双基限时练(十五)
1．已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．3 B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2 D．3－Δx
答案 D
2．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x1处的导数
C．在区间[x0，x1]上的导数
D．在x处的平均变化率
答案 A
3．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为( )
A．0 B．1
C．c D．不存在
答案 A
4．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析 ＝
＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
答案 B
5．已知函数f(x)＝2x2的图象上点P(1,1)及邻近点Q(1＋Δx,1＋Δy)，则 ＝( )
A．4x B．4
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx) 2
解析 ＝ ＝ (4＋2Δx)＝4.
答案 B
6．某质点的运动方程是S＝t－(2t－1)2，则在t＝1 s时的瞬时速度为________．
解析 ΔS＝S(1＋Δt)－S(1)
＝[1＋Δt－(2＋2Δt－1)2]－[1－(2－1)2]
＝4(Δt)2－3Δt，
∴ ＝ (4Δt－3)＝－3.
答案 －3
7．函数y＝x2－2x＋3在2到之间的平均变化率为________．
解析 ＝＝.
答案
8．若f′(x0)＝2，则 ＝________.
解析
＝－·
＝－·f′(x0)＝－1.
答案 －1
9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
解析 1＝＝kOA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
又∵kBC>kAB>kOA，∴3>2>1.
答案 3>2>1
10．甲、乙二人慢跑的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人慢跑时，________跑得快；
(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，________跑得较快．
答案 乙 乙
11．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈[1,2]时，平均增长率的大小．
解 设f(x)＝2x在x∈[1,2]时的平均变化率为k1，则k1＝＝2，
设g(x)＝3x在x∈[1,2]时的平均变化率为k2，则k2＝＝6，
∵k1
12．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．
解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)
＝2a·Δx＋a(Δx)2，
∴f′(1)＝ ＝ (2a＋a·Δx)＝2a＝4
∴a＝2.
双基限时练(十六)
1．设f(x)＝，则 等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ＝ ＝
＝－ ＝－.
答案 C
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C．(，) D．(，)
解析 由导数的定义，知y′＝2x，∴tan＝1，y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝，则y0＝，故选D.
答案 D
3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析 由导数的定义知y′＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2.
∴a＝1.
答案 A
4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．h′(a)<0 B．h′(a)>0
C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定
答案 A
5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. 2 B. 1
C. D.
答案 C
6．函数f(x)＝－2x2＋3在点(0,3)处的导数是________．
答案 0
7．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
解析 从图中可知，切线的方程为＋＝1，
∴切线的斜率为－，∴f′(2)＝－.
当x＝2时，代入方程得y＝，f(2)＝，
∴f(2)＋f′(2)＝－＝.
答案
8．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________．
解析 由导数的定义可知y′＝2x，设P(x0，y0)，
∴y′|x＝x0＝2x0＝3，∴x0＝.
∴y0＝x＝，∴P的坐标为(， )．
答案 (，)
9．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析 ∵点M(1，f(1))是切点，在切线上，∴f(1)＝×1＋2＝.由切线的几何意义知，f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案 3
10．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 因为f′(1)＝ ＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－.所以所求的直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋4y－9＝0.
11．求双曲线y＝在点(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．
解 ∵y＝，
∴k＝ ＝
＝ ＝－.
∴当x＝时，k＝－4，∴切线斜率为k＝－4.
切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.
12．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解 (1)由解得或
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
∴y′＝
＝
＝ (Δx＋2x)＝2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6.
∴在点(－2,8)处的切线斜率为－4，切线方程为
y－8＝－4(x＋2)，即4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线斜率为6，切线方程为
y－13＝6(x－3)，即6x－y－5＝0.
双基限时练(十七)
1．已知f(x)＝excosx，则f′()的值为( )
A．eπ B．－eπ
C．－e D．以上均不对
答案 C
2．函数f(x)＝的导数是( )
A. B.
C. D.
答案 D
3．曲线y＝x3－4x2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝5x－4
C．y＝－5x＋6 D．y＝x－1
解析 y′＝3x2－8x，∴y′|x＝1＝－5.
∴切线方程为y－1＝－5(x－1)，∴y＝－5x＋6.
答案 C
4．已知点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )
A．[0，] B．[，]
C．[，π] D．[0，)∪[，π)
解析 ∵y′＝3x2－1≥－1.∴tanα＝3x2－1≥－1，
∴α∈[0，)∪[，π)．
答案 D
5．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A. B.
C．2 D．以上答案都不对
解析 ∵y＝x2，∴y′＝2x.
∵抛物线y＝x2的切线与直线x－y－2＝0平行的只有一条，且k＝1，∴y′＝2x＝1，∴x＝.
