双基限时练(十)
1．双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
答案 C
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 由题意知·＝1，
化简得a2＋b2＝m2
∴以a，b，m为边长的三角形为直角三角形．
答案 B
4．若0
A．相同的实轴 B．相同的虚轴
C．相同的焦点 D．相同的渐近线
答案 C
5．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100
C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24
答案 D
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
7．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________．
答案 －＝1
8．双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________．
解析 由题意知a＝2，
当焦点在x轴上时，有＝2
∴b＝4，双曲线方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，有＝2
∴b＝1，双曲线方程为－x2＝1.
答案 －＝1或－x2＝1
9．若双曲线＋＝1的离心率为2，则k的值为________．
解析 ∵＋＝1是双曲线，
∴k＋4＜0，k＜－4.∴a2＝9，b2＝－(k＋4)．
∴c2＝a2＋b2＝5－k.∴＝＝2.
∴5－k＝36，k＝－31.
答案 －31
10．求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
解 (1)设双曲线的标准方程为
－＝1，或－＝1(a>0，b>0)．
由题知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴标准方程为－＝1，或－＝1.
(2)当焦点在x轴上时，由＝，且a＝3，∴b＝.
∴所求双曲线方程为－＝1；
当焦点在y轴上时，由＝，且a＝3，∴b＝2.
∴所求双曲线方程为－＝1.
11．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．
解 椭圆方程可化为＋＝1，可知椭圆的焦距2c＝8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
∴双曲线方程为－＝1.
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有解得
∴双曲线方程为－＝1.
由①②知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
12．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程．
解 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2，∴|PF1|·|PF2|sin＝2.
∴|PF1|·|PF2|＝8，∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝＝2，∴a2＝.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
双基限时练(十一)
1．双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，已知线段F1F2被点(b,0)分成5?1两段，则此双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
解析 由题可知b＋c＝5(c－b)，∴3b＝2c.
∴9b2＝4c2＝9(c2－a2)．
∴5c2＝9a2，∴e2＝，e＝.
答案 C
2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1, 2) D．(2，＋∞)
解析 设A(c，y0)代入双曲线方程得－＝1，∴y＝.
∴|y0|＝，∴|AF|＝.
∵△ABE是钝角三角形，
∴∠AEF>45°.
则只需|AF|>|EF|，即>a＋c，
∴b2>a2＋ac，
即c2－a2>a2＋ac，c2－ac－2a2>0.
∴e2－e－2>0，解得e>2，或e<－1(舍去)．故选D.
答案 D
3．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足·＝0，＋的值为( )
A．2 B.
C．4 D.
解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为m，不妨设P在第一象限，由题可得
①2＋②2得|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，
∴a2＋m2＝2c2.
又＋＝()2＋()2＝＝2.故选A.
答案 A
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
解析 设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，
故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，
在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b，
故|PF1|＝4b，则4b－2c＝2a，
即2b－a＝c，∴(2b－a)2＝a2＋b2.
∴3b2－4ab＝0，即3b＝4a.
故双曲线的渐近线方程是y＝±x，
即y＝±x，故选C.
答案 C
5．与曲线＋＝1共焦点，而与曲线－＝1共渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 椭圆的焦点为(0，±5)，双曲线的渐近线为y＝±x，验证选项知应选C.
答案 C
6．下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1，F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，则( )
A．e1>e2>e3 B．e1C．e1＝e3e2
解析 设|F1F2|＝2c，在①中2a＝|MF2|－|MF1|＝(－1)c；在②中，2a＝|MF2|－|MF1|＝c；在③中，2a＝|AF2|－|AF1|＝(－1)c.∴e1＝e3>e2.
答案 D
7．若动点P(x，y)到定点F(5,0)的距离是它到直线x＝的距离的倍，则动点P的轨迹方程为________．
解析 设P(x，y)，则＝，
化简整理得16x2－9y2＝144.
答案 16x2－9y2＝144
8．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝________.
解析 因为渐近线方程为y＝x，∴b＝.
∴双曲线方程为x2－y2＝2.
∴点P的坐标为(，±1)．
又易知F1(－2,0)，F2(2,0)，不妨取P(，1)．
∴·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝0.
答案 0
9．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
解析 由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0，且b＝3可得a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a?|PF1|－3＝2?|PF1|＝5.
答案 5
10．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144，F1，F2是其左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
解 双曲线的方程可化为－＝1，
∴a2＝9，b2＝16，∴c＝5.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
∴cos∠F1PF2＝
＝.
