终边相同的角为210°，它是第三象限角．
(2)－840°＝－3×360°＋240°，
∴在0°到360°内，与－840°终边相同的角为240°，它是第三象限角．
(3)2496°＝6×360°＋336°，
∴在0°到360°内，与2496°终边相同的角为336°，它是第四象限角．
(4)3401°＝9×360°＋161°，
∴在0°到360°内，与3401°终边相同的角为161°，它是第二象限角．
11．若角α的终边与240°的终边相同，求在[0°，360°)内终边与的终边相同的角．
解析 α＝240°＋k·360°，k∈Z，
∴＝80°＋k·120°，k∈Z.
依题意：0°≤80°＋k·120°<360°，k∈Z，
∴k＝0,1,2.
即在[0°，360°)内，终边与终边相同的角为80°，200°，320°.
12．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析 (1)终边落在射线OM上的角的集合A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝
225°＋k·360°，k∈Z}，故终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)由(2)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
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13．设集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则必有( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M∩N＝?
解析 在集合M中，对k讨论：
当k＝4n，n∈Z，x＝n·360°＋45°，n∈Z；
当k＝4n＋1，n∈Z时，x＝n·360°＋135°，n∈Z；
当k＝4n＋2，n∈Z时，x＝n·360°＋225°，n∈Z；
当k＝4n＋3，n∈Z时，x＝n·360°＋315°，n∈Z.
故集合M表示终边在四个象限角平分线上的角的集合．同理，对于集合N中的k＝8n,8n＋1，…，8n＋7，n∈Z讨论可知，集合N表示终边在坐轴上或四个象限角平分线上的角的集合，所以M?N，故选C.
答案 C
双基限时练(十)
基 础 强 化
1．函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为( )
A．[－1,1] B．[－，－1]
C．[－，1] D．[－1，]
解析 令sinx＝t，t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，其对称轴为t＝－∈[－1,1]，∴当t＝－时，ymin＝－，当t＝1时，ymax＝1，∴y∈.
答案 C
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析 ∵T＝π，∴ω＝2，故排除C、D.A中y＝sin可化简为y＝cos2x，满足在上单调递减．
答案 A
3．函数y＝sin图象的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析 y＝sin的对称轴是2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴2x＝kπ，x＝.
当k＝－1时，x＝－.
答案 B
4．函数y＝2sin的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )
A. B.
C. D．π
解析 y＝2sin的最小正周期为，相邻的两条对称轴间的距离为半个周期，即为.
答案 B
5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为2π，则该函数的图象( )
A．关于直线x＝－对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称
D．关于点对称
解析 ∵f(x)的最小正周期为2π，∴ω＝1.
∵y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，对称中心为其图象与x轴的交点．
∴通过代入验证可知B正确．
答案 B
6．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin|x|
解析 注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①、②，选B.
答案 B
??7.函数y＝3sin的最小正周期为________．
解析 函数y＝3sin的ω＝2，故最小正周期T＝＝＝π.
答案 π
8．三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是________．
解析 ∵sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)，
且0<π－3<1<π－2<，
函数y＝sinx在上单调递增，
∴sin(π－2)>sin1>sin(π－3)>0，
即sin2>sin1>sin3.
答案 sin2>sin1>sin3
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9．当x∈时，y＝2sin的值域为________．
解析 ∵x∈，∴－≤3x－≤，
∴sin∈.∴y∈[－，2]．
答案 [－，2]
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的最大值及f(x)最大时x的集合．
解析 (1)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
递减区间为(k∈Z)．
(2)当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，
f(x)取最大值1.
此时x＝＋kπ，k∈Z，
即f(x)最大时x的集合为.
11．已知函数f(x)＝2sin，x∈R，
(1)求f(0)的值．
(2)试求使不等式f(x)>1成立的x的取值范围．
解析 (1)f(0)＝2sin＝－2sin＝－1.
(2)f(x)＝2sin>1.
∴sin>.
∴2kπ＋<x－<2kπ＋π，k∈Z.
∴6kπ＋π
故满足不等式f(x)>1的x的集合为
{x|6kπ＋π12．已知函数f(x)＝asin＋b，a＞0.
(1)写出函数f(x)的单调递减区间；
(2)设x∈，f(x)的最小值－2，最大值为，求实数a，b的值．
解析 (1)2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin(2x－)≤1，∵a>0.
∴f(x)min＝－a＋b＝－2，f(x)max＝a＋b＝.
∴a＝2，b＝－2＋.
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13．函数f(x)＝sin在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析 ∵x∈，
∴2x－∈.
∴sin∈
即函数f(x)＝sin在区间的最小值为－.
答案 B
双基限时练(十一)
基 础 强 化
1．要得到函数y＝sin2x的图象，只需将y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案 B
2．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )
解析 当a＝0时，f(x)＝1，图象为选项C所示；
当02π，图象为选项A所示；
当a>1时，周期T＝<2π，图象为选项B所示．
答案 D
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析 由选项可知，A＝2，T＝－＝，
T＝π，∴ω＝2.
当x＝－时，y取得最大值2，即sin＝1，
∴－＋φ＝，∴φ＝.
答案 A
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )
A. B.
C. D.
解析 由最小正周期为π得ω＝2，于是f(x)＝sin，其图象向左平移|φ|个单位长度后，对应的函数解析式为y＝sin，由于该函数图象关于y轴对称，所以它是偶函数，所以＋2|φ|＝kπ＋，k∈Z，
所以|φ|＝＋，k∈Z，故选D.
答案 D
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )
A．y＝4sin B．y＝2sin＋2
C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2
解析 由该函数的最小值为0，可知A不正确，由周期为可知B不正确，将x＝分别代入选项C、D中，易知D正确．
答案 D
6．若函数f(x)＝3sin的图象为C，则下列结论中正确的是( )
①图象C是关于直线x＝π对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．①② B．②③
C. ①②③ D．①②③④
解析 当x＝时，f＝3sin＝－3，此时直线x＝经过函数图象的最低点，故直线x＝是函数图象的对称轴，结论①正确；f＝3sin＝0，图象C关于点对称，结论②正确；当x∈时，2x－∈，所以函数f(x)在区间内是增函数，结论③正确；函数y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度得函数y＝3sin2＝3sin的图象，显然结论④不正确．
答案 C
7．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝sin至少向左平移________个单位长度．
解析 y＝sin＝sin，故将y＝sin至少向左平移π个单位长度．
答案 π
8．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ，是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
解析 观察图象可知A＝，＝－＝，
所以T＝π，从而有ω＝＝2.
将点代入函数解析式f(x)＝sin(2x＋φ)
得－＝sin，
即sin＝－1，
不妨令＋φ＝，得φ＝，
故f(x)＝sin，所以f(0)＝sin＝.
答案
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9．将函数f(x)＝2sin图象上每一个点横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为______________；若将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m＞0)，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为________．
解析 函数f(x)＝2sin图象上每一个点的横坐标扩大为原来的2倍，所得图象所对应的函数解析式为f(x)＝2sin＝2sin，将函数f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m＞0)，所得函数的解析式为y＝2sin＝2sin，当2m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝＋，k∈Z时，所得的函数图象关于y轴对称，此时m的最小值为.
答案 y＝2sin(x＋)
10．已知函数f(x)＝sinωx(ω＞0)．
(1)当ω＝1时，写出由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数解析式；
(2)若y＝f(x)图象过点，且在区间上是增函数，求ω的值．
解析 (1)当ω＝1时，f(x)＝sinx，将f(x)的图象向右平移个单位，得到的图象解析式为y＝sin.
(2)由题意可知sinω＝0，故ω＝kπ，k∈Z，
即ω＝k，k∈Z.
∵f(x)在上单调递增．
∴T≥，即≥，∴ω≤.
∵ω＞0，∴ω＝.
11．函数y＝sin(ωx＋φ)在同一个周期内，当x＝时y取最大值1，当x＝时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)；
(2)函数y＝sinx的图象经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图象．
解析 (1)∵＝2，∴ω＝3.
∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∵|φ|＜，∴φ＝－.
∴f(x)＝sin.
(2)y＝sinx的图象向右平移个单位，得到y＝sin的图象，再由y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象．
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，然后再将所得图象沿x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象．写出函数y＝g(x)的解析式并用“五点法”画出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解析 (1)由已知，易知
A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，
解得T＝6π，∴ω＝.
把(0,1)代入解析式y＝2sin，得2sinφ＝1.
又|φ|<，
∴解得φ＝.
∴f(x)＝2sin.
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移，得g(x)＝2sin＝2sin.
列表：
x－
0
π
2π
x
2sin
0
2
0
－2
0
图象如图：
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13．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D．－
解析 利用平移规律求得解析式，验证得出答案．
y＝sin(2x＋φ)y＝sin＝sin.
当φ＝时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，为奇函数；
当φ＝时，y＝sin＝cos2x，为偶函数；
当φ＝0时，y＝sin，为非奇非偶函数；
当φ＝－时，y＝sin2x，为奇函数，故选B.
答案 B
双基限时练(十二)
基 础 强 化
1．函数y＝cos的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )
A. B.
C. D．π
解析 y＝cos的最小正周期T＝＝.
其相邻两条对称轴间的距离为半个周期，故两条相邻对称轴间的距离为d＝＝.
答案 B
2．已知f(x)＝sin，g(x)＝cos，则f(x)的图象( )
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得到g(x)的图象
D．向右平移个单位，得到g(x)的图象
解析 f(x)＝sin＝cosx，∴f(x)的图象向右平移个单位，得y＝cos的图象，即得到g(x)的图象．
答案 D
3．若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f＝f(－t)，且f＝－1，则实数m＝( )
A．±1 B．±3
C．－3或1 D．－1或3
解析 ∵f＝f(－t)对任意t成立，
∴f(x)关于x＝对称．
∴f＝m±2＝－1，∴m＝－3或1.
答案 C
4．函数y＝－cos的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 令2kπ≤－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴该函数的递增区间为，k∈Z.
答案 D
5．函数y＝sin2x＋2cosx的最大值与最小值分别是( )
A．最大值为，最小值为－
B．最大值为，最小值为－2
C．最大值为2，最小值为－
D．最大值为2，最小值为－2
解析 y＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1
＝－(cosx－1)2＋2.
∵≤x≤，∴cosx∈，
∴当cosx＝－1时，ymin＝－2，
当cosx＝时，ymax＝.
答案 B
6．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析 y＝cos＝sin
＝sin＝sin.
∴只需将y＝sin的图象向左平移个单位长度．
答案 A
7．函数y＝的定义域为________．
解析 x应满足：
结合正、余弦函数图象易知：
－＋2kπ答案 (k∈Z)
8．已知函数f(x)＝πcos，如果存在实数x1，x2使得对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，那么|x1－x2|的最小值是________．
解析 f(x1)与f(x2)分别是f(x)的最小值与最大值，
∴|x1－x2|的最小值为半个周期，即|x1－x2|min＝4π.
答案 4π
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9．设函数f(x)＝cos＋1，有以下结论：
①点是函数f(x)图象的一个对称中心；
②直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
③函数f(x)的最小正周期是π；
④将函数f(x)的图象向右平移个单位后，对应的函数是偶函数．
其中所有正确结论的序号是________．
解析 由于f(x)的图象是由y＝cos向上平移1个单位得到，
∵y＝cos的对称中心的纵坐标为0，
∴f(x)的对称中心的纵坐标为1，故①错；
当x＝时，f(x)取得最小值0，
∴x＝是f(x)的一条对称轴，故②正确；
T＝＝π，故③正确；
f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos2x＋1的图象，它是偶函数，故④正确．
答案 ②③④
10．已知函数y＝a－bcosx的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及周期．
解析 －1≤cosx≤1，由题意知b≠0.
当b>0时，－b≤－bcosx≤b，
∴a－b≤a－bcosx≤a＋b.
∴解得
∴y＝－4bsinax＝－4sinx，
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.
当b<0时，b≤－bcosx≤－b，
∴a＋b≤a－bcosx≤a－b.
