2022-2023学年河北省邯郸市永年二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省邯郸市永年二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2. 从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发次，火车发次，轮船发次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )
A. B. C. D. 以上都不对
3. 已知函数，则的极小值为( )
A. B. C. D.
4. 目前，国际上常用身体质量指数来衡量成人人体胖瘦程度以及是否健康某公司对员工的值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为已知该公司男、女员工的人数比例为：，为了解员工肥胖原因，现从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为( )
A. B. C. D.
5. 某人用字母，，各个和个字母拼写英语单词“”，那么他写错这个英语单词的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局必须分出胜负，且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则( )
A. B. C. D. 或
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若直线为曲线：与曲线：的公切线，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
10. 设，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D.
11. 已知函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，；当时，
B. 函数的减区间为，增区间为
C. 函数的值域
D. 恒成立
12. “新高考”后，普通高考考试科目构成实“”模式“”就是考生在思想政治、地理、化学、生物这门科目中选择门作为再选科目甲、乙两名同学各自从这门科目中任意挑选两门科目学习，设表示事件“甲乙两人所选科目恰有一门相同”，表示事件“甲乙两人所选科目完全不同”，表示事件“甲乙两人所选科目完全相同”，表示事件“甲乙两人均选择生物”，则( )
A. 与为对立事件 B. 与为互斥事件
C. 与相互独立 D. 与相互独立
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知某随机变量的概率分布列如表，其中，，则随机变量的数学期望 ．
14. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为和现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为______ ．
15. 如图为我国数学家赵爽约世纪初在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．
16. 已知函数，其中是自然对数的底数，经研究：“在平面直角坐标系中，轴是函数的图象的渐近线”若方程有六个互不相等的实数解，则的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知．
若其展开式中第项和第项的二项式系数相等，求；
若展开式中存在常数项，求的最小值．
18. 本小题分
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．结果须用分数作答
求甲射击次，至少次未击中目标的概率；
求两人各射击次，甲恰好击中目标次且乙恰好击中目标次的概率．
19. 本小题分
已知函数在区间上的最小值为，最大值为．
求实数，的值；
若函数有且仅有三个零点，求实数的取值范围．
20. 本小题分
某学习小组有个男生和个女生共人．
将此人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？
将此人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？
从中选出名男生和名女生分别承担种不同的任务，有多少种选派方法？
21. 本小题分
我国脱贫攻坚经过年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：，，，，，，，，，，已知质量指标不低于分的产品为优质品．
从这件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为，求的分布列和数学期望；
根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若，则，，．
22. 本小题分
已知函数有且仅有两个零点，．
求实数的取值范围；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为函数在处的导数为，
所以，
所以．
故选：．
根据已知条件及函数在导数的定义即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，
从地到地每天汽车发次，故坐汽车有种走法，
从地到地每天火车发次，故坐火车有种走法，
从地到地每天轮船发次，故坐轮船有种走法
综上，从地到地不同的走法数为种；
故选：．
根据题意，从地到地的走法分为三类，分别计算出三类走法的方法种数，再相加求出不同的走法，选出正确答案
本题考查分类计数原理的应用，解题的关键是理解题意，将计数问题分为三类研究，求出不同走法的种数．
3.【答案】
【解析】解：由题意得函数的定义域为，
，则，
令，则，解得或不合题意，舍去，
单调递减 极小值 单调递增
由此表可知，当时，的取得极小值为．
故选：．
利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：记事件为“选到的员工为肥胖者”，事件为“选到的员工为男性”，
则，，
则．
故选：．
记事件为“选到的员工为肥胖者”，事件为“选到的员工为男性”，求出、的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为用字母，，各个和个字母拼写一个英语单词，
共有种不同的写法，
而写对的可能只有种，
故所求概率为．
故选：．
利用排列组合知识得出英语单词的不同写法的总数，利用古典概型概率公式计算即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
，
即，故，
而，
则实数，
故选：．
由题意，，，故，求得的最大值，可得的范围．
本题主要考查两用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的最值，二次函数的性质，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：随机变量可能的取值为，．
，
，
故的分布列为：
故E，
由，解得或．
故选：．
由三局两胜的比赛制度可得随机变量可能的取值为和，分别求出概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式计算求得的值．
本题考查离散型随机变量的分布列相关知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，
同理可得，，
令，则，
当时，，当时，，
函数的递减区间为，递增区间为，
，
又，，，则，，
，
又，，则，
故．
故选：．
由题意得，，，构造函数，求导得到其单调性，结合，，，可得，，由推出，结合函数单调性求出，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：曲线，则，曲线，则，
设直线与曲线的切点坐标为，则切线方程为，
设直线与曲线的切点坐标为，
则切线方程为，，，
或，直线的斜率为或．
故选：．
根据导数的几何意义即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