又|PF1|·|PF2|＝32，
∴cos∠F1PF2＝＝0.
∴∠F1PF2的大小为90°.
11．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．
解 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
依题意c＝，∴方程可以化为－＝1，
由得
(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1.
12．设k∈R，讨论方程kx2＋2y2－8＝0所表示的曲线．
解 ①当k<0时，方程变形为＋＝1，它表示焦点
在y轴上的双曲线；
②当k＝0时，方程为y2－4＝0，它表示两条平行于x轴的两条直线；
③当0④当k＝2时，方程变为x2＋y2＝4，它表示一个圆；
⑤当k>2时，曲线＋＝1为焦点在y轴上的椭圆．
双基限时练(十二)
1．抛物线x2＝－8y的准线方程是( )
A．x＝ B．y＝2
C．y＝ D．y＝－2
答案 B
2．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A. B.
C. D．0
答案 B
3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案 D
4．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
解析 点(3, 5)在直线2x＋3y－21＝0上，所以到点(3,5)与定直线距离相等的点是过(3,5)且与直线垂直的直线．
答案 D
5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．x2＝y
D．y2＝－x
答案 B
6．如图，l为南北方向的公路，A地在公路正东2 km处，B地在A地东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建费用都为a万元/km，那么修建这条公路的总费用最低是________万元．( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
解析 由抛物线的定义知，曲线PQ为抛物线，要使修建费用最低，可从B作l的垂线，其垂线段长为5 km，所以最低费用为5a万元．
答案 C
7．已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则点P的轨迹方程为________．
解析 由题意可知点P到(3,0)的距离与到x＝－3的距离相等，故P的轨迹是抛物线，p＝6，∴方程为y2＝12x.
答案 y2＝12x
8．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到直线x＝－1的距离为________．
解析 如图所示，B(1,0)是抛物线y2＝4x的焦点，直线l：x＝－1是抛物线的准线，过A作AA′⊥l于A′，则|AA′|＝AB＝6.则M到直线x＝－1的距离为＝4.
答案 4
9．若抛物线y2＝8x上一点A到焦点的距离为6，则该点的横坐标为________．
解析 设横坐标为x0，抛物线的准线为x＝－2，
则x0＋2＝6，x0＝4.
答案 4
10．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐标．
解 由抛物线定义，设焦点为F(－，0)．
则准线为x＝，过M作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝10.即 －(－9)＝10，
∴p＝2.故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程得y＝±6.
∴M(－9,6)，或M(－9，－6)．
11．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，
由点B在抛物线上，
得()2＝－2p(－)，
p＝，所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
由点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.
解得a>12.21，或a<－0.21(舍去)．
∵a取整数，∴a的最小整数值为13 m.
12．已知抛物线的焦点在坐标轴上，且抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程．
解 ①当抛物线开口向下时，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，此时准线为y＝，由抛物线的定义知，－(－3)＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.
将(m，－ 3)代入方程，得m2＝24，m＝±2.
②当抛物线的开口向左或向右时，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)．
由p＝|a|知，准线方程可统一为x＝－.
于是解此方程组有
四组解
∴抛物线方程为y2＝2x，m＝；y2＝－2x，m＝－；
y2＝18x，m＝；y2＝－18x，m＝－.
双基限时练(十三)
1．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为3，则|AB|为( )
A．4 B．8
C．6 D．10
解析 由题可知，抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F，AB中点到准线的距离为3＋1＝4，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×4＝8.
答案 B
2．已知点M(－4,1)，F为抛物线C：y2＝－4x的焦点，点P在抛物线上，若|PF|＋|PM|取最小值，则点P的坐标是 ( )
A．(0,0) B．(－1,2)
C．(－，1) D．(－2,2)
解析
如图所示，l为抛物线的准线，过P作PP′⊥l于P′，过M作MN⊥l于N，
∴|PF|＋|PM|＝|PP′|＋|PM|≥|MN|.
∴当|PF|＋|PM|取小值时，P的纵坐标为1，代入抛物线方程可得P的坐标为(－，1)．
答案 C
3．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a为( )
A．－1 B．1
C．－ D．－2
解析 抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程为a＋1＝0，∴a＝－1.
答案 A
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A．3 B.
C. D.
解析 根据抛物线定义，点P到准线的距离转化为到焦点F(，0)的距离，故为(0,2)和(，0)的距离为.