∴解得
∴y＝－4bsinax＝4sinx.
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.
11．如图，函数y＝2cos(ωx＋θ)的图象与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解析 (1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)得
cosθ＝，因为0≤θ≤，
∴θ＝.
由已知T＝π，且ω＞0，∴ω＝＝2.
(2)由(1)可知y＝2cos，
∵点A，Q(x0，y0)是PA的中点，y0＝，
∴点P的坐标为.
又∵点P在y＝2cos的图象上，
∴cos＝.
∵≤x0≤π，∴≤4x0－≤.
从而得4x0－＝或4x0－＝.
即x0＝或x0＝.
12．设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若f(x)>，求x的取值范围．
解析 (1)周期T＝＝π，∴ω＝2.
∵f＝cos＝－sinφ＝，
∵－<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝cos，列表如下：
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图：
(3)∵cos>，
∴2kπ－<2x－<2kπ＋，k∈Z，
2kπ＋<2x<2kπ＋π，k∈Z，
kπ＋∴x的取值范围是.
品 味 高 考
13．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
解析 函数y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位，
得到y＝sin，
即y＝sin向左平移个单位得到y＝cos(2x＋φ)，
∴y＝sin＝sin＝－sin＝cos＝cos＝cos(2x＋φ)，即φ＝2kπ＋.
答案
双基限时练(十三)
基 础 强 化
1．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
解析 由－≠kπ＋，k∈Z可知，x≠2kπ＋，k∈Z.令k＝0，则x≠；k＝－1，则x≠－.结合选项可知，A正确．
答案 A
2．函数f(x)＝tan的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
解析 f(x)＝tan＝－tan，
∴kπ－∴kπ－∴f(x)的递减区间为(k∈Z)．
答案 B
3．与函数f(x)＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
解析 令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
∴x＝kπ＋，k∈Z.
∴y＝tan与一组平行线x＝kπ＋，k∈Z均不相交，当k＝0时，x＝，故选C.
答案 C
4．若直线y＝m(m为常数)与函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支相交于A、B两点，且|AB|＝，则( )
A．函数f(x)的最小正周期为
B. ω＝
C．函数f(x)图象的对称中心的坐标为(k∈Z)
D．函数|f(x)|图象的对称轴方程均可表示为x＝(k∈Z)
解析 由|AB|＝，故T＝，∴ω＝4.故A、B错；
令4x＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ，k∈Z.
∴y＝tan4x的对称中心为(k∈Z)．故选C.
y＝|f(x)|图象的对称轴方程为x＝，故D错．
答案 C
5．下列不等式中正确的是( )
A．tan＜tan
B．tan>tan
C．tan＜tan
D．tan>tan
解析 tan＝tan，
tan＝tan，
∵正切函数在上是增函数，
∴tan＞tan.
答案 D
6．在区间范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 在同一坐标系中，首先作出y＝sinx与y＝tanx在内的图象．由三角函数线知，当x∈时，tanx>sinx，故在上，两函数图象无交点，
又∵y＝tanx和y＝sinx均为奇函数，
∴当x∈时，两函数图象也无交点，
∴两函数图象在上共有两个交点(0,0)，(π，0)．
从图象可知有3个交点．
答案 C
7．满足tan≥－的x的集合是________．
答案 ，k∈Z
8．已知函数f(x)＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围为________．
解析 ∵f(x)在内单调递减，
∴ω＜0，且≥π，∴|ω|≤1，∴－1≤ω＜0.
答案 [－1,0)
能 力 提 升
9．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象的一个对称中心为.若|φ|<，则φ的值为________．
解析 y＝tan(2x＋φ)的对称中心为(k∈Z)．
∵y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为.
故－＝，k∈Z.∴φ＝－，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝或－.
答案 或－
10．比较下列各组数的大小：
(1)tan2与tan9；
(2)logtan70°，logsin25°，cos25°.
解析 (1)∵tan9＝tan(－2π＋9)，
而<2<－2π＋9<π，
且y＝tanx在内是增函数，
∴tan2即tan2(2)∵tan70°>tan45°＝1，
∴logtan70°<0.
又0∴logsin25°>1.
而0∴<cos25°<1.
∴logtan70°<cos25°11．讨论函数y＝tan的定义域、周期和单调区间．
解析 由2x－≠kπ＋得
x≠＋π，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x≠＋π，k∈Z}，
周期T＝.
由kπ－<2x－得－∴单调增区间为(k∈Z)．
12．已知f(x)＝x2＋2x·tanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
解析 (1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈[－1，]．
∴x＝时，f(x)的最小值为－；
x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ图象的对称轴为
x＝－tanθ.
∵y＝f(x)在[－1，]上是单调函数；
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，
即tanθ≥1或tanθ≤－.
因此，θ的取值范围是∪.
品 味 高 考
13．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝( )
A．2＋ B.
C. D．2－
解析 由图象可知：T＝2＝，∴ω＝2.
∴2×＋φ＝kπ＋.又|φ|<，
∴φ＝.又f(0)＝1，∴Atan＝1，
得A＝1，∴f(x)＝tan.
∴f＝tan＝tan＝，故选B.
答案 B
双基限时练(十四)
基 础 强 化
1．已知α是三角形内角，且sinα＝，则角α＝( )
A. B.
C.或 D.或
解析 ∵α是三角形的内角，∴α∈(0，π)．
∵sinα＝，∴α＝或.
答案 C
2．使arccos(1－x)有意义的x的取值范围是( )
A．[1－π，1] B．[0,2]
C．(－∞，1] D．[－1,1]
解析 由题意，得－1≤1－x≤1，解得0≤x≤2.
答案 B
3．已知sinx＝，x∈，则x＝( )
A．arcsin B.＋arcsin
C．π－arcsin D.
解析 ∵arcsin∈，∴π－arcsin∈，
∴sinx＝，x∈，x＝π－arcsin.
答案 C
4．已知cosx＝－，x∈[0，π]，则x的值为( )
A．arccos B．π－arccos
C．－arccos D．π＋arccos
解析 arccos∈，∴π－arccos∈.
∴cosx＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos.
答案 B
5．已知tanα＝－，α∈[0，π]，则α的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析 当α∈(0，π)时，tan＝－，
∴tanα＝－，α∈[0，π]时，α＝.
答案 D
6．已知cosα＝，α∈，则α的值为( )
A．－ B．－
C．± D．±
解析 cosα＝，α∈，∴α＝±.
答案 C
7．若tanα＝－，α∈[0，π)，则α＝________.
解析 ∵tanα＝－，α∈[0，π)，∴α＝.
答案
8．在[0,2π]上满足sinx＝的x解为________．
解析 sinx＝>0，∴x是第一、二象限角．
∵x∈[0,2π]，∴x＝或x＝.
答案 或
能 力 提 升
9．若α＝arcsin，β＝arctan，γ＝arccos，则α，β，γ的大小关系是________．
解析 ∵α＝arcsin，β＝arctan，γ＝arccos，
∴sinα＝，tanβ＝，cosγ＝，
∴sinβ＝，sinγ＝，
∴sinα又∵α，β，γ都是锐角，
∴α<β<γ.
答案 α<β<γ
10．已知cosx＝，根据下列条件求角x：
(1)x∈；
(2)x∈[0,2π]；
(3)x∈R.
解析 (1)由于y＝cosx是区间上的减函数，
且cos＝，所以x＝，
同理y＝cosx是区间上的增函数
且cos＝，∴x＝－.
综上所述，x＝或x＝－.
(2)在[0，π]内，y＝cosx是减函数，cos＝，∴x＝.
在[π，2π]内，y＝cosx是增函数，cos＝，∴x＝.
综上所述，x＝或x＝.
(3)在R上符合条件的角是所有与终边相同的角和所有与π终边相同的角，
即.
11．已知sinx＝，根据下列条件求角x：
(1)x∈[0，π]；
(2)x∈[－2π，2π]；
(3)x∈R.
解析 根据正弦函数的图象可知，在条件(1)下有两个角满足条件．在条件(2)下有四个角满足条件．
(1)当x∈时，只有一个角满足sinx＝，
∴x＝arcsin.
根据正弦函数图象可知，在内还有一个角x＝π－arcsin满足条件．
综上所述，x＝arcsin或x＝π－arcsin.
(2)根据(1)及y＝sinx的图象可知，满足sinx＝，
x∈[－2π，2π]的角x为－2π＋arcsin，－π－arcsin，arcsin，π－arcsin.
(3)根据终边相同的角的三角函数值相等，可知x＝2kπ＋arcsin或x＝2kπ＋π－arcsin(k∈Z)．
12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin(180°－A)＝cos(B－90°)，cosA＝－cos(180°＋B)，求角A、B、C的大小．
解析 ∵sin(180°－A)＝cos(B－90°)，
∴sinA＝sinB. ①
又cosA＝－cos(180°＋B)．
∴cosA＝cosB. ②
①2＋②2得cos2A＝，
即cosA＝±.
∵A∈(0，π)，
∴A＝或.
(1)当A＝时，有cosB＝，
又B∈(0，π)，
∴B＝，C＝.
(2)当A＝时，
由②得cosB＝＝－<0.
可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．
综上，可知A、B、C的大小分别为，，.
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13．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值等于( )
A.， B．±
C．± D．±
解析 由cos(π－x)＝－cosx＝，得cosx＝－.
又∵x∈(－π，π)，
∴x在第二或第三象限，
∴x＝±.
答案 C
双基限时练(十五)
基 础 强 化
1．下列物理量中，不能称为向量的是( )
A．距离 B．加速度
C．力 D．位移
解析 ∵距离只有大小，没有方向，
∴距离不是向量，故选A.
答案 A
2．下列结论中，不正确的是( )
A．向量与共线与向量∥意义相同
B.＝，则∥
C．||＝||，则＝
D.＝，则＝
解析 根据选项要求，作出向量与，利用数形结合，可知C不正确．
答案 C
3．下列说法错误的是( )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线
D．方向相反的向量可能相等
解析 向量相等指向量的大小相等，方向相同，故D错．
答案 D
4．对于以下命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线．其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析 两个向量共线(或平行)指两个非零向量的方向相同或相反，且规定零向量与任何向量共线，由此可知①②③均错．
答案 B
5．在如图所示平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、AD的中点，则下列说法不正确的是( )
A.＝ B.＝
C．||＝|| D.∥
解析 由ABCD是平行四边形可知，＝，故A错．
答案 A
6．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．等腰梯形
解析 由＝，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵||＝||，∴平行四边形ABCD的邻边相等．
∴四边形ABCD是菱形．
答案 B
7．已知a，b是任意两个向量，下列条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；
④a＝0或b＝0；⑤a与b都是单位向量．
其中，使向量a与b平行的有________．(只填序号)
解析 根据平行向量的定义可知①③④均能得到a∥b.
答案 ①③④
8．菱形ABCD中，∠DAB＝60°，则与向量相等的向量为________．
解析 所求向量与方向相同，模相等．
答案
能 力 提 升
9．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点∠BAC＝，CD⊥AB于D，这时||＝________.
解析 如图，因为圆O的周长是2π，
所以直径AB＝2.
因为C是圆周上的一点，
所以△ACB是直角三角形，∠ACB＝.
再由∠BAC＝，
得BC＝AB＝×2＝1.
所以CD＝BCsin＝1×＝.
答案
10．如图，D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形
BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量．
解析 与共线的向量有，，，，，，，，，，；与相等的向量有，，.
11．在如图的方格纸上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析 (1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如图．
12．甲、乙两人分别从A地出发，其中甲沿北偏东60°方向走了3 km到B地，乙沿北偏西30°方向走了4 km到C地，如图所示，问B、C两地相距多远，B地在C地的什么方向上．
解析 由题图可知，||＝3，||＝4，
∠CAB＝90°，则||＝5，
又∵tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝arctan.
故B、C两地间的距离为5 km，B地在C地南偏东＋arctan.
