【状元之路】2014-2015学年高中数学人教B版必修4阶段检测卷：第三章+三角恒等变换

阶段检测试题三
一、选择题(共10小题，每题5分，共50分)
1．函数f(x)＝sin4－sin4是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解析　f(x)＝sin4－cos4
＝sin2－cos2
＝－cos＝sin2x.
∴f(x)是周期为π的奇函数．
答案　A
2．a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，则tan＝(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
解析　∵a·b＝，∴cos2α＋sinα(2sinα－1)＝.
∴1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝，∴sinα＝.
∵α∈，∴tanα＝－.
∴tan＝＝.
答案　C
3．已知sin＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　sin＝，∴cosα＝.
cos(π－2α)＝－cos2α＝－(2cos2α－1)＝.
答案　A
4．若f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，则a的值为(　　)
A．4 B．－3
C．－4 D．－6
解析　f(x)＝1＋cos2x＋sin2x＋a
＝2sin＋a＋1.
∵x∈，∴≤2x＋≤.
∴当x＝时，f(x)有最小值为a，∴a＝－4.
答案　C
5．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为(　　)
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
解析　f(x)＝－2sin2x＋2sinx＋1，
设t＝sinx∈[－1,1]，
∴y＝－2t2＋2t＋1，t∈[－1,1]，
当t＝时，ymax＝－＋2＝.
当t＝－1时，ymin＝－2－2＋1＝－3.
答案　C
6．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值是(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
解析　(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，更一般的结论：若α＋β＝45°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
答案　C
7．已知sin＝，则sin2x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　sin2x＝cos
＝cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝.
答案　D
8．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．aC．a解析　a＝sin59°，b＝sin61°，c＝sin60°，
∴a答案　C
9．已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a、b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最小值，则函数y＝f是(　　)
A．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
解析　f(x)＝sin(x－φ)，
则f(x)min＝－＝f＝(a－b)．
∴b＝－a.∴f(x)＝asin.
∴f＝asinx.
∴f是奇函数且一个对称中心为(π，0)．
答案　D
10．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析　由题意可知sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC是等腰三角形或是直角三角形．
答案　D
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝1－2sin2的最小正周期是________．
解析　y＝1－2sin2＝cos，
∴T＝＝π.
答案　π
12．设sin2α＝－sinα，α∈ ，则tan2α的值是____．
解析　∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－.
又∵α∈，∴sinα＝，tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝.
答案　
13．已知sin＋cos＝，则sinθ＝________，cos2θ＝________.
解析　2＝，
∴1＋sinθ＝，∴sinθ＝.
cos2θ＝1－2sin2θ＝.
答案　 　
14．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．
解析　f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cosφ－sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ－φ)
＝sinx，
∴f(x)的最大值为1.
答案　1
三、解答题(共4个小题，15、16、17题12分，18题14分)
15．(12分)已知cosθ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
解析　因为cosθ＝，θ∈(π，2π)，
所以sinθ＝－，tanθ＝－.
所以sin
＝sinθcos－cosθsin
＝－×－×＝－；
tan＝＝＝.
16．(12分)已知函数f(x)＝2sinx－2cosx.
(1)若x∈[0，π]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)＝0，求的值．
解析　(1)f(x)＝2sinx－2cosx
＝4＝4sin.
又∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤.
∴－2≤4sin≤4.
∴f(x)max＝4，f(x)min＝－2.
(2)由于f(x)＝0，所以2sinx＝2cosx，
解得tanx＝.
＝＝＝
＝2－.
17．(12分)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间[0,2]上的单调性．
解析　(1)f(x)＝2＝2·sin＋.∵f(x)的最小正周期为π，
∴＝π，故ω＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝2sin＋.令－＋2kπ<2x＋≤＋2kπ，解得－＋kπ18．(14分)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝，函数f(x)＝a·b＋1.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)当f(α)＝，且<α<时，求sin的值．
解析　依题意，f(x)＝(cosx，sinx)·＋1
＝cosx＋sinx＋1＝sin＋1.
(1)∵－1≤sin≤1，
∴0≤sin＋1≤2.
∴函数f(x)的值域为[0,2]．
(2)f(α)＝sin＋1＝?sin＝.
∵<α<，∴<α＋<π.
∴cos＝－，
∴sin＝sin＝2·sin·cos
＝2××＝－.