【状元之路】2014-2015学年高中数学人教B版必修4：模块检测试题

模块检测试题
一、选择题(共10小题，每题5分，共50分)
1．若tan(α－3π)>0，sin(－α＋π)<0，则α是(　　)
A．第一象限角　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析　由已知得tanα>0，sinα<0，∴α是第三象限角．
答案　C
2．函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象如图，则(　　)
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析　当x＝0时，y＝1，且|φ|<，
∴2sinφ＝1，∴sinφ＝，∴φ＝.
当x＝时，y＝0，∴sin＝0，
∴ω＋＝2π，∴ω＝2.故ω＝2，φ＝.
答案　C
3．将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝π
解析　将y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos的图象，再把所得图象向左平移个单位，
得到y＝cos的图象．
令x－＝kπ，k∈Z，则x＝2kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，x＝.
∴y＝cos的一条对称轴为x＝.
答案　C
4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析　(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴λa2＋(1－2λ)a·b－2b2＝0，
∴13λ＋3－6λ－2＝0，∴λ＝－.
答案　B
5．在坐标平面上直线l的方向向量e＝，点O(0,0)，A(1，－2)在l上的正射影分别为O1、A1，设＝λe，则实数λ＝(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
解析　λ＝＝－2.
答案　B
6．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析　将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律及向量数量积定义求解．
∵a·b＝0，且a，b是单位向量，
∴|a|＝|b|＝1.
又∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，
∴2c·(a＋b)＝c2＋1.
∵|a|＝|b|＝1且a·b＝0，∴|a＋b|＝.
∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．
又－1≤cosθ≤1，
∴0∴c2－2|c|＋1≤0.
∴－1≤|c|≤ ＋1.
答案　A
7．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析　由题可得△DEF∽△BEA且相似比为，即＝，故＝＋＝＋＝b＋a.
答案　C
8．已知α∈，tan(α－7π)＝－，则sinα＋cosα的值为(　　)
A．± B．－
C. D．－
解析　∵tan(α－7π)＝－，∴tanα＝－<0.
∵α∈，∴α∈.
∴sinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.
答案　B
9．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
解析　f(x)＝a·b＝(2，sinx)·(cos2x,2cosx)
＝2cos2x＋2sinxcosx
＝sin2x＋cos2x＋1
＝sin＋1.
∴T＝＝π.
答案　B
10．已知α，β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C. D.或
解析　由α，β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，可得sinα＝，sinβ＝，且0<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－，故α＋β＝.
答案　B
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．若向量a，b满足：(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角等于________．
解析　2a2－a·b－b2＝－4，
∴a·b＝－4.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
∴θ＝120°.
答案　120°
12．已知a＝(3,1)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则＝________.
解析　由题意得3cosα＝sinα，即tanα＝3，
∴＝＝.
答案　
13．设函数f(x)＝3sin的图象为C，有下列四个命题：
①图象C关于直线x＝－对称；②图象C的一个对称中心是；③函数f(x)在区间上是增函数；④图象C可由y＝－3sin2x的图象左平移得到．其中真命题的序号是________．
解析　∵f＝3sin＝－3，∴①正确；
f＝3sin＝3≠0，∴②错误；
f(x)＝－3sin，
令2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈Z
∴kπ＋∴f(x)的增区间为(k∈Z)，
∴③错误；
图象C可由y＝－3sin2x向右平移个单位得到，
∴④错误．
答案　①
14．在△ABC中，D是AB边上一点，若＝3，＝λ＋μ，则的值为________．
解析　∵＝3，∴＝，
＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
∴λ＝，μ＝，＝.
答案　
三、解答题(共4个小题，15、16、17题12分，18题14分)
15．(12分)已知函数f(x)＝2cos2－sinx.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．
解析　(1)∵f(x)＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos，
∴函数f(x)的周期为2π.
又∵－1≤cos≤1，
故函数f(x)的值域为[－1,3]．
(2)∵f＝，
∴1＋2cosα＝，即cosα＝－.
∵＝
＝＝，
又∵α为第二象限角，且cosα＝－，∴sinα＝.
∴原式＝＝＝.
16．(12分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，使它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为.
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
解析　(1)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝，
∴原式＝
＝＝2cos2α＝2·(－)2＝.
(2)·＝0，∴α－β＝.
∴β＝α－，∴sinβ＝sin＝－cosα＝，
cosβ＝cos＝sinα＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝·＋·＝.
17．(12分)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求cosφ的值．
解析　(1)∵a⊥b，a·b＝sinθ－2cosθ＝0，
即sinθ＝2cosθ.
又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)
＝cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ.
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又0<φ<，∴cosφ＝.
18．(14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．
解析　(1)由coscosφ－sinsinφ＝0，
得coscosφ－sinsinφ＝0，
即cos＝0.又|φ|<，∴φ＝.
(2)由(1)得，f(x)＝sin，
依题意，＝，∴T＝，∴ω＝3.
∴f(x)＝sin.
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin，
g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)．
从而，最小正实数m＝.