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13．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 题图中与共线的向量有，，，共计3个．
答案 C
双基限时练(十六)
基 础 强 化
1．在平行四边形ABCD中，＋＋＝( )
A. B.
C. D.
解析 ＋＋＝＋＋＝.
答案 C
2．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，则|a＋b|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
解析 a＋b＝＋＝，
∵正方形ABCD边长为1，∴||＝.
∴|a＋b|＝.
答案 C
3．平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量＋的是( )
A．a＋a B．b＋b
C．0 D．a＋b
解析 ＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝a＋a.
答案 A
4．下列结论错误的是( )
①＋＝；
②＋＋＝0；
③＋＝；
④任一向量与零向量的和都为零向量．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析 ∵＋＝，∴①正确，③错误；
∵任一向量与零向量的和都为这个向量，∴④错误．
答案 C
5．下列命题中：
①△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
③若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①正确；②中A、B、C三点有可能共线，∴②错误；
③中|a|＋|b|≥|a＋b|，当且仅当a与b同向时等号成立，∴③错误；故选B.
答案 B
6．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列各结论中，正确的结论个数为( )
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③|＋|＝||；
④||2＋||2＝||2.
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析 ∵△ABC是直角三角形，∴以AB、AC为邻边作平行四边形，所得平行四边形为矩形．∴①②③④均正确．故选A.
答案 A
7．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析 如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
答案 8 北偏东45°
8．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|
解析 a＝＋＋＋＝0，
∴正确的有①③⑤.
答案 ①③⑤
能 力 提 升
9．已知||＝||＝1，∠AOB＝60°，则|＋|＝________.
解析 ∵||＝||，∴，为邻边做平行四边形，
该平行四边形为菱形，∵∠AOB＝60°，||＝1，
∴|＋|＝.
答案
10．如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
解析 解法1：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b；然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所示．
解法2：如图所示，首先在平面内任取一点O，然后作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作?ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
11．化简或计算：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋＋.
解析 (1)＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＋＋＝＋＝0.
12．如图，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F，使BE＝DF，用向量的方法证明：四边形AECF也是平行四边形．
证明 ＝＋，＝＋，＝，＝，
∴＝，即AE与FC平行且相等，
∴四边形AECF是平行四边形．
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13．下列等式不正确的是( )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C.＋≠0 D.＝＋＋
解析 ∵与为相反向量，
∴＋＝0，
故C不正确．
答案 C
双基限时练(十七)
基 础 强 化
1．在△ABC中，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．b－a D．－a－b
解析 ＝－(＋)＝－(a＋b)＝－a－b.
答案 D
2．在平行四边形ABCD中，－＋＝( )
A. B.
C. D.
解析 －＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案 D
3．在△ABC中，－－＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．2
解析 －－＝－＝－2.
答案 C
4．若A、B、C、D是平面内任意四点，则下列四个式子中正确的个数有( )
①＋＝＋；
②－＝＋；
③－－＝；
④＋－＝
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①中左边＝(＋)＋(＋)＝＋＝右边，故①成立；②中左边＝(＋)－(＋)＝－＝＋＝右边，故②成立；③中左边＝－＝＋＝≠＝右边，故③不成立；④中左边＝－＝＝右边，故④成立；故①③④成立．
答案 C
5．设a, b是非零向量，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b必定( )
A．方向相同 B．方向相反
C. b＝－a D．模相等
解析 ∵a与b均为非零向量，|a－b|＝|a|＋|b|.
∴a与b的方向相反．
答案 B
6．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b B．－a－b
C．－a＋b D．a－b
解析 ＝－＝－－＝－a－b.
答案 B
7．在下列横线上填上适当的向量．
(1)＝________＋；
(2)＝－________；
(3)－________＝＋；
(4)＋________＝－.
答案 (1) (2) (3) (4)
8．已知a，b满足|a|＝6，|b|＝8，|a＋b|＝10，则|a－b|＝________.
解析 a＋b与a－b是以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线上的向量，∵62＋82＝102，∴该平行四边形是矩形，
∴|a－b|＝10.
答案 10
能 力 提 升
9．已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则有下列结论：
①＋＝；②－＝；③－＝；④＋≠＋.其中，正确结论的所有序号为________．
解析 对于①，＋＝＋＝；
对于②，－＝≠；
对于③，－＝－＝；
对于④，＋＝0，＋＝0，
∴左边＝右边．故①③正确．
答案 ①③
10．如图，已知向量a、b、c，求作a＋b－c.
解析 解法1：把减法转化为加法：a＋b－c＝a＋b＋(－c)．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－c，则＝a＋b＋(－c)＝a＋b－c，如下图(左)．
解法2：直接用加法与减法的三角形法则：
在平面上任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连结、，则＝a＋b，＝－＝(a＋b)－c＝a＋b－c，如上图(右)．
11．如图所示，在正八边形ABCDEFGH中，设A＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)试用这五个向量表示向量，，；
(2)试用这五个向量表示向量与.
解析 (1)＝－＝－(＋＋＋)
＝－(b＋c＋d＋e)＝－b－c－d－e.
＝＋＋＝b＋c＋d.
＝－＝－(＋＋＋)
＝－(a＋b＋c＋d)＝－a－b－c－d.
(2)由＋＝，
∴＝－＝－＝c＋d＋e－b.
由＋＋＝，
∴＝－－＝－－
＝d－a－b.
12．已知任意四边形ABCD，E是AD的中点，F是BC的中点，求证：－＝－.
解析 如图，在四边形CDEF中，＋＋＋＝0，
∴－＝＋.
在四边形ABEF中，
＋＋＋＝0，
∴－＝＋.
又E，F分别是AD，BC的中点，
∴＝，＝，从而＋＝＋.
∴－＝－.
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13．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0 B.－＋＝0
C.＋－＝0 D.－－＝0
解析 ∵D、E、F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，∴＝，＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝0，故A正确．
答案 A
双基限时练(十八)
基 础 强 化
1．下面四个命题：
①对于实数m和向量a、b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb(m∈R且m≠0)，则a＝b；
④若ma＝na(m，n∈R，且a≠0)，则m＝n.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①②③④均正确，故选D.
答案 D
2．将3化成最简式为( )
A．－a＋b B．－4a＋5b
C.a－b D．4a－5b
解析 原式＝3
＝3＝－4a＋5b.
答案 B
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析 解法1：＝＋
＝＋＝＋(－)
＝＋.
∴λ＝.
解法2：∵＝2，
∴D为AB的三等分点．
作＝，＝，
∴E为CA的三等分点，且F为BC的三等分点．
∴＝＝.
又＝＋＝＋，
故λ＝.
答案 A
4．已知A、B、C三点共线，O是平面上任意一点，且＋2＝0，则＝( )
A．2－ B．2－
C．2－2 D．2－2
解析 ∵＋2＝0，∴－＋2(－)＝0，
∴－＝－2，∴＝－＋2.
即＝2－.
答案 B
5．已知P、A、B、C是平面内四点，且＋＋＝，那么一定有( )
A.＝2 B.＝2
C.＝2 D.＝2
解析 ＋＝－，
∴＋＝，∴＝2.故选D.
答案 D
6．O为平面内的动点，A，B，C是平面内不共线的三点，满足＋＝λ≠0，则O点轨迹必过△ABC的( )
A．垂心 B．外心
C．重心 D．内心
解析 取AB边的中点D，则＋＝2＝λ，则三点O，C，D共线，即可得O点轨迹必过△ABC的重心，故选C.
答案 C
7．化简：2(3a－2b)＋9(－2a＋b)＝________.
解析 原式＝(6－18)a＋(－4＋9)b＝－12a＋5b.
答案 －12a＋5b
8．已知3x＋2(a－x)＝7a，且|a|＝2，则|x|＝____.
解析 3x＋2a－2x＝7a，
∴x＝5a.∴|x|＝5|a|＝10.
答案 10
能 力 提 升
9．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析 根据题意，画出图形，由数乘向量的几何意义得＝，＝－.
答案 －
10．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，试用a，b表示.
解析 ＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝－－
＝－＋＝－a＋b.
11．如图，△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
解析 ＝－＝b－a，＝－＝c－a，设M为BC的中点，则
＝(＋)
＝(b＋c－2a)．
又G为△ABC的重心，
所以＝＝(b＋c－2a)，
＝＋＝a＋(b＋c－2a)＝(a＋b＋c)．
12．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)证明四边形ABCD为梯形.
解析 (1)根据向量求和的多边形法则，有
＝＋＋
＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)
＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f
＝－8e－2f.
(2)因为＝－8e－2f
＝2(－4e－f)＝2 ，
即＝2，
所以根据数乘向量的定义知，与同方向，且的长度为的长度的2倍．
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
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13．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，∴λ1＋λ2＝.
答案
双基限时练(十九)
基 础 强 化
1．已知数轴上两点M、N的坐标分别是4、－3，则的坐标为( )
A．1 B．－7
C．7 D．1
解析 ＝4－(－3)＝7.
答案 C
2．下列命题正确的个数为( )
①若向量a∥b，则必存在唯一一个实数λ，使a＝λb；
②若a＝λb，则a∥b；
③向量a的单位向量为；
④若a，b不共线，且ma＋nb＝0，则m＋n＝0.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①中b＝0，③中a＝0时均不成立，②④正确．
答案 B
3．已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析 ∵2＝3－，
∴2(－)＝－，
∴2＝，∴＝－，
∴P在线段AB的反向延长线上．
答案 B
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
解析 ＝＋＝(－2a＋8b)＋3(a－b)＝a＋5b＝.
∴与共线．
∵与有一个公共点B.
∴A、B、D三点共线．
答案 B
5．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则( )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．λ＝0或e1∥e2
解析 ∵a∥b，∴存在实数μ，使得a＝μb，
∴e1＋λe2＝2μe1，∴λe2＝(2μ－1)e1.
∵e1≠0，∴当λ＝0时，则μ＝，
即a＝b.∴满足a与b共线．
当λ≠0时，e2＝e1，∴e1与e2共线．
综上分析：若a∥b，则λ＝0或e1∥e2.
答案 D
6．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵＋＋＝，则＝2.
∴A、P、C三点共线，且P是靠近点A的线段AC的三等分点，∴＝.
答案 A
7．若(x＋y－1)a＋(x－y＋3)b＝0，其中a，b为非零向量，且a，b不共线，则实数x，y的值分别为________．
答案 －1,2
8．已知M、N、P三点在数轴上，且点P的坐标是5，的坐标为2，的坐标为8，则点N的坐标为______．
解析 ∵P点坐标为5，的坐标为2，
∴M点的坐标为3.
∵的坐标为8，∴N点坐标为11.
答案 11
能 力 提 升
9．设向量e1，e2不共线，若λe1＋2e2与2e1＋3λe2共线，则实数λ的值是________．
解析 ∵λe1＋2e2与2e1＋3λe2共线，∴λe1＋2e2＝k(2e1＋3λe2)，即(λ－2k)e1＝(3kλ－2)e2.又e1与e2不共线，∴λ－2k＝3kλ－2＝0，解得λ＝±.
答案 ±
10．i、j是两个不共线的向量，已知＝3i＋2j，＝i＋λj，＝－2i＋j，若A、B、D三点共线，试求实数λ的值．
解析 ∵＝－＝(－2i＋j)－(i＋λj)＝－3i＋(1－λ)j，
∵A、B、D三点共线．
∴向量与共线．
因此存在实数μ，使得＝μ，即3i＋2j＝μ[－3i＋(1－λ)j]
＝－3μ i＋μ(1－λ)j，
∵i与j是两不共线向量，∴
故当A、B、D三点共线时，λ＝3.
11．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，
(1)求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．
解析 (1)证明：＝＋＝5e1＋5e2＝5，
∴∥.
又∵、有公共点B，∴A、B、D共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴.∴k2＝1，∴k＝±1.
12．如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M、N、C三点共线．
证明 令＝e1，＝e2，则有
＝＋＝－e1＋e2，
＝＝－e1＋e2，＝e1，
＝＝e2，
∴＝＋＝e1＋e2，
＝＋＝e1－e1＋e2
＝e1＋e2＝.