答案 B
5．已知抛物线y＝4ax2(a>0)的准线与圆x2＋y2＋mx－＝0相切，且此抛物线上的点A(x0,2)到焦点的距离等于3，则m＝( )
A．± B．±
C．±1 D．0
解析 抛物线y＝4ax2的准线方程为y＝－，
由题知2＋＝3，∴a＝.
∴抛物线的准线为y＝－1，
圆的方程可化为(x＋)2＋y2＝＋，
由圆与抛物线的准线相切可得
＝1，即m＝±，故选A.
答案 A
6．P(x0，y0)是抛物线x2＝2py(p>0)上任一点，则P到焦点的距离是________．
解析 抛物线的准线为y＝－，
∴P到焦点的距离为y0＋.
答案 y0＋
7．抛物线y＝4x2上一点P，则P到直线y＝4x－5的距离的最小值为________．
解析 设P(x，y)，则d＝
＝＝≥＝.
答案
8．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为________．
解析 设点(x0，－4)，则(－4)2＝2px0，
∴x0＝＝.
又由抛物线的定义可知x0＋＝6，∴＋＝6，
即p2－12p＋32＝0，解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
9．已知点A(x，y)在抛物线y2＝4x上运动，求z＝x2＋y2＋3的最小值．
解 ∵A在抛物线上，∴x≥0，
z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3，
二次函数z＝x2＋2x＋3的对称轴为x＝－1.
∴在[0，＋∞)上是增函数．
∴当x＝0时，z有最小值3.
10．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线，求抛物线的方程．
解 画图可知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ky＋m，
由
消去x，整理得y2－2pky－2pm＝0.
由根与系数的关系得y1y2＝－2pm.
由题设|y1|·|y2|＝2m，则p＝1.
故抛物线方程为y2＝2x.
11．一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3，求抛物线的方程．
解 设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
将直线方程y＝2x－4代入，并整理得
2x2－(8＋p)x＋8＝0.
设方程的两个根为x1，x2，则根据韦达定理有
x1＋x2＝，x1x2＝4.
由弦长公式，得
(3)2＝(1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即9＝()2－16.
整理得p2＋16p－36＝0，
解得p＝2，或p＝－18，此时Δ>0.
故所求的抛物线方程为y2＝4x，或y2＝－36x.
12．如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B
两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大面积．
解 由解得或
∴A(4,4)，B(1，－ 2)．
∴|AB|＝＝3.
设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则
d＝＝
＝|(y0－1)2－9|.
∵－2从而△PAB的最大面积为S＝×3×＝.
此时P.因此，当P时，△PAB的面积取得最大值，最大值为.
双基限时练(十四)
1．顶点在原点对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线的方程为( )
A．y2＝－16x B．y2＝－12x
C．y2＝16x D．y2＝12x
解析 直线与x轴的交点坐标为(4,0)，∴抛物线的焦点为(4,0)，∴＝4，p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x.
答案 C
2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析 因为点(3,2)在抛物线内部，所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点．
答案 B
3．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 由题可知，抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，
∴a＝±8，故选B.
答案 B
4．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0交于A，B两点，其中A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|等于( )
A．7 B．3
C．6 D．5
解析 将A(1,2)分别代入抛物线与直线方程可得
p＝2，a＝2，∴可得x2－5x＋4＝0，∴x1＝1，x2＝4.|FA|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝7.
答案 A
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标和等于a2＋2a＋3(a∈R)的最小值，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有一条或两条 D．有无数多条
解析 由抛物线的定义知，|AB|＝xA＋xB＋p，而a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2≥2，p＝2，∴|AB|＝2＋2＝4.
而过焦点最短的弦长|AB|＝4(即通径长)，
∴这样的直线有且仅有一条．
答案 A
6．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是____________________．
解析 由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，
所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．
设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，
则A点坐标为 (r，r)，
于是有(r)2＝2×r，解得r＝4，
所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
答案 (x－4)2＋y2＝16
7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线m交抛物线于A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．
解析 分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，
得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°.
又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6.
∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3.
∴F为线段AC的中点．
故F到准线的距离p＝|AA1|＝，
故抛物线的方程为y2＝3x.
答案 y2＝3x
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3?1，则点A的坐标为________．
解析 如图，由题意可得|OF|＝1，
由抛物线定义，得|AF|＝|AM|，
∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3?1，
∴＝＝3.
∴|AF|＝|AM|＝3，设A(x0，y0)．
∴x0＋1＝3，x0＝2，代入y2＝4x，可得y＝8.