∴切点为(，)．该点到直线的距离为
d＝＝.
答案 B
6．已知f(x)＝x2＋2sinx，则f′(0)＝________.
解析 ∵f′(x)＝2x＋2cosx，
∴f′(0)＝2×0＋2cos0＝2.
答案 2
7．已知曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行直线y＝4x－1，则P点的坐标为________．
解析 f′(x)＝3x2＋1，直线y＝4x－1的斜率为4，
f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝1，或x0＝－1.
当x0＝1时，f(x0)＝0；
当x0＝－1时，f(x0)＝－4，
∴P点坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案 (1,0)或(－1，－4)
8．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
答案 －4
9．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
解析 ∵f(x)＝x3－f′(1)·x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1.
∴f′(1)＝1－2f′(1)＋1，f′(1)＝.
答案
10．在曲线y＝(x<0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．
解 由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x<0)相切的切点即为所求．
设切点P(x0，y0)，由y′＝－，得
k＝y′|x＝x0＝－，
又x＋2y－4＝0的斜率为－.
∴－＝－，∴x0＝，或x0＝－.
∵x<0，∴x0＝－，y0＝－＝－.
∴P(－，－)为所求．
11．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴可得切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.①
∵f′(x)＝4ax3＋2cx，
∴f′(1)＝4a＋2c.
∴4a＋2c＝1.②
由①②得a＝，c＝－.
∴f(x)＝x4－x2＋1.
双基限时练(十八)
1．设f(x)＝x＋(x<0)，则f(x)的单调减区间为( )
A．(－∞，－2) B．(－2,0)
C．(－∞，－) D．(－，0)
解析 f′(x)＝－＝＝
∵x<0，令f′(x)<0，得－答案 D
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
解析 f′(x)＝2－cosx>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.
答案 A
3．若函数f(x)＝ax＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．?a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．?a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．?a∈R，函数f(x)为奇函数
D．?a∈R，函数f(x)为偶函数
解析 当a＝1时，函数f(x)在(0,1)上为减函数，A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，B错；D选项中的a不存在，故选C.
答案 C
4．函数f(x)＝的单调增区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析 函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝()′＝＝>0，
∴f(x)的单调增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
答案 C
5．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 从f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，－1)(1，＋∞)是增函数，在(－1,1)是减函数，
∴当x<－1，或x>1时，f′(x)>0；
当－1∴x·f′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
答案 A
6．下列命题中正确的是________．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对于任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内的任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若x∈(a，b)，总有f′(x)<0，则在(a，b)内f(x)<0.
解析 ①y＝x3在x∈(－∞，＋∞)为增函数，而y′＝2x2≥0，故①错．②错．③正确．④由f′(x)<0能判断f(x)为减函数，但不能判定f(x)<0.
答案 ③
7．已知导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，请根据图象写出原函数y＝f(x)的递增区间是________．
解析 从图象可知f′(x)>0的解为－15，
即f(x)的递增区间为(－1,2)，(5，＋∞)．
答案 (－1,2)，(5，＋∞)
8．函数f(x)＝lnx－x2的单调增区间是________．
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x＝，
令f′(x)>0，即>0，解得0∴f(x)在(0,1)上为增函数．
答案 (0,1)
9．函数f(x)＝，若a＝f(3)，b＝f(4)， c＝f(5)，则a，b，c的大小关系是________．
解析 ∵f′(x)＝，∴当x>e时，f′(x)<0，即f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
答案 a>b>c
10．求证：函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明 证法1：设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵1∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，x－1>0，x－1>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1) >f(x2)．
∴f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证法2：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
∵x∈(1，＋∞)，∴f′(x)<0.
∴f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
11．若函数f(x)＝x3－ax2＋ (a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
解 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.
∴4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5,7]．
12．设函数f(x)＝ex－1－x－ax2，若a＝0，求f(x)的单调区间．
解 当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)的单调减区间是(－∞，0)，
单调增区间是(0，＋∞)．
双基限时练(十九)
1．函数y＝2x3－x2的极大值为( )
A．0 B．－9
C．0， D.
解析 y′＝6x2－2x，令y′>0，解得x<0，x>，
令y′<0，解得0∴当x＝0时，取得极大值0，故选A.
答案 A
2．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，
易判断当x＝1时，有极大值y＝3，
当x＝－1时，有极小值y＝－1.故选D.
答案 D
3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有极小值，且函数过原点，则该三次函数为( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
解析 当y′＝0时，x＝1，x＝3，
导函数可能为y′＝3(x2－4x＋3)，
∴原函数可能为y＝x3－6x2＋9x.