∴＝.
∴与共线，且有公共点M.
∴M、N、C三点共线．
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13．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析 ∵＋＋＝0，∴M是△ABC的重心，
∴＋＝3，∴m＝3.
答案 B
双基限时练(二)
基 础 强 化
1．－225°化为弧度为( )
A. B．－
C．－ D．－
解析 －225°＝－225×＝－.
答案 C
2.化为角度为( )
A．75° B．105°
C．135° D．175°
解析 ＝×°＝75°.
答案 A
3．下列各对角中，终边相同的是( )
A.与 B．－与
C．－与 D.与
解析 若两个角的终边相同，则两个角的差为2π的整数倍，∵C项中，－－＝－＝－4π＝－2×2π，
∴－与π的终边相同．
答案 C
4．下列所给角中，是第二象限角的是( )
A. B．－
C．－ D.
解析 ＝4π－，－是第四象限角，
∴是第四象限角；
－＝－2π＋，是第二象限角，
∴－是第二象限角；－与均是第三象限角．
答案 B
5．一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的弧长为( )
A．70 cm B. cm
C. cm D.cm
解析 分针转过的弧度数为－，
∴分针的端点所转过的弧长为×10＝cm.
答案 D
6．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为( )
A. B.
C．1 D．π
解析 该弦与半径组成的三角形为正三角形，故圆心角为.
答案 A
7．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．
解析 y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为.
答案
8．如果一扇形的圆心角是72°，半径是20 cm，那么扇形的面积为________．
解析 72°＝rad＝ rad.
∴S＝×202×＝80π (cm)2.
答案 80π cm2
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9．已知一扇形所在圆的半径为10 cm，扇形的周长是45 cm，那么这个扇形的圆心角为________弧度．
解析 扇形的弧长为45－20＝25 (cm)，
∴圆心角为＝rad.
答案
10．已知一扇形AOB的周长为8，若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小．
解析 设扇形的弧长为l，半径为r，由题意可知：
∴或
∵圆心角α＝，∴圆心角的大小为或6.
11．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
解析 (1)以OB为终边的角为330°，可看作－30°，
∵－30°＝－，75°＝π，
∴.
(2)以OB为终边的角为225°，可看作－135°，
∵－135°＝－π，135°＝π，
∴.
(3)∵30°＝，210°＝π，
∴∪
＝∪
＝.
∴.
12．圆心在原点的单位圆上两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转弧度/秒，N点按顺时针转弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度．
解析 设从P(1,0)出发，t秒后M、N第三次相遇，
则t＋t＝6π，故t＝12(秒)．
故M走了×12＝2π(弧度)，
N走了×12＝4π(弧度)，且相遇时的位置为P点．
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13．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1?3，则内切圆面积与扇形面积之比为________．
解析 设扇形圆心角的一半为θ，内切圆半径为r，
sinθ＝＝，
∴θ＝30°，即θ＝.
∴扇形的圆心角为.
∴＝＝.
答案
双基限时练(二十)
基 础 强 化
1．如图，、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则以下等式成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
解析 ∵＝－3，∴＝2.
∴＝＋＝＋＝＋(－)．
∴＝－＋.∴r＝－p＋q.
答案 A
2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C，满足＝＋，则||:||＝( )
A．1:|3 B．3:|1
C．1:|2 D．2:|1
解析 ∵＝＋，
∴(－)＝(－)．
∴＝，∴＝2.
∴||＝2||.∴||:|||＝2:|1.
答案 D
3．非零不共线向量、，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析 ∵＝λ，∴－＝λ(－)．
∴＝(1＋λ)－λ.
∴2＝(2＋2λ)－2λ，
∴ ∴
∴x，y满足x＋y－2＝0.
∴点Q(x，y)的轨迹方程为x＋y－2＝0.
答案 A
4．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析 ∵CD是∠ACB的角平分线，∴＝＝2.
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案 B
5．若点M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A.＋＋ B.＋＋
C.＋＋ D．3＋
解析 如图，设D，E，F分别为各边的中点，＝＝(＋)．
同理＝(＋)，
＝(＋)．
∴＋＋＝0，0与共线．
答案 C
6．如图在△ABC中，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析 ∵B、H、C三点共线，
∴＝(1－t)＋t.
∴2＝(1－t)＋t.
∴＝＋，
∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.
答案 B
7．如图，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设＝a，＝b，若用a，b来表示向量， 则＝________.
解析 以＝a，＝b作为以A点为公共起点的一组基底，则
＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝a＋b.
答案 a＋b
8．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，b＝e1＋e2，c＝e1－e2，若a在基底{b，c}下可表示为a＝λb＋μc，则λ＝________，μ＝________.
答案 ，－
能 力 提 升
9．如图，平面内三个向量，，，其中∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为__________．
解析 以OA、OB为邻边作平行四边形OECF，如图所示．
则＝＋＝λ＋μ.
即＝λ，＝μ.
∵∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝90°.
∴在△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴||＝2，||＝4，∴||＝4.
∵||＝||＝1.
∴＝4，＝2.∴＝4＋2.
∴λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
答案 6
10．已知四边形ABCD为矩形，且AD＝2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，＝e1，＝e2，选择{e1，e2}作为基底，用基底表示向量，，，.
解析 如图，∵e1＝，e2＝，
∴＝－
＝e2－e1.
由已知AD＝2AB＝DE，且F为DE的中点，
∴四边形ABDF为平行四边形．
∴＝＝＝e2，
＝－＝2－＝2e2－e1.
＝＝e2－e1.
11．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析 (1)若a，b共线，
则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
12．平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA、OB、OC的中点分别为E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a、b、c表示向量、、；
(2)证明：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分．
解析 (1)∵＝a，＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c－a)．
同理：＝(a＋c－b)，
＝(a＋b－c)．
(2)证明：设线段EL的中点为P1，则＝(＋)＝(a＋b＋c)．
设FM、GN的中点分别为P2、P3，同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．∴＝＝.
即EL、FM、GN交于一点，且互相平分．
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13．设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc；
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 利用向量加法的三角法则，易得①对；利用平面向量的基本定理，易得②对；以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③错；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④错．
答案 B
双基限时练(二十一)
基 础 强 化
1．下列命题中，不正确的是( )
A．相等的向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．平面直角坐标系中，一个坐标对应唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
解析 两个向量相等，它们的坐标相同，∴A正确；给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一对实数，由于向量可以平移，所以以这个实数对为坐标的向量有无数个，∴B正确，C错误；当向量的起点为原点时，向量的坐标与其终点坐标相等，∴D正确．
答案 C
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若与互为相反向量，则D点坐标为( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
解析 ＝(1,1)，∴＝(－1，－1)，∴D(1，－1)．
答案 C
3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a＝( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
解析 将两式相加，
∴3a＝(6，－6)，∴a＝(2，－2)．
答案 D
4．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为( )
A．3e1－2e2 B．－3e1－3e2
C．3e1＋2e2 D．2e1＋3e2
答案 C
5．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则等于( )
A．(8,1) B．(－8,1)
C. D.
解析 ＝－＝(－8,1)．
答案 B
6．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析 由题意可知，4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c.
∴d＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)．
∴d＝(－2，－6)．
答案 D
7．平面上有三个点，分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC的中点，则向量的坐标为______．
解析 ∵D是线段BC的中点，∴由中点坐标公式，可得D，再由向量的坐标公式，得＝(2，－5)－＝.
答案
8．已知点A(3,7)，＝(－2,8)，则点B的坐标为___________．
解析 设B(x，y)，则(x－3，y－7)＝(－2,8)，
∴x＝1，y＝15.
答案 (1,15)
能 力 提 升
9．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________.
解析 过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.
答案
10．已知三点A(8，－7)，B(－16,20)，C(4，－3)．求向量2＋3与－2的坐标．
解析 ＝(－24,27)，＝(20，－23)，
＝(－4,4)，＝(－20,23)．
∴2＋3＝(－48,54)＋(60，－69)＝(12，－15)．
－2＝(－20,23)－(－8,8)＝(－12,15)．
11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M、N的坐标和的坐标．
解析 ∵A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)．
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)，
由＝3，得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)＝(3,24)，
即解得即M(0,20)．
同理可得N(9,2)．所以＝(9，－18)．
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析 (1)由已知得＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，
则有2＋3t＝0，t＝－；
若点P在y轴上，
则有1＋3t＝0，t＝－；
若点P在第二象限，则有
解得－(2)解法1：若四边形OABP为平行四边形，则必有＝，
即：(3t＋1,3t＋2)＝(3,3)，于是有无解，故四边形OABP不能为平行四边形．
解法2：＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t.
由直线的向量参数方程式知，A、B、P三点共线．
∴OAPB不能为平行四边形．
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13．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝( )
A．(－2，－4) B．(2,4)
C．(6,10) D．(－6，－10)
解析 ＝－＝－＋
＝(－4，－7)＋(2,3)＝(－2，－4)．
答案 A
双基限时练(二十二)
基 础 强 化
1．下列各组的两个向量，共线的是( )
A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14)
C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2)
D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4)
解析 ∵a4＝－b4，∴a4∥b4.故选D.
答案 D
2．若向量a＝(2，－1)，b＝(x,2)，c＝(－3，y)，且a∥b∥c，则x，y的值分别为( )
A．x＝2，y＝ B．x＝－4，y＝－
C．x＝－4，y＝ D．x＝－4，y＝－3
解析 ∵a∥b，∴2×2－(－1)x＝0，∴x＝－4.
∵a∥c.∴2y－(－1)×(－3)＝0，∴y＝.故选C.
答案 C
3．已知A(4,7)、B(2,4)、C(－6，y)三点共线，则y的值为( )
A．8 B．－8
C．±8 D．3
解析 ＝(－2，－3)，＝(－10，y－7)，
∵A、B、C三点共线，
∴－2×(y－7)－(－3)×(－10)＝0，
∴－2y＋14＝30，∴y＝－8.
答案 B
4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，
∵ma＋nb与a－2b共线，
∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0.
∴－14m－7n＝0，∴＝－.
答案 C
5．设向量a＝，b＝，且a∥b，则α的一个值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a∥b，∴sinα＝cosα，
∴tanα＝，∴α＝.
答案 C
6．设a＝(1,1)，b＝(－2,3)，若a＋2b与2a＋λb平行，则实数λ的值为( )
A．4 B．1
C. D．－1
解析 a＋2b＝(－3,7)，2a＋λb＝(－2λ＋2,3λ＋2)．
∵(a＋2b)∥(2a＋λb)，
∴－3(3λ＋2)＝7(－2λ＋2)，∴λ＝4.
答案 A
7．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2,1)．则C点坐标为________．
解析 设C(x，y)，由＋＋＝0得＝－－.
又∵＝(0,2)，＝(6，－5)，＝(x－2，y－1)，
∴(x－2，，y－1)＝－(0,2)－(6，－5)＝(－6,3)．
∴∴∴C(－4,4)．
答案 (－4,4)
8．已知a，b∈R，非零向量α＝(2a＋1，a＋b)与β＝(－2，0)平行，则a，b满足的条件是________．
解析 ∵α∥β，∴∴
答案 b＝－a且a≠－.
能 力 提 升
9．设向量a＝(x，y)，其中x2＋y2＝20，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
解析 ∵a与b的方向相反，
∴a∥b且x<0，y<0，
∴2y－x＝0且x<0，y<0.
又x2＋y2＝20，
∴x＝－4，y＝－2.∴a＝(－4，－2)．
答案 (－4，－2)
10．设点A(－1,2)，B(n－1,3)，C(－2，n＋1)，D(2,2n＋1)，若向量与共线且同向，求n的值．
解析 由题意＝－＝(n－1,3)－(－1,2)＝(n,1)，
＝－＝(2,2n＋1)－(－2，n＋1)＝(4，n)，
由∥，∴n2＝4.∴n＝±2.