解得y0＝±2，
∴点A的坐标是(2，±2)．
答案 (2，±2)
9．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝(x－1)，由得y2－4y－4＝0.
解得y1＝2，y2＝－.
∴A(3,2)，∴OAF的面积为S＝×1×2＝.
答案
10．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解 (1)联立
消去x，得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.
∵y＝－x1，y＝－x2，∴(y1·y2)2＝x1·x2.
∴x1·x2＝1.∴x1x2＋y1y2＝0，
即·＝0.∴OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴的交点为N，则N的坐标为(－1，0)，
∴S△AOB＝|ON|·|y1－y2|
＝×|ON|×
＝×1× ＝，
解得k2＝，所以k＝±.
11.
如图，l1，l2是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M，N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l1对称．M到l1，l2的距离分别是2 km、4 km，N到l1，l2的距离分别是3 km、9 km.
(1)建立适当的坐标系，求抛物线MN的方程；
(2)该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O的距离大于5 km而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km，求该厂离点O的最近距离．(注：工厂视为一个点)
解
(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M(2,4)，N(3,9)．
设MN所在抛物线的方程为
y＝ax2＋c，
则有解得
故所求抛物线MN的方程为
y＝x2(2≤x≤3)．
(2)设抛物线弧上任意一点P(x，y)，则y＝x2(2≤x≤3,4≤y≤9)，厂址为A(0，t)(5由题意|PA|＝≥，
即y＋(y－t)2≥6，
∴y2＋(1－2t)y＋t2－6≥0(*)
－＝t－∈[4,9]．
∴要使(*)恒成立，只需当y＝时成立，
即＋(1－2t)＋t2－6≥0，
即得4t－25≥0，∴t≥，又5∴t的最小值为.
故该厂离点O的最近距离为 km.
12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解 (1)由题意知，直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，消去y并整理，得4x2－5px＋p2＝0.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，解得p＝4.
∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0为4x2－20x＋16＝0，即x2－5x＋4＝0.
解得x1＝1，x2＝4.
于是y1＝－2，y2＝4.
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设C的坐标为(x3，y3)，则
＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，∴(4λ－2)2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1.
解得λ＝0或λ＝2.
双基限时练(六)
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
答案 C
2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )
A．16 B．18
C．20 D．不确定
答案 B
3．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0,1)
解析 将方程化为标准方程为＋＝1，∴k>0.
又因为焦点在y轴上，∴>2，即0答案 D
4．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF1|等于( )
A. B.
C. D．4
解析 由PF2⊥x轴，得|PF2|＝，
|PF1|＝2a－|PF2|＝.
答案 C
5．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段 D．不存在
解析 |PF1|＋|PF2|＝a＋≥6，
而|F1F2|＝6，则点P的轨迹是椭圆或线段．
答案 C
6．如果椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 ∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4.
∴2a＝4，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
答案 C
7．与椭圆x2＋4y2＝4有公共的焦点，且经过点A(2,1)的椭圆的方程为________．
解析 椭圆x2＋4y2＝4的标准方程为＋y2＝1，
∴c＝＝＝.
设椭圆的方程为＋＝1.(a2＞3)，
把点A(2,1)代入＋＝1，
解得a2＝6，或a2＝2(舍去)，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
解析 ∵|PF1|＋|PF2|＝2×3＝6，且|PF1|＝4，
∴|PF2|＝2.
在△F1PF2中，|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
＝－，∴∠F1PF2＝120°.
答案 2 120°
9．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B点且与圆A内切，则圆心P的轨迹方程为______________________．
解析 ∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－|PB|，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝6.
∴a＝5，c＝3，b2＝52－32＝16.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
10．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标．
解 椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又A(1，)在椭圆C上，
∴＋＝1，解得b2＝3.
∴c2＝a2－b2＝1.
∴椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F(±1,0)．
11．已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝
6||，求动点P的轨迹方程．
解 设动点P(x，y)，＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(x－1，y)，由·＝6||，得－3(x－4)＝6，平方化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
12．已知命题p：实数m满足m2－7am＋12a2<0(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．
解 由m2－7am＋12a2<0(a>0)可得3a即命题p：3a由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆可得2－m>m－1>0，∴1即命题q：1由非q为非p的充分不必要条件可得：非q?非p，即p?q，
从而有∴≤a≤.