答案 B
4．已知函数y＝2x3－ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析 y′＝6x2－2ax＋36，
∵x＝2为极值点，
∴当x＝2时，y′＝6×4－2a×2＋36＝0，
解得a＝15，∴y′＝6x2－30x＋36，
令y′＝0，得x＝2，或x＝3，
∴当y′>0时，x<2或x>3，
当y′<0时，2∴递增区间是(－∞，2)，(3，＋∞)，故选B.
答案 B
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则( )
A．a>－ B．a>－1
C．a<－ D．a<－1
解析 y′＝ex＋a＝0有解，a＝－ex.
设大于零的极值点为x0，则ex0>1，
∴－ex0<－1，即a<－1.
答案 D
6．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极小值为________．
解析 y′＝6x2－30x＋36＝6(x2－5x＋6)
＝6(x－2)(x－3)．
当x<2时，y′>0；当2当x>3时，y′>0.∴当x＝3时有极小值．
∴极小值为f(3)＝2×33－15×32＋36×3－24＝3.
答案 3
7．若函数y＝x3＋x2＋ax在R上没有极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝x2＋2x＋a，
∵f(x)在R上没有极值点，
∴Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
答案 a≥1
8．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析 f(x)＝x3－2cx2＋c2x
f′(x)＝3x2－4cx＋c2，
∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，c＝2或c＝6.
当c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，
当2，f′(x)>0，
∴当x＝2时有极小值．
当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，
当20，
∴当x＝2时有极大值．
∴c＝6符合题意．
答案 6
9．设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)解 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.
∵函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，
则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，
即解得.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
∴f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取得极大值，f(1)＝5＋8c.
又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，
则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f (3)＝9＋8c，
∴对于任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9，
因此，c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝－2时， f′(x)＝2x－＝.
当x变化时，f′(x)和f(x)的值的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是f(1)＝1.
(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，
得g′(x)＝2x＋－.
若函数g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立．
即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，
也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．
令φ(x)＝－2x2，则φ′(x)＝－－4x.
当x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－－4x<0，
∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上为减函数，
∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0.
故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
11．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1·x2＝1，求实数a的值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，
从而x1x2＝＝1，所以a＝9.
(2)Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，
∴不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．
双基限时练(二十)
1．下列命题中真命题是( )
A．函数的最大值一定不是该函数的极大值
B．函数的极大值可以小于该函数的极小值
C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间内不存在最大值和最小值
答案 B
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1 B．0C．－1解析 设f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
若a＝0，则f′(x)＝3x2，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)是增函数，
∴无最小值，排除A、C.
当a＝时，f′(x)＝3(x2－)，
令f′(x)＝0，x＝±，
∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈(，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
∴当x＝时，f(x)有最小值，
排除D，故选B.
答案 B
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
解析 求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，
f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为
x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.
答案 A
4．已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是( )
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值又有最小值的奇函数
解析 求导可得f′(x)＝x＋sinx，
显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，
则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx，
当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，
所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．
所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．
答案 D
5．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)有最小值f(x0)
B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)
C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0)
D．函数f(x)不一定有最小值
解析 函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值， 又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．
答案 A
6．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为( )
A．[f(0)，f(5)] B.
C. D．[c，f(5)]
解析 令f′(x)＝6x－4＝0，x＝，当0时，f′(x)>0，得f为极小值，也是最小值．由选项知应选C.
答案 C
7．函数f(x)＝－x3＋3x在区间[－3,3]上的最小值是________．
解析 f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.
f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(3)＝－18，f(－3)＝18，
∴f(x)的最小值为－18.
答案 －18
8．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
解析 f′(x)＝2x＋2a.令f′(x)＝0，x＝－a，
∴若f(1)为最小值，只需－a≥1，∴a≤－1.
答案 (－∞，－1]
9．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝________.
解析 f′(x)＝4ax3－12ax2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.
当1当30，故x＝3是极小值点．
∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，又a>0，
∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，
最大值为f(4)＝b.
∴解得∴a＋b＝.
答案
10．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在区间[1，a]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax－3，
由f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，
则当x∈[1，＋∞)时，恒有f′(x)≥0，
即3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立．
由Δ＝4a2＋36>0，≤1且f′(1)＝－2a≥0，
解得a≤0.
(2)依题意得f′(－)＝0，即＋a－3＝0，a＝4，
则f(x)＝x3－4x2－3x，
令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，
解得x1＝－，或x2＝3，
而f(1)＝－6，f(3)＝－18，f(4)＝－12，
故f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.
11．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a>0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
因此f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2.
故a＝2，b＝－12，c＝0.