当n＝2时，＝(2,1)，＝(4,2)，＝共线同向；
当n＝－2时，＝(－2,1)，＝(4，－2)，∴＝－共线反向．
∴n＝2.
11．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解析 (1)若A、B、C三点共线，则与共线．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，
＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0.
∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
12.
如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明
如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)，－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝，
∴＝－，∴∥.
又MD与MB有公共点M，
∴D，M，B三点共线．
品 味 高 考
13．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A. B.
C．－或 D．0
解析 ∵a＝(1，m)，b＝(m,2)，且a∥b，∴1×2＝m2，解得m＝±.
答案 C
双基限时练(二十三)
基 础 强 化
1．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，则a2＋a·b＝( )
A．10 B.
C．7 D. 49
解析 a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝4＋2×3×＝7.
答案 C
2．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|＝( )
A．1 B．2
C．4 D.
解析 ∵c＝－(a＋b)，∴c2＝a2＋b2＋2a·b.
∵a·b＝0，∴c2＝5，即|c|＝.故选D.
答案 D
3．已知向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，则|m－n|( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 |m－n|2＝m2－2m·n＋n2
＝3－2××2×＋4
＝1，
∴|m－n|＝1.
答案 D
4．设a，b，c是任意三个非零向量且互不共线，下列各式正确的个数是( )
①(a·b)2＝a2·b2；
②＝；
③(a·b)·c－(a·c)·b＝0；
④|a·b|＝|a|·|b|.
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 ①中错误地迁移了实数的乘方运算，事实上，由a·b＝|a||b|cosθ得(a·b)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ＝a2b2cos2θ，其中θ＝〈a，b〉，只有当cos2θ＝1，即a∥b时(a·b)2＝a2·b2才成立，而当cos2θ≠1时，a2·b2cos2θ答案 A
5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析 ∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0.
∴2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝0.
∵|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
答案 C
6．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
解析 由·＝·，∴⊥.
同理⊥，⊥，
∴O是△ABC高的交点．
答案 D
7．已知a，b满足|b|＝2，a与b夹角为60°，则b在a上的投影是________．
解析 b在a上的投影为|b|cos〈a，b〉＝2×cos60°＝1.
答案 1
8．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
解析 b·c＝b·[t a＋(1－t)b]＝t a·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.
答案 2
能 力 提 升
9．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，则a·b＝________.
解析 a·b＝1×1×cos120°＝－.
答案 －
10．已知a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.是否存在实数μ，使μ a＋b与a－2b垂直？
解 若(μ a＋b)⊥(a－2b)，
则(μ a＋b)·(a－2b)＝0，
∴μ a2－2b2－2μ a·b＋a·b＝0.
又∵a＋b＋c＝0，c＝－a－b，
则|c|2＝|a＋b|2＝9＋25＋2a·b＝49，
∴a·b＝.
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0.
∴μ＝－.
∴存在μ＝－，使得μ a＋b与a－2b垂直．
11．已知|a|＝4，|b|＝3，且(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝b，＝a，作△ABC，求△ABC的面积．
解析 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
∴a·b＝－6，∴cosθ＝＝＝－.
∴θ＝.
(2)|a＋b|＝＝＝＝.
(3)S△ABC＝||||sinA
＝×3×4×sin＝3.
12．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解析 (1)证明：∵a·b＝a·c＝b·c
＝1×1×＝－，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝0.
∴(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
所以k2＋1＋1－k－k－1>1.
所以k2－2k>0.
解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为k<0或k>2.
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13．已知向量与的夹角120°，有||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为______________．
解析 ∵＝－，由⊥，得(λ＋)·(－)＝0，∴(λ－1)·＋2－λ2＝0，即(λ－1)×3×2×＋4－9λ＝0，∴λ＝.
答案
双基限时练(二十四)
基 础 强 化
1．已知向量a＝(1，)，b＝(－，x)，且a与b夹角为60°，则x＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 cos60°＝＝＝.
∴∴x＝3.
答案 C
2．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( )
A. 5 B．－5
C. D．－
解析 ＝－＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥.
∴2(2－k)＋6＝0，∴k＝5.
答案 A
3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析 ∵＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
∴⊥，∴A＝90°，故选A.
答案 A
4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cosθ＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，∴b＝(1,2)．
cosθ＝＝＝.
答案 D
5．已知向量u＝(x＋2,3)，v＝(x,1)，当f(x)＝u·v取得最小值时，x的值为( )
A．0 B．－1
C．2 D．1
解析 f(x)＝u·v＝(x＋2)x＋3
＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
所以当x＝－1时，f(x)取得最小值2.
答案 B
6．函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，则(－)·＝( )
A．－4
B．2
C．－2
D．4
解析 A(2,0)，B(3,1)，
(－)·＝2－·＝10－6＝4.
答案 D
7．若a·b＝39，b＝(12,5)，则a在b上的投影是________．
解析 a在b上的投影为＝＝3.
答案 3
8．已知向量a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝2，则x＝________；|a＋b|＝________.
解析 ∵a·b＝2，∴x＝2.
∵a＋b＝(3,1)，∴|a＋b|＝.
答案 2
能 力 提 升
9．已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，则∠BAC的余弦值为________．
解析 ＝(3,3)，＝(－1,6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15，
||＝3，||＝，
∴cos∠BAC＝＝＝.
答案
10．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥，⊥，求x、y的值．
解析 ＝＋＋＝(4＋x，y－2)，
则＝(－4－x,2－y)．
由∥，∴x(2－y)＋y(4＋x)＝0.
∵＝＋＝(6＋x，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，且⊥，
∴(6＋x)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
综上可得或
11．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
解析 ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)．
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，
∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝.
∵(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos120°＝，
即－＝化简，
整理得k2＋2k－2＝0，
解之得k＝－1±.
12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ.
解析 (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0.
∴a·b＝＝.
(2)a·b＝＝，
由函数单调性的定义容易证明f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当k＝1时，
[f(k)]min＝f(1)＝(1＋1)＝，
此时a与b的夹角为θ.
则cosθ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
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13．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积．
∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，
∴⊥，
∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.
答案 C
双基限时练(二十五)
基 础 强 化
1．已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
解析 |F1|＝10×cos60°＝5.故选B.
答案 B
2．△ABC中，＝c，＝a，且c·a<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
解析 ∵a·c<0，∴a与c所成角为钝角，〈a·c〉>.
则∠B＝π－〈a，b〉<，
∴∠B为锐角，△ABC形状无法确定．
答案 D
3．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
解析 与直线3x－4y＋7＝0垂直的向量为(3，－4)，
与直线3x－4y＋7＝0平行的向量为(4,3)．
∴a＝(4,3)，b＝(3，－4)．
答案 C
4．在△OAB中，＝a，＝b，M为OB的中点，N为AB的中点，ON、AM交于点P，则＝( )
A.a－b B．－a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析 P为△OAB的重心，∴＝－＝－＝－＝－＋＝－a＋b.
答案 B
5．已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界)，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC一定为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
解析 由题意，·(＋)＝0，即AB边上的中线与AB垂直，
∴该三角形是等腰三角形．
答案 D
6．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析 P点的位移为5v＝(20，－15)．
∵P点的起始位置为(－10,10)，
∴5秒后P点的位置为(10，－5)．
答案 C
7．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足＝2t＋t(t∈R)，则t＝________.
解析 ＝2t(－)＋t，
(2t＋1)＝2t＋t，
∴＝＋，∵A、B、P三点共线，
∴＋＝1，∴t＝1.
答案 1
8．已知一物体在共点力F1＝(2,2)，F2＝(3,1)的作用下产生位移S＝，则共点力对物体所做的功为________．
解析 F1＋F2＝(5,3)，共点力对物体所做的功为F·S＝5×＋×3＝7.
答案 7
能 力 提 升
9．如图所示，已知点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB交点P的坐标为________．
解析 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t－3,4t)，
＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．
由，共线得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝.
∴P点坐标为.
答案
10．如图所示，已知四边形ABCD是梯形，与共线，(＋)·(＋)＝0.试证：梯形ABCD是等腰梯形．
证明 作DE∥AB交BC于E，如图所示，由于AD∥BC，
所以＝λ，设F为CE的中点，
则＋＝＋＝2.
又∵＋＝＋＋＋
＝＋＝(1＋λ).
代入(＋)·(＋)＝0，得
2·(1＋λ)＝0.
∴⊥，∴||＝||.
∴||＝||.
即梯形ABCD是等腰梯形．
11．有一艘在静水中速度为10 km/h的船，现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设两岸平行，流速均匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u km/h，v km/h，河水的流速为w km/h，求u，v，w之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
解析 (1)如图，u是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸与60°角的静水中的船速，则v与u的夹角为30°.
由题意知，u，v，w三条有向线段构成一个直角三角形，其中＝v，＝u，＝＝w.由向量加法的三角形法则知，＝＋，即u＝w＋v.
(2)∵|v|＝10 km/h，而||＝||sin30°＝10×＝5 km/h，
∴这条河河水的流速为5 km/h，方向顺着河岸向下．
12．如图，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，求∠MPN.
解析 设＝a，＝b且，的夹角为θ，则＝b，＝a.
又∵＝－＝b－a，
＝－＝a－b，
∴·＝·＝－5，
||＝，||＝，
∴cosθ＝＝－，∴θ＝.
又∵∠MPN即为向量，的夹角，∴∠MPN＝.
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13．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
解析 ∵·＝||·||·cos60°＝||，∴·＝(＋)·＝
－||2＋1＋||.
∵·＝1，∴－||2＋||＝0，解得||＝.
答案
双基限时练(二十六)
基 础 强 化
1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝( )
A．0 B.
C. D．1
解析 原式＝cos75°cos75°＋sin75°sin75°
＝cos(75°－75°)＝cos0°＝1.
答案 D
2．已知cosα＝，α∈，则cos的值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵α∈，cosα＝，∴sinα＝－.
cos＝cosα＋sinα＝.
答案 D
3．若α、β均为锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝，则cosβ的值为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵α，β均为锐角，∴cosα＝，sin(α＋β)＝.
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝×＋×＝.
答案 A
4．满足cosαcosβ＝＋sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝－，β＝ D．α＝，β＝
解析 由题意可知cos(α＋β)＝，将选项逐个代入检验可知C正确．
答案 C
5．在△ABC中，sinA＝，cosB＝－，则cosC等于( )
A. B．－
C.或－ D．－
解析 解法1 ∵cosB＝－，∴B为钝角．
∴sinB＝.∵sinA＝，∴cosA＝.
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)＝.
解法2 ∵B为钝角，∴C为锐角，cosC>0，
∴选A.
答案 A
6．已知sinA＝，sinB＝，A、B∈，则A＋B的值为( )
A.π B.
C. D．－
解析 ∵A、B∈，sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－，cosB＝－.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝×－×
＝＝.
∵A、B∈(，π)，∴π∵cos(A＋B)＝>0，∴A＋B＝.
答案 A
7．若cos(A－B)＝，则(sinA＋sinB)2＋(cosA＋cosB)2＝________.
解析 (sinA＋sinB)2＋(cosA＋cosB)2＝2＋2cosAcosB＋2sinAsinB＝2＋2cos(A－B)＝2＋＝.
答案
8．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________.
解析 a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.
答案
能 力 提 升
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
解析 ∵α，β∈，
∴<α＋β<2π，<β－<.
sin(α＋β)＝－，则cos(α＋β)＝.
sin＝，则cos＝－.
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
答案 －
10．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α与cos2β的值．
解析 ∵＜β＜α＜，
∴0<α－β<，π<α＋β<.
∴sin(α－β)＝＝ ＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－.
11．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解析 由cosα＝，0<α<，
得sinα＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.
12．已知函数f(x)＝2cos，(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π，
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，
f＝，求cos(α＋β)的值．
解析 (1)∵f(x)＝2cos，ω>0的最小正周期T＝10π＝.∴ω＝.
(2)∵f(x)＝2cos
∴f＝2cos＝－2sinα.
∴sinα＝，∵f＝2cos＝2cosβ，
∴cosβ＝.