双基限时练(七)
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为( )
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
答案 D
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 D
3．直线y＝a与椭圆＋＝1恒有两个不同交点，则a的取值范围是( )
A．(－，) B．(－3,3)
C．(－2,2) D．(－4,4)
答案 C
4．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则( )
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判定(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)在椭圆上
解析 由椭圆的对称性知，点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在椭圆上．
答案 C
5．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0，a>0，b>0)具有( )
A．相同的顶点 B．相同的离心率
C．相同的焦点 D．相同的长轴和短轴
解析 不妨设a>b，则椭圆＋＝1的离心率e1＝＝.
而椭圆＋＝k的离心率e2＝＝，∴e1＝e2.
答案 B
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析 由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7．在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于________．
解析 由题可知b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，a＝c.
∴e＝＝.
答案
8．过椭圆＋＝1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 右焦点的坐标为(3,0)，当x＝3时，代入椭圆方程得＋＝1，∴y2＝，∴|y|＝.
故|AB|＝2|y|＝.
答案
9．已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为________．
解析 由题意知|BF|＝a，|AF|＝a＋c，|AB|＝，
∵BF⊥BA，∴|BF|2＋|BA|2＝|AF|2，
即a2＋a2＋b2＝(a＋c)2.化简得a2－ac－c2＝0，
∴e2＋e－1＝0.解得e＝.
∵0答案
10．椭圆过(3,0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解 当椭圆焦点在x轴上时，则
a＝3，＝，∴c＝
∴b2＝a2－c2＝3
故椭圆的方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，
则b＝3，又＝，
∴＝，∴a2＝27.
故椭圆的方程为＋＝1，
∴所求椭圆的方程为＋＝1，或＋＝1.
11．如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.
则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则△MF1F2为直角三角形．
∴|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.
解 由A (－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝，故AB所在的直线方程为y－b＝x，即bx－ay＋ab＝0.
又F1(－c,0)，
由点到直线的距离公式可得d＝＝，
∴(a－c)＝.
又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，
即82－14＋5＝0，
∴8e2－14e＋5＝0，
∴e＝或e＝(舍去)．
综上可知，椭圆的离心率e＝.
双基限时练(八)
1．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是( )
A. B.
C. 1 D.
解析 椭圆的右焦点(1,0)到直线y＝x的距离为d＝＝.
答案 B
2．若椭圆a2x2－y2＝1的一个焦点是(－2,0)，则a为( )
A. B.
C. D.
解析 由a2x2－y2＝1，得＋＝1，
∴a＜0，∵焦点(－2,0)，
∴＋＝4，即4a2－2a－1＝0，
解得a＝，或a＝ (舍去)．
答案 A
3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．4,8 B．6,8 C．8,12 D．2,6
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，两圆的半径为R，由题意可知|PM|＋|PN|的最大值为|PF1|＋|PF2|＋2R，最小值为|PF1|＋|PF2|－2R，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，R＝1，所以|PM|＋|PN|的最大值为8，最小值为4.
答案 A
4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析 由题意，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则有＋＝1，解得y＝3(1－)，
∵＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
∴·＝x0(x0＋1)＋y
＝x0(x0＋1)＋3(1－)＝＋x0＋3.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，
∵－2≤x0≤2，∴当x0＝2时，
·取得最大值＋2＋3＝6，选C.
答案 C
5．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>1且m≠3
C．m>3 D．m>0且m≠3
解析 把y＝x＋2代入＋＝1，并整理得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
Δ＝16m2－4m(m＋3)＝12m(m－1)，
由Δ>0，得m<0或m>1.
∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
答案 B
6．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点，作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于( )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．±
解析 设椭圆的一个焦点F(1,0)，则直线l：y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1，并整理得3x2－4x＝0.解得x1＝0，x2＝，∴y1＝－1，y2＝.又·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－.
答案 B
7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则这个椭圆方程为________．
解析 由题意可知∴
b2＝a2－c2＝12－3＝9.
∴椭圆方程为＋＝1，或＋＝1.
答案 ＋＝1，或＋＝1
8．设P为椭圆＋y2＝1上任意一点，O为坐标原点，F为椭圆的左焦点，点M满足＝(＋)，则||＋||＝________.
解析
如图所示，F0为椭圆的右焦点，连接PF0，
由＝(＋)，
可知M为PF的中点，
则||＝||，
∴||＋||＝||＋||＝(||＋||)＝a＝2.