令得，故A不正确；
令得，因为，因此，故B正确；
对于，因为的展开式中二项式系数最大的项是第项，故C不正确；
对于，因为的展开式中，
所以，，因此，，，故D正确．
故选：．
利用赋值法以及二项式定理求出对应系数进行判断即可．
本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
对于：当时，，当时，，即可判断是否正确；
对于：求导得，令，，可得函数的单调区间，即可判断是否正确；
对于：可知，可判断是否正确；
对于：，令，只需证明，即可判断是否正确．
【解答】
解：对于：当时，，故
当时，，故，故A正确；
对于：，
令可得，有，令，得，
可知函数的减区间为，增区间为，故B错误；
对于：由上可知，而当时，，故函数的值域，故C正确；
对于：，
令，，
有，，
令可得，令可得，
故函数的增区间为，减区间为，
可得，故，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：甲、乙两名同学所选科目共有“所选科目完全不同”，“所选科目恰有一门相同”，“所选科目完全相同”这三种情况，
故A与为互斥事件但不对立，故A错误；
与为互斥事件，故B正确；
易知，，，，，，故C错误，D正确．
故选：．
根据互斥事件、对立事件的概念即可判断，；
再利用概率的计算公式求出，，，即可判断，．
本题主要考查互斥事件、对立事件的概念，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，即
故答案为：
根据概率的性质，得出，再利用期望公式即可得到结论．
本题考查概率的性质，考查随机变量的数学期望，解题的关键是利用概率的性质．
14.【答案】
【解析】解：令表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，
显然，，是样本空间的一个划分，且有，，由于，，
设，
由全概率公式得：，
而，故．
故答案为：．
令表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设，由全概率公式即可求解．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：先确定，有种方法，因为共有四种颜色，故A与，与至少有一对同色，
则它们的涂色方法共有：种方法，
故共有种方法．
故答案为：．
利用计数原理，先确定中间的颜色，然后按照与，与是否同色，以及同色的对数确定涂色方法数，最后按乘法计数原理求解．
本题考查计数原理的应用，同时考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
则，令，解得或，
当或时，；当时，，
则在和上单调递减，在上单调递增，
当时，取极小值；当时，取极大值，
当或时，．
作出的大致图象，如图，
设，则，设的两根为，，可知，，且，
有
得，即的取值范围为．
故答案为：．
利用导数研究函数的性质，作出的大致图象，设，则，设的两根为，，可知，，且，列式求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，；
展开式通项为，
令，可得，
时，有最小正整数值．
【解析】由题意，由组合数的性质可得结果；
展开式通项为，令，即可求得答案．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，二项式的最大项，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：记“甲连续射击次至少有次未击中目标”为事件，
由题意，射击次，相当于次独立重复试验，故 ．
记“甲射击次，恰有次击中目标”为事件，
“乙射击次，恰有次击中目标”为事件，则，．
由于甲、乙射击相互独立，故 ．
【解析】先由条件利用互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验中恰好发生次的概率公式求得三次全都击中目标的概率，再用减去此概率，即得所求．
分别求出“甲射击次，恰有次击中目标”的概率、“乙射击次，恰有次击中目标”的概率，再把这两个概率相乘，即得所求．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验中恰好发生次的概率公式，解答本题关键是判断出所研究的事件是那一种概率模型，属于基础题．
19.【答案】解：函数，则，
当时，令，可得或，
此时函数的增区间为，，的减区间为，
由，，
，，
因为函数在区间上的最小值为，最大值为，
则有，解得，；
当时，令，可得，
此时函数的减区间为，，的增区间为，
由，，
，，
因为函数在区间上的最小值为，最大值为，
则有，解得，．
综上所述，，或，；
当时，，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为；
当，时，，，
若函数有且仅有三个零点，实数的取值范围为．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与函数的最值问题，函数零点的理解和应用，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
求出，对的取值进行分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性，由最值列出方程组，求解即可；
利用中的结论，得到函数的最值与极值情况，然后由零点的定义求解即可．
20.【答案】解：根据题意，分步进行分析：
，将个男生全排列，有种排法，排好后有个空位，
，将名女生全排列，安排到个空位中，有种排法，
则一共有种排法；
根据题意，分种情况讨论：
，男生甲在最右边，有，
，男生甲不站最左边也不在最右边，有，
则有种排法；
根据题意，分步进行分析：
，在名男生中选取名男生，名女生中选取名女生，有种选取方法，
，将选出的人全排列，承担种不同的任务，有种情况，
则有种不同的安排方法．
【解析】按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解；
分男生甲在最右边和男生甲不站最左边也不在最右边两种情况，结合排列数公式，即可求解；
按照先选再排的方法，结合组合数和排列数公式，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
21.【答案】解：我国脱贫攻坚经过年奋斗，取得了重大胜利，为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：，，，，，，，，，，已知质量指标不低于分的产品为优质品，
因为质量指标分值不低于分的产品为优质品，所以优质品有件，
则，，，
所以的分布列如下：
故；
这件农产品的平均数为，
这件农产品的方差为，
由，可令，，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为，由题意可知，，
可得，
有，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求．
【解析】求出的取值和对应的概率可得分布列及期望；
求出这件农产品的平均数和方差，可得，，记这种产品的质量指标分值为，可知，再根据，有可得答案．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】解：因为，所以定义域为，
求导得，
令，
所以的增区间为，减区间为，
若函数有且仅有两个零点，
必须有，解得；
令，则有，
令，可得，
所以函数的减区间为，增区间为，
所以，
当时，有，
可得，
当时，，可得，
故若函数有且仅有两个零点，实数的取值范围为；
证明：由和中函数的单调性可知，
且有，，
由，
所以，
又由，
令，
求导得，
所以函数单调递增，
又由和，可得，可得，
由函数的单调性可得，
故有得证．
【解析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，依题意，即可得到，再利用导数证明即可；
由可得，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得到，即可得证．
本题考查了函数的零点，也考查了函数的导数的综合应用，属于中档题．
第1页，共1页