∵α，β∈，∴cosα＝，sinβ＝，
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×－×＝－.
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13．已知cos＝－，则cosx＋cos＝( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析 cosx＋cos
＝cos＋cos
＝2coscos
＝2××＝－1.
答案 C
双基限时练(二十七)
基 础 强 化
1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )
A．0 B.
C. D．1
解析 原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.
答案 D
2．已知α是第三象限的角，且tanα＝2，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵α是第三象限角，tanα＝2，∴＝2.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴解得sinα＝－，cosα＝－，
∴sin＝sinαcos＋cosαsin
＝－×＋×＝－.
答案 A
3．已知向量a＝(sin15°，－1)，b＝(1，cos15°)，则a·b＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 由条件可得
a·b＝sin15°－cos15°＝sin(15°－45°)
＝－sin30°＝－.
答案 B
4．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
解析 ∵sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin(A－B＋B)＝sinA≥1，且0≤sinA≤1，∴sinA＝1，即A＝，
∴△ABC是直角三角形．
答案 C
5．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
∴
∴sinαcosβ＝，sinβcosα＝.
∴＝＝.
答案 C
6．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析 f(x)＝2sin，由题设知，f(x)的周期为T＝π，
∴ω＝2.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故选C.
答案 C
7．已知向量＝(，1)，逆时针旋转60°到的位置，则点P′的坐标为________．
解析 ∵||＝＝2，设∠xOP＝α，
则cosα＝，sinα＝，∴α＝30°.
设P′(x′，y′)，又|′|＝||＝2，
∴x′＝2cos(30°＋60°)＝0，
y′＝2sin(30°＋60°)＝2，
故P′的坐标为(0,2)．
答案 (0,2)
8．已知sinα＋cosα＝，α∈，则sin＝______.
解析 sin＝sinαcos－cosαsin
＝cosα－sinα＝(cosα－sinα)．
∵α∈，∴cosα>sinα，∴(sinα＋cosα)2＝，
(sinα－cosα)2＝，∴cosα－sinα＝.
∴sin＝×＝.
答案
能 力 提 升
9．已知cosα＝，cos(α－β)＝，α>β，且α，β均为锐角，则sinβ＝________.
解析 ∵cosα＝，cos(α－β)＝，α>β，且α，β均为锐角，
∴sinα＝，sin(α－β)＝，
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.
答案
10．已知锐角α满足cos＝－，求sinα，cosα的值．
解析 ∵α为锐角，
∴<＋α<π，
sin＝ ＝.
sinα＝sin＝，
cosα＝cos＝.
11．设函数f(x)＝sinx＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变化得到．
解析 (1)f(x)＝sinx＋sinxcos＋cosxsin＝sinx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx＝sin.
当sin＝－1时，
f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ，
∴x＝＋2kπ(k∈Z)．
∴f(x)的最小值为－，此时x的集合.
(2)将函数y＝sinx的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数y＝sinx；然后将函数y＝sinx向左平移个单位得到函数y＝f(x)＝sin.
12．已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos2x＋a(a∈R，a为常数)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的最小值为－2，求a的值．
解析 (1)f(x)＝2sin2xcos＋cos2x＋a
＝sin2x＋cos2x＋a＝2sin＋a，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，
故所求区间为(k∈Z)．
(2)当x∈时，2x＋∈，
∴x＝时，f(x)取得最小值．
∴2sin＋a＝－2，∴a＝－1.
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13．设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．
解析 由f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin(3x＋)，得|f(x)|≤2，故a≥2.
答案 a≥2
双基限时练(二十八)
基 础 强 化
1．若0<α<，0<β<，且tanα＝，tanβ＝，则α＋β等于( )
A. B.
C. D.
解析 ∵0<α<，0<β<，
∴0<α＋β<π.
∴tan(α＋β)＝＝＝＝1.
∴α＋β＝.
答案 B
2．tan10°·tan20°＋(tan10°＋tan20°)等于( )
A. B.
C．－ D．1
解析 tan30°＝，
∴tan10°＋tan20°＝(1－tan10°tan20°)，
tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)
＝tan10°tan20°＋×(1－tan10°tan20°)＝1.
答案 D
3．下列结果为的是( )
①tan25°＋tan35°＋tan25°·tan35°；
②(1＋tan20°)(1＋tan40°)；
③；
④
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
解析 ①tan25°＋tan35°＝tan(25°＋35°)(1－tan25°·tan35°)＝－tan25°tan35°，
∴原式＝－tan25°tan35°＋tan25°tan35°＝.
②(1＋tan20°)(1＋tan40°)＝1＋tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝1＋(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40＝1＋－(－1)tan20°tan40°≠.
③原式＝＝tan60°＝.
④原式＝＝.
答案 B
4．设－<α<0，－<β<0，tanα、tanβ是方程x2－3x＋4＝0的两个不等实根，则α＋β的值为( )
A. B．－
C.π D．－或－π
解析 由题意可知，
tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝4，
∴tan(α＋β)＝＝＝－.
∵－<α<0，－<β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
答案 B
5．已知sinα＝，α是第二象限角，tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵sinα＝，α是第二象限角，tanα＝－，
tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
答案 C
6．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanA·tanB的值为( )
A. B.
C. D．1
解析 C＝120°，∴A＋B＝60°.
∴tan(A＋B)＝＝.
∵tanA＋tanB＝，∴1－tanAtanB＝.
∴tanA·tanB＝.
答案 B
7.＝________.
解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
答案
8．tan17°·tan43°＋tan17°·tan30°＋tan43°·tan30°的值为________．
解析 原式＝tan17°·tan43°＋(tan17°＋tan43°)
＝tan17°·tan43°＋tan60°(1－tan17°tan43°)
＝tan17°·tan43°＋1－tan17°·tan43°＝1.
答案 1
能 力 提 升
9.＝________.
解析 原式＝
＝＝tan15°
＝tan(45°－30°)＝＝2－.
答案 2－
10．在△ABC中，tanA＝，tanB＝，求角C的大小．
解析 ∵C＝π－(A＋B)，
∴tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－1，
∵011．(1)若α，β为锐角，且α＋β＝45°，求证：(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2；
(2)求log2(1＋tan1°)＋log2(1＋tan2°)＋…＋log2(1＋tan44°)＋log2(1＋tan45°)的值．
解析 (1)证明：(1＋tanα)(1＋tanβ)
＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ
＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ
＝1＋tan45°(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ
＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.
(2)由(1)知，(1＋tan1°)(1＋tan44°)
＝(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝…＝2，
又1＋tan45°＝2，
故原式＝log2223＝23.
12．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tantanβ＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解析 由①得＋β＝，
∴tan＝tan，
即＝.
把条件②代入上式，得
tan＋tanβ＝×(1－2＋)＝3－③
由②③知，tan，tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个实数根．
解这个方程，得或
∵α是锐角，
∴0<<.
∴tan≠1.
故tan＝2－，tanβ＝1.
∵0<β<，
由tanβ＝1，得β＝，代入①，得α＝.
∴存在锐角α，β使两个条件同时成立．
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13．设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.
解析 本题先求出tanθ，然后运用同角三角函数关系式进行变形求解．
∵tan＝，
∴＝，解得tanθ＝－.
∴(sinθ＋cosθ)2＝
＝＝＝.
∵θ为第二象限角，tanθ＝－，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π.
∴sinθ＋cosθ<0.
∴sinθ＋cosθ＝－.
答案 －
双基限时练(二十九)
基 础 强 化
1．已知cos＝，则sin2α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵cos＝，∴cosα＋sinα＝.
∴1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－.
答案 D
2．已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 (sinα＋cosα)2＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2α
＝1＋sin2α＝.
∵－<α<0，∴sinα＋cosα>0.
∴sinα＋cosα＝.
答案 B
3．已知角α终边过点(－，1)，则sin2α＝( )
A. B．±
C．－ D．－
解析 sinα＝，cosα＝－，
∴sin2α＝2××＝－.
答案 C
4．已知向量a＝的模为，则cos2θ＝( )
A.－ B．－
C．－ D.
解析 |a|＝ ＝，∴cos2θ＝.
cos2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.
答案 C
5．已知f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 f(x)＝2cos2xsin2x＝sin22x＝
＝－cos4x＋，∴T＝＝，且f(－x)＝f(x)．
答案 D
6．化简·的结果为( )
A．tanα B．tan2α
C. D．1
解析 原式＝·＝＝tan2α.
答案 B
7．已知α为第二象限角，sinα＝，则tan2α＝________.
解析 α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝－.
∴tanα＝－.tan2α＝＝＝－.
答案 －
8．若＝－，则sinα＋cosα的值为________．
解析 由已知得
＝
＝＝－.
∴sinα＋cosα＝.
答案
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9．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析 f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝sin＋1，
∴最小值为1－.
答案 1－
10．已知α为第三象限角，cos2α＝－，求tan的值．
解析 ∵α为第三象限角，
∴sinα<0，cosα<0.
由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝－，
得cosα＝－，sinα＝.
∴tanα＝2.
∴tan2α＝＝＝－.
∴tan＝＝－.
11．已知sinα＋cosα＝，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．
解析 由sinα＋cosα＝，得(sinα＋cosα)2＝，
即1＋2sinαcosα＝.
∴sin2α＝2sinαcosα＝－.
又0<α<π，
∴<α<π，sinα>0，cosα<0.
又(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝，
∴cosα－sina＝－，
cos2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－.
∴tan2α＝＝.
12．已知函数f(x)＝3cos2x＋2cosxsinx＋sin2x.
(1)求函数y＝f(x)的最大值并求取最大值时x的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间．
解析 (1)f(x)＝3cos2x＋2cosxsinx＋sin2x
＝3＋sin2x＋
＝2＋sin2x＋cos2x＝sin＋2.
当2x＋＝＋2kπ，即x＝kπ＋(k∈Z)时，
f(x)取得最大值2＋.
(2)当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间是，(k∈Z)．
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13．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析 由(sinα＋2cosα)2＝2，得＝.整理，得3tan2α－8tanα－3＝0.解得tanα＝3或tanα＝－.
∴tan2α＝＝－.
答案 C
双基限时练(三)
基 础 强 化
1．如果角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα的值等于( )
A. B．－
C．－ D．－
解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－，∴P(1，－)．
∴r＝＝2，sinα＝＝－.
答案 C
2．设α＝－，则sinα，tanα的值分别为( )
A．－1；不存在 B．1；不存在
C．－1；0 D．1；0
解析 －＝－2π－，∴－的终边在y轴的负半轴，在其终边上取点(0，－1)，由此可知sinα＝－1，tanα的值不存在．
答案 A
3．已知P(x,4)是角θ终边上一点，且tanθ＝－，则x的值为( )
A．10 B.
C．－10 D．－
解析 tanθ＝＝－，∴x＝－10.
答案 C
4．若角α的终边上有一点P(k<0)，则sinα·tanα＝( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵k<0，∴r＝ ＝－k，
∴sinα＝，tanα＝－，∴sinα·tanα＝－.
答案 B
5．若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标( )
A．(，1) B．(－，1)
C．(1，) D．(－1，)
解析 设P(x0，y0)，sin＝＝，∴y0＝.
cos＝＝，∴x0＝1.∴P(1，)．
答案 C
6．已知角θ的终边在直线y＝x上，则tanθ的值( )
A．－ B．－
C. D．±
解析 角θ的终边在第一象限或第三象限，在直线y＝x上取点(1，)和(－1，－)，则tanθ＝＝.
答案 C
7．角α的终边上有一点P(m,5)，且cosα＝(m≠0)，则sinα＋cosα＝____.
解析 r＝，∴cosα＝＝(m≠0)，
∴m＝±12.
当m＝12时，cosα＝，sinα＝，sinα＋cosα＝.
当m＝－12时，cosα＝－，sinα＝，sinα＋cosα＝－.
∴sinα＋cosα＝或sinα＋cosα＝－.