答案 2
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以坐标原点O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若四边形PAOB为正方形，则该椭圆的离心率为________．
解析 如图，∵四边形OAPB是正方形，且PA，PB为圆O的切线，
∴△OAP是等腰直角三角形，
故b＝c，a＝c，∴e＝.
答案
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆经过点N(2，－3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求椭圆以M(－1,2)为中点的弦所在直线的方程．
解 (1)由椭圆经过点N(2，－3)，
得＋＝1，
又e＝＝，解得a2＝16，b2＝12.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)显然M在椭圆内，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是以M为中点的弦的两个端点，
则＋＝1，＋＝1.
相减得＋＝0.
整理得kAB＝－＝，
则所求直线的方程为y－2＝(x＋1)，
即3x－8y＋19＝0.
11．已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M，N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．
解 (1)设P(x，y)，依题意，有＝，整理，得＋＝1，
∴动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．
∵M，N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，∴(3，y1)·(，y2)＝0，
6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2 ＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．
故|MN|的最小值为2.
12．如图椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1.(a>b>0)
由e＝，得＝，b2＝a2－c2＝3c2，∴＋＝1.
将A(2,3)代入，有＋＝1，解得c＝2，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1的方程为y＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.直线AF2的方程为x＝2.
由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数．
设P(x，y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，则有＝|x－2|，
若3x－4y＋6＝5x－10，
得x＋2y－8＝0，其斜率为负，不合题意，舍去．
于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0.
∴∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为
2x－y－1＝0.
双基限时练(九)
1．已知F1(－5,0)，F2(5, 0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
解析 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．
答案 D
2．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.
答案 A
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由题意可知
|AF1|＋2a＝|AF2|，|BF1|＋2a＝|BF2|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＋4a＝2|AB|＋4a＝26.故选D.
答案 D
4．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为( )
A. B.
C. D.
解析 由双曲线的方程知，a＝，b＝，
∴c＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
将x＝－3代入双曲线的方程得y2＝.
不妨设点M在x轴上方，则M(－3，)．
∴|MF1|＝，|MF2|＝.
设点F1到直线F2M的距离为d，
则有|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，∴d＝.
答案 C
5．已知P为双曲线－＝1上任意一点，A (5,0)，B(－5,0)，则kPA·kPB为( )
A. B.
C．－ D.
解析 设P(x0，y0)，则－＝1，∴y＝9(－1)．
又kPA·kPB＝·＝
＝＝.故选D.
答案 D
6．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是( )
解析 将直线和曲线的方程分别变形为y＝mx＋n ①，＋＝1 ②，当m>n>0时，②表示焦点在x轴上的椭圆，此时直线与y轴的交点为(0，n)，在x轴上方，所以选项A不可能．同理选项B不可能．当m>0，n<0时，②表示实轴为x轴的双曲线，此时直线y＝mx＋n与y轴的交点(0，n)在x轴下方，C适合．故选C.
答案 C
7．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是________．
解析 由题可知∴－2答案 (－2，－1)
8．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．
解析 由双曲线方程－＝1知，渐近线方程为y＝±x，右焦点为(3,0)，根据点到直线的距离公式可求得该距离为d＝＝.
答案
9．已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹方程为________．
解析 ∵A(0,7)，B(0，－7)在以C，F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2<|AB|＝14.
∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．
答案 以A，B为焦点的双曲线的下半支
10．设双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，点M在双曲线上，若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．
解 由题意知a2＝4，b2＝9，∴c2＝13.
设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
则由双曲线定义知|r1－r2|＝2a＝4，
∴(r1－r2)2＝r＋r－2r1r2＝16.①
又∵∠F1MF2＝90°，
∴r＋r＝|F1F2|2＝4c2＝52.②
∴由①②得r1r2＝18.
∴S△F1MF2＝r1r2＝9.
11．设A，B，C三点是红方三个炮兵阵地，A在B正东6 km处，C在B北偏西30°，相距4 km处，P为蓝方炮兵阵地．某时刻A处发现蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B，C两地比A地距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．
解
如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．
∵kBC＝－，BC中点为D(－4，)，
∴直线PD：y－＝(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②式，得x＝8，y＝5，∴P(8,5)．
因此kPA＝＝.
故炮击的方位角为北偏东30°.
12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，依据题意可设双曲线方程为－＝1，则有
解得a2＝3，b2＝2.故双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
∴|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
∴在△MF1F2中，|MF1|边最长．
由余弦定理得
cos∠MF2F1＝
＝<0.
∴∠MF2F1为钝角．故△MF1F2为钝角三角形．