(2)f(x)＝2x3－12x，
f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)．
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
??
极大值
↘?
极小值
??
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8；
∴当x＝时，f(x)取得最小值为－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值为18.
12．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解 (1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵函数g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
∴f(x)的解析式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知，g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2.
令g′(x)＝0，解得x1＝－，或x2＝.
则当x<－或x>时，g′(x)<0，从而g(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数；
当－0，从而g(x)在[－，]上是增函数．
∴g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
∴g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，
最小值为g(2)＝.
双基限时练(二十一)
1．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )
A．1?2 B．1?π
C．2?1 D．2?π
解析 设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π()2·x＝(x3－12x2＋36x)(0此时底面周长为4，底面周长?高＝4?2＝2?1.
答案 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析 ∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案 D
3．正三棱柱体积是V，当其表面积最小时，底面边长为( )
A. B.
C. D．2
解析 设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，
∴S表＝2S底＋S侧＝x2·sin60°＋3·x·l
＝x2＋，
S′表＝x－＝0，
∴x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，y′<0；
当x∈(，V)时，y′>0，
∴当x＝时，表面积最小．
答案 C
4．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关数据统计显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一段路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时
C．8时 D．9时
解析 令y′＝－t2－t＋36＝0，即3t2＋12t－36×8＝0，解得t＝8或t＝－12(舍去)．
当00；
当t>8时，y′<0.
所以当t＝8时，函数有极大值，也是最大值．
答案 C
5．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
解析 设水箱的高为x cm(0∴V′＝12x2－960x＋120×120，解V′＝0，得x＝20或x＝60(舍去)．
当00；当20∴当x＝20时，V有最大值，且最大值为128 000 cm3.
答案 B
6．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m，那么围成的场地面积最大为________．
解析 设靠墙的一面长x m，围成的场地面积为y m2，
此时矩形的宽为>0.
∴y＝x·＝－x2＋20x.(0y′＝－x＋20，令y′＝0得x＝20，
当00；
当20∴x＝20时，y最大＝20×10＝200.
答案 200 m2
7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能够全部贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0. 048))，则存款利率为________时，银行可获得最大收益．
解析 由题意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．
设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.
于是y′＝0.048k－2kx.
令y′＝0，得x＝0.024.
依题意知，y在x＝0.024处取得最大值．
答案 0.024
8．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2造价为12元，则箱子的最低总造价为________．
解析 设箱底一边的长度为x m，总造价为y元，依据题意，得y＝12×3＋15×16，则y′＝72.
令y′＝0，得x＝4或x＝－4(舍去)，易知当x＝4时，总造价最低，最低价为816元．
答案 816元
9．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD中，A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析 设CD＝x，则点C，B，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·＝－x3＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x＝时，f(x)有最大值.
答案
10．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与底面半径，才使得所用材料最省？
解 设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2，
又V＝πR2h，则h＝，
∴S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2，
由S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得R＝ ，从而h＝＝2 ，即h＝2R，
当R< 时，S′(R)<0；当R> 时，S′(R)>0.
因此，当R＝ 时，S(R)有极小值，且是S(R)的最小值．
答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省．
11．某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地形AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．
(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，AB长度应在什么范围内？
(2)若规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方体建筑，问AB长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)
解 (1)依题意三角形NDC与三角形NAM相似，
∴＝，即＝，AD＝20－x，
矩形ABCD的面积为S＝20x－x2，
定义域为0要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，
即20x－x2≥144，
化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，
∴AB长度应在[12,18]内．
(2)仓库体积为V＝20x2－x3(0V′＝40x－2x2＝0，得x＝0，或x＝20，
当00；当20∴x＝20时V取最大值米3,
即AB长度为20米时仓库的库容量最大．
12．某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低销售量可以增加，且售价降低x(0≤x≤8)元时，每天多卖出的件数与x2＋x成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．
(1)试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；
(2)该商品售价为多少元时，一天的销售利润最大？
解 (1)由题意，可设每天多卖出的件数为k(x2＋x)，则36＝k(32＋3)，解得k＝3.
又每件商品的利润为(20－12－x)元，每天卖出的商品件数为48＋3(x2＋x)，
∴该商品一天的销售利润为
f(x)＝(8－x)[48＋3(x2＋x)]
＝－3x3＋21x2－24x＋384(0≤x≤8)．
(2)f′(x)＝－9x2＋42x－24＝－3(x－4)(3x－2)．
令f′(x)＝0，可得x＝或x＝4.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
0
4
(4,8)
8
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
384
?↘
极小值
??
极大值
?↘
0
∴当x＝4时，f(x)有极大值432，也是最大值．
故当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元．