答案 或－
8．若y＝tanα·cotα的定义域为M，y＝secα·cscα的定义域为N，则M与N的关系为________．
答案 M＝N
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9．已知角α的终边经过点P(8a,15a)(a≠0)，则tanα＋secα的值是________．
解析 r＝＝17|a|，
当a>0时，r＝17a，tanα＝，secα＝＝，
∴tanα＋secα＝4.
当a<0时，r＝－17a，tanα＝，secα＝＝－，
∴tanα＋secα＝－.
∴tanα＋secα＝4或tanα＋secα＝－.
答案 －或4
10．已知α的终边上一点P(2，－)，求角α的六个三角函数值．
解析 r＝3，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－，
cotα＝－，secα＝，cscα＝－.
11．已知θ的终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝，求sinθ和tanθ.
解析 cosθ＝＝>0，∴x>0，∴x＝1.
∴sinθ＝＝＝，tanθ＝＝3.
12．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝.
解析 (1)若使函数有意义，
则需满足
即即x≠，k∈Z.
∴函数的定义域为.
(2)若使函数有意义，则满足cosx≥0，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为，k∈Z.
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13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
解析 P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝，又sinθ＝－，∴＝－，
∵sinθ<0，∴y<0解得y＝－8.
答案 －8
双基限时练(三十)
基 础 强 化
1．已知sinθ＝，且<θ<，则cos的值为( )
A. B.
C．± D．±
解析 ∵sinθ＝>0，<θ<，
∴θ∈，∴∈.
∴cosθ＝－，∴cos＝ ＝.
答案 A
2．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15° B．2cos2－1
C. D.
解析 ＝tan45°＝.故选D.
答案 D
3．已知2sinθ＝1＋cosθ，则cot的值为( )
A. 2 B.
C.或0 D. 2或0
解析 当cosθ＝－1时，经检验满足2sinθ＝1＋cosθ，
∴sinθ＝0，cot＝＝0；
当cosθ≠－1时，tan＝＝.
∴cot＝2.故选D.
答案 D
4．若θ是第二象限的角，且cos<0，则的值是( )
A．－1 B.
C．1 D．2
解析 θ是第二象限的角，且cos<0，
∴2kπ＋π<<2kπ＋π，k∈Z.
∴cos>sin.
＝
＝＝－1，故选A.
答案 A
5．化简，其结果为( )
A．－sin2α B.sin2α
C．－2sin2α D. 2sin2α
解析 原式＝＝
＝＝－sin2α.
答案 A
6．化简的结果为( )
A．tan B．tan2x
C．cotx D．－tanx
解析 原式＝＝tan(－x)＝－tanx.
答案 D
7．设－3π<α<－，则化简的结果为________．
解析 ∵－3π<α<－，∴－<<－，
＝ ＝－cos.
答案 －cos
8．已知sinα＝－，且α∈，则 sin＝__________，cos＝________，tan＝________.
解析 ∵π<α<，∴cosα＝－.
∴<<，∴sin＝ ＝.
cos＝－＝－.
tan＝＝－4.
答案 － －4
能 力 提 升
9．函数y＝sinx·cosx＋3cos2x－的最大值为______．
解析 y＝sin2x＋3·－＝sin2x＋cos2x＝＝sin，∴y的最大值为.
答案
10．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π.求：
(1) tanθ；
(2) .
解析 (1)由tan2θ＝＝－2，
解得tanθ＝或tanθ＝－.
∵π<2θ<2π，则<θ<π，∴tanθ＝－.
(2)原式＝＝＝，
∴原式＝＝3＋2.
11．已知m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，0∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．
解析 |m＋n|＝
＝
＝2 ＝，
∴cos＝.
∵θ∈(π，2π)，
∴＋∈.
∴cos<0，
cos＝－ ＝－ ＝－.
12．已知函数f(x)＝2sincos＋2cos2－，α为常数．
(1)求函数f(x)的周期；
(2)若0≤α≤π时，求使函数f(x)为偶函数的α值．
解析 (1)f(x)＝sin(2x＋α)＋[cos(2x＋α)＋1]－
＝sin(2x＋α)＋cos(2x＋α)
＝2sin.
∴f(x)的周期T＝＝π.
(2)要使函数f(x)为偶函数，只需
α＋＝kπ＋，(k∈Z)，即α＝kπ＋，(k∈Z)．
∵0≤α≤π，∴α＝.
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13．已知sin2α＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析 ∵sin2α＝－cos＝，
∴cos2＝＝＝.
答案 A
双基限时练(三十一)
基 础 强 化
1．cos75°－cos15°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 cos75°－cos15°＝－2sin45°·sin30°＝－.
答案 D
2．cos37.5°·cos22.5°的值是( )
A.＋ B.
C.(－) D.(＋)
解析 cos37.5°·cos22.5°＝(cos60°＋cos15°)
＝.
答案 D
3.的值为( )
A. B.
C. D．－
解析 原式＝
＝·＝－.
答案 D
4．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值为( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝＋
[cos60°－cos(－40°)]
＝
＝＝.
答案 A
5．cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析 原式＝(cos20°＋cos100°)－cos40°＋
＝2cos60°cos40°－cos40°＋
＝cos40°－cos40°＋＝.
答案 B
6.的化简结果为( )
A．tanα B．tan2α
C．cotα D．cot2α
解析 ＝＝tan2α.
答案 B
7．sin10°＋sin50°－sin70°＝________.
解析 原式＝2sin30°cos20°－cos20°
＝cos20°－cos20°＝0.
答案 0
8．函数y＝sin·sinx的最大值为________．
解析 y＝－
＝－cos＋.
∴y的最大值为.
答案
能 力 提 升
9．化简sin220°＋cos280°＋sin20°·cos80°＝________.
解析 原式＝＋＋(sin100°－sin60°)
＝1－(cos40°＋cos20°)＋
＝1－cos30°cos10°＋cos10°－
＝1－＝.
答案
10．求值cos40°·cos80°＋cos80°·cos160°＋cos40°·cos160°.
解析 原式＝cos80°(cos40°＋cos160°)＋
[cos(160°＋40°)＋cos(160°－40°)]
＝2cos80°cos100°·cos60°＋cos200°－
＝cos80°·cos100°－cos20°－
＝(cos180°＋cos20°)－cos20°－
＝－＋cos20°－cos20°－
＝－.
11．已知sinα＋sinβ＝sinαsinβ，
求证：2＝1.
证明 ∵sinα＋sinβ＝sinαsinβ，
∴2sincos＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
∴－4sincos
＝－
＝2.
∴cos2－2cossin＋sin2＝1.
∴2＝1.
12．求函数f(x)＝sinx的最小正周期与最小值．
解析 f(x)＝sin
＝sinx·2cossin
＝－sinxcos
＝－
＝－sin＋.
∴函数f(x)的最小正周期为π，f(x)的最大值为，最小值为－.
能 力 提 升
13．若cosxcosy＋sinxsiny＝，sin2x＋sin2y＝，则sin(x＋y)＝________.
解析 依题意，得cos(x－y)＝，2sin(x＋y)cos(x－y)＝，
∴sin(x＋y)＝.
答案
双基限时练(四)
基 础 强 化
1．若θ是第二象限角，则( )
A．sinθ<0 B．cosθ<0
C．tanθ>0 D．cotθ>0
解析 θ为第二象限角，则sinθ>0，cosθ<0，
tanθ<0，cotθ<0.
答案 B
2．y＝＋＋＋的值域是( )
A．{－2,4} B．{－2,0,4}
C．{－2,0,2,4} D．{－4，－2,0,4}
解析 若x是第一象限角，则y＝4；
若x是第二象限角，则y＝－2；
若x是第三象限角，则y＝0；
若x是第四象限角，则y＝－2.
答案 B
3．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵点P在第三象限，∴tanα<0，cosα<0.
∴α是第二象限角．
答案 B
4．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在( )
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限或x轴上 D．第一、三象限或x轴上
解析 由题意可知，cosθ≥0，tanθ≤0，∴θ的终边在第四象限或x轴的正半轴上，即2kπ－<θ≤2kπ，k∈Z.
∴kπ－<≤kπ，k∈Z，
∴的终边在第二、四象限或x轴上．
答案 C
5．已知tanα>0，且sinα＋cosα>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 ∵tanα>0，∴α是第一或第三象限角，
∵sinα＋cosα>0，∴α是第一象限角．
答案 A
6．α是第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( )
A．sin B．－cos
C．－tan D．sin2α
解析 ∵α是第四象限角，∴是第二象限或第四象限角，∴sin与－cos的符号不确定，－tan>0.2α是第三象限或第四象限或y轴负半轴上的角，∴sin2α<0.
答案 D
7．点P(tan2 014°，cos2 014°)位于第________象限．
解析 ∵2 014°＝5×360°×＋214°，214°是第三象限的角，
∴tan2 014°>0，cos2 014°<0，
故点P位于第四象限．
答案 四
8．三角函数式tan53°·sin330°·cos235°的符号是____________．
解析 53°是第一象限角，∴tan53°>0；330°是第四象限角，
∴sin330°<0；235°是第三象限角，∴cos235°<0，
∴tan53°·sin330°·cos235°>0.
答案 正号
能 力 提 升
9．函数y＝＋的定义域为________．
解析 要使函数有意义，需
得
解之得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数的定义域是.
答案
10．判断下列各式的符号：
(1)α是第四象限角，sinα·tanα；
(2)sin3·cos4·tan.
解析 (1)∵α是第四象限角，
∴sinα<0，tanα<0.
∴sinα·tanα>0.
(2)∵<3<π，π<4<，
∴sin3>0，cos4<0.
∵－＝－6π＋，
∴tan>0.
∴sin3·cos4·tan<0.
11．若α是第三象限角，且＝－cos，求所在象限．
解析 ∵α是第三象限角，
∴是第二或第四象限角．
∵＝－cos，
∴cos≤0，∴是第二象限角．
12．已知sinθ<1且2cosθ<1，则θ是第几象限角．
解析 ∵sinθ<1且2cosθ<1，
∴sinθ>0，cosθ<0，
∴θ是第二象限角．
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13．cosθ·tanθ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析 cosθ·tanθ<0，∴或
∴θ是第三或第四象限角．
答案 C
双基限时练(五)
基 础 强 化
1．下列判断中错误的是( )
A．α一定时，单位圆的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和π＋α具有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
解析 终边相同的角的三角函数线相同，反过来，三角函数线相同，角不一定相等．故B选项错．
答案 B
2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为( )
A. B.
C. D.或
解析 由于正、余弦线的长度相等、符号相异，故角α的终边在第二、四象限，结合三角函数线可知，D正确．
答案 D
3．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是( )
A.∪ B.
C.∪ D.
解析 在单位圆上作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知，应选D.
答案 D
4．利用正弦线比较sin1，sin1.2, sin1.5的大小关系，有( )
A．sin1>sin1.2>sin1.5
B．sin1>sin1.5>sin1.2
C．sin1.5>sin1.2>sin1
D．sin1.2>sin1>sin1.5
解析 ∵0<1<1.2<1.5<，如图，
∴sin1答案 C
5．若0≤α＜2π，且sinα＜，cosα＞.利用三角函数线，得到α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
解析 如图所示，双线阴影部分即为所求．
答案 D
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos＝cos；
③tan>tan；④sin>sin.
其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 由正弦、余弦、正切的三角函数线可知②④正确．
答案 B
7．如果MP和OM分别是的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是________．(把正确命题的序号都填上)
①MP＜OM＜0 ②MP＜0＜OM
③OM＜0＜MP ④OM＜MP＜0
解析 ∵π是第二象限角，∴sin>0，cos<0.
∴OM<0答案 ③
8．在0到2π内，使cosα≤－的α的取值范围是________．
解析 作直线x＝－交单位圆于P、P′，
∵cosα≤－，
∴α的终边在如图阴影部分，∴≤α≤.
答案
能 力 提 升
9．函数y＝＋的定义域是________．
解析 由sinx≥0得，
2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，①
由cosx≥得，
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，②
由①②可得2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
答案
10．画出角－π的正弦线、余弦线和正切线．
解析 先找出角－π的终边位置，
∵－π＝－4π－，
∴－π的终边与－的终边相同．
它与单位圆的交点为P，由P向x轴作垂线，垂足为M，过单位圆与x轴正向的交点A作圆的切线，与角α终边反向延长线交于T，如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．
(1)sinx≥；
(2)cosx≤；
(3)tanx≥－1；
(4)sinx≤－且cosx≤－.
解析 (1)∵sinx≥，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)∵cosx≤，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(3)∵tanx≥－1，x≠kπ＋，k∈Z，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ－≤x<2kπ＋或2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}，即{x|kπ－≤x(4)∵sinx≤－，cosx≤－，由下图可知，
x的取值集合为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
12．若b，c的大小．
解析 如图所示，，，分别是角α的正弦线、余弦线、正切线，
在△OMP中有OM>OP－MP，
可得cosx>1－sinx.
又AT>OA>OM，即tanx>1>cosx，
于是tanx>cosx>1－sinx.
又函数y＝2x为增函数，
∴21－sinx<2cosx<2tanx.
∴a品 味 高 考
13．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
解析 如图，根据余弦线的定义可知α的余弦线是，进而可知角α的终边和x轴正半轴或负半轴重合时，余弦线是单位长度的有向线段，故选择A.
答案 A
双基限时练(六)
基 础 强 化
1．已知tanα＝－，α为第二象限角，则cosα的值等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析 tanα＝－，α为第二象限角，
∴cosα＝－＝－.
答案 D
2．化简的结果是( )
A．cos160° B．－cos160°
C．±cos160° D．±|cos160°|
解析 ＝＝|cos160°|＝－cos160°.
答案 B
3．设0<α<π，sinα＋cosα＝，则的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝.
∴2sinαcosα＝－<0.
∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0.
∴1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝.
∴sinα－cosα＝.
∴＝＝＝－.
答案 C
4．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 由于tanθ＝2，sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ
＝＝
＝＝.
答案 D
5．角A为△ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝，则这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
解析 由sinA＋cosA＝两边平方得
sinA·cosA＝－<0.
∵角A为△ABC的一个内角，
∴0知sinA>0，cosA<0，
∴∴△ABC为钝角三角形．
答案 B
6．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析 sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.
答案：A
7．已知＝－，则的值为________．
解析 ∵＝，∴＝.
答案
8．若f(tanx)＝sinxcosx，则f的值是________．
解析 解法1 ∵f(tanx)＝sinxcosx＝＝，
∴f(x)＝.
∴f＝＝.
解法2 令tanx＝，则＝，∴sinx＝cosx.
由
解得cos2x＝.
∴f(tanx)＝sinxcosx＝cosx·cosx＝cos2x＝×＝.
答案
能 力 提 升
9．若1＋sinθ＋cosθ＝0成立，则①θ不可能是第一象限角，②θ不可能是第二象限角，③θ不可能是第三象限角，④θ不可能是第四象限角．其中说法正确的是________．
解析 由于1＋sinθ＋cosθ＝0，得sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＝－1，∴sinθ≤0，cosθ≤0，θ的终边可以落在第三象限、x轴负半轴和y轴负半轴．故说法正确的是①②④.
答案 ①②④
10．已知tanα＝，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α.
解析 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝＝＝.
11．求证：＝.
解析 解法1 右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
∴等式成立．
解法2 左边＝＝，
右边＝＝＝＝＝，
∴左边＝右边，等式成立．
解法3 ∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，
∴要证原等式成立，
只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立．
而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，
即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，
∴等式成立．
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别为sinα和cosα，且α∈(0,2π)．
(1)求＋的值；
(2)求m的值；
(3)求方程的两根及此时的α值．
解析 ∵sinα和cosα是方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根，
∴sinα＋cosα＝，sinα·cosα＝.
(1)原式＝＋
＝－
＝sinα＋cosα＝.
(2)∵sinα＋cosα＝，
∴1＋2sinαcosα＝.
∴sinαcosα＝＝，∴m＝.
(3)由sinα＋cosα＝，sinαcosα＝可知，
sinα>0，cosα>0，
∴或
∴α＝或α＝.
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13．已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ∵α是第二象限角，∴cosα＝－＝－＝－.
答案 A
双基限时练(七)
基 础 强 化
1．sin＋cos的值为( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝－sin＋cos
＝－sin＋cos＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin－cos＝－.
答案 D
2．sin1680°＋tan2010°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 sin1680°＋tan2010°
＝sin(4×360°＋240°)＋tan(5×360°＋210°)
＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋30°)
＝－sin60°＋tan30°＝－＋＝－.
答案 D
3．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sinα
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sinα
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析 cos(－α＋β)＝cos(α－β)．故B选项错．
答案 B
4．已知cos(3π－α)＝－，α是第四象限角，则sin(－α－π)的值为( )
A. B．－
C．± D．±
解析 ∵cos(3π－α)＝－，∴cosα＝.
∵α是第四象限角，∴sinα＝－.
∴sin(－α－π)＝sinα＝－.
答案 B
5．已知tan(α－π)＝－3，则的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析 tan(α－π)＝－3，则tanα＝－3.
＝＝＝＝－2.
答案 B
6．已知A＝＋(k∈Z)，则由A的值构成的集合为( )
A．{－1,1，－2,2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝＋＝－2.
答案 C
7．已知cos＝，则cos＝________.
解析 cos＝cos
＝－cos＝－cos＝－.
答案 －
8．化简：＝______.
解析 原式＝＝－cosθ.
答案 －cosθ
能 力 提 升
9．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 014)＝2，则f(2 015)＝________.
解析 ∵f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝2，
∴f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)
＝asin[π＋(2 014π＋α)]＋bcos[π＋(2 014π＋β)]
＝－[asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)]
＝－2.
答案 －2
10．求下列函数的值：
(1)sin；
(2)cos(－1 035°)；
(3)sin315°sin(－1 260°)＋cos390°sin(－1 020°)．
解析 (1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos(－1 035°)＝cos1 035°＝cos(1 080°－45°)＝cos45°＝.
(3)sin315°sin(－1 260°)＋cos390°sin(－1 020°)
＝sin(360°－45°)sin(－1 080°－180°)＋cos30°·sin(－1 080°＋60°)
＝－sin45°·0＋cos30°·sin60°＝.
11．已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
求的值．
解析 ∵sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
∴－sinα＝2cosα.
∴tanα＝－2.
＝
＝＝＝－.
12．求证：＝－tanα.
证明 左边＝
＝＝－
＝－tanα＝右边．
∴等式成立．
品 味 高 考
13．cos300°＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 cos300°＝cos(－60°)＝cos60°＝.
答案 C
双基限时练(八)
基 础 强 化
1．已知cos＝，则sinα的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 cos＝－sinα，∴sinα＝－.
答案 D
2．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B.
C. D．－
解析 ∵－＝.
∴cos＝cos
＝－sin＝－.
答案 A
3．已知cosα＝，α是第四象限角，则cos的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵α是第四象限角，∴sinα＝－.
cos＝cos＝sinα＝－.
答案 D
4．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin150°)的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 f(sin150°)＝f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°
＝－cos60°＝－.
答案 B
5．已知tanθ＝2，则＝( )
A．2 B．－2
C．0 D.
解析 原式＝＝＝＝－2.
答案 B
6．已知sin＝，则cos的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析 ∵－＝.
∴cos＝cos
＝－sin＝－.
答案 B
7．若cos(π＋α)＝－，则sin＝________.
解析 cos(π＋α)＝－cosα，∴cosα＝.
sin＝－cosα，∴sin＝－.
答案 －
8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°＝________.
解析 设A＝sin21°＋sin22°＋…sin289°＋sin290°，
则A＝cos289°＋cos288°＋…＋cos21°＋sin290°
＝cos21°＋cos22°＋…cos289°＋sin290°.
∴2A＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＋2.
∴2A＝89＋2＝91.
∴A＝45.5，
∴sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＋sin290°＝45.5.
答案 45.5
能 力 提 升
9．cos＝－，则是第________象限角(设α是第二象限角)．
解析 由cos＝－，得
cos＝－，
即cos＝－＝－，
∴cos<0，即为第二、三象限角．
∵α为第二象限角，
∴为第一、三象限角．
∴为第三象限角．
答案 三
10．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求
sin3－cos3的值．
解析 ∵sin(5π－θ)＋sin＝，
∴sinθ＋cosθ＝.
∴sin3－cos3＝cos3θ＋sin3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cosθ)＝.
11．若sinθ＝，求＋
的值．
解析 cos(π－θ)＝－cosθ，
sin＝sin＝－sin＝－cosθ，
cos(2π－θ)＝cosθ，
cos(π＋θ)＝－cosθ，
sin＝cosθ，
sin＝sin
＝－sin＝－cosθ.
∴原式＝＋
＝＋＝＝＝6.
12．化简：
(1)＋
；
(2)cos＋cos(k∈Z)．
解析 (1)原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.
(2)当k＝2n，n∈Z时，
原式＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝cos＋cos
＝2cos；
当k＝2n＋1，n∈Z时，
原式＝cos[(2n＋1)π＋＋α]cos
＝cos＋cos
＝－cos－cos
＝－2cos.
品 味 高 考
13．已知sin＝，那么cosα＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 利用诱导公式化简已知条件即可．sin＝cosα，故cosα＝，故选C.
答案 C
双基限时练(九)
基 础 强 化
1．正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]，当y取得最小值时，x的值为( )
A. B．π
C. D．2π
解析 由正弦函数的图象知，当x＝时，y取得最小值－1，故选C.
答案 C
2．下列函数图象相同的是( )
A．y＝sinx与y＝sin(π＋x)
B．y＝sin与y＝sin
C．y＝sinx与y＝sin(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sinx
解析 根据诱导公式，y＝sin(2π＋x)＝sinx，故选D.
答案 D
3．已知函数f(sinx)＝x，x∈，则f的值为( )
A．sin B.
C. D.
解析 ∵x∈，∴f＝f＝.
答案 D
4．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx|
解析 ∵图象关于y轴对称，且当x>0时，y＝－sinx.
答案 C
5．y＝lgx与y＝sinx的图象交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 在同一坐标系中作出y＝lgx与y＝sinx的图象，如图所示．
由图象可知，它们有三个交点．
答案 D
6．函数y＝sinx与函数y＝sin(－x)的图象关于________对称．( )
A．原点 B．x轴，y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
解析 y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，
∴y＝sinx与y＝sin(－x)的图象关于y轴对称．
∵y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，
y＝sin(－x)＝－sinx，
∴y＝sinx与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称．
答案 B
7．函数y＝sinx，x∈时，y的取值范围是________．
答案
8．若函数y＝2sinx的图象和直线y＝－2围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积为________．
解析 作出y＝2sinx，x∈与y＝－2的图象，利用割补法可知，该封闭图形的面积S＝4π.
答案 4π
能 力 提 升
9．从函数y＝sinx，x∈上的图象上看，对应函数值sinx＝－的x的个数为________．
解析 如图所示，直线y＝－与y＝sinx在上有2个交点．
答案 2
10．作出函数y＝sin＋1在上的图象．
解析 列表：
x－
0
π
2π
x
y＝sin＋1
1
2
1
0
1
描点，连线得函数y＝sin＋1的图象，如图所示．
11．利用“五点法”作函数f(x)＝1－sinx的图象，并利用图象解不等式f(x)<.
解析 列表
x
0
π
2π
y
1
0
1
2
1
f(x)的图象如图所示
从图象中可知，f(x)＝时，即1－sinx＝，sinx＝，
∴x＝或x＝.
∴f(x)<的解集是，k∈Z.
12．求函数f(x)＝ ＋lg(25－x2)的定义域．
解析 由题意可知
作出函数y＝sinx的图象
满足sinx－≥0的x的集合为(k∈Z)．
又25－x2>0，即－5故该函数的定义域为∪.
品 味 高 考
13．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
解析 画出函数y＝|sinx|的图象易知选C.
答案 C
