2021-2022学年高三（上）期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）已知集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|log2x≥0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
3．（3分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝|x| C．y＝lgx D．y＝cosx
4．（3分）设α、β是两个不同的平面，b是直线且b β，“b⊥α”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（3分）设a＝20.5，b＝0.52，c＝log20.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
6．（3分）已知数列{an}是等差数列，a3＝8，a4＝4，则前n项和Sn中最大的是（ ）
A．S3 B．S4或S5 C．S5或S6 D．S6
7．（3分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的最大值为1，则a的取值范围是（ ）
A． B．（0，1） C． D．（1，+∞）
9．（3分）同时具有性质：
①最小正周期是π；
②图象关于直线x＝对称；
③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：
①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；
②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A） φi（B）；
③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
11．（3分）（1）不等式2x﹣x2≥0的解集为 ；
（2）的值是 ．
12．（3分）已知向量＝（﹣3，4），＝（1，m），若 （﹣）＝0，则m＝ ．
13．（3分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，则an＝ ；若，则数列{bn}的前n项和Sn＝ ．
14．（3分）关于x的方程x3﹣3x2﹣a＝0有3个不同的实数解，则a的取值范围是 ．
15．（3分）数列{an}满足：an﹣1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），给出下述命题：
①若数列{an}满足：a2＞a1，则an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立；
②存在常数c，使得an＞c（n∈N*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则ap+aq＞am+an；
④存在常数d，使得an＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．
上述命题正确的 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b+c﹣a）（sinA+sinB﹣sinC）＝csinA，b＝2．
（1）求角B的大小；
（2）在①，，成等差数列，②a，b，c成等差数列，③a2，b2，c2成等差数列，这三个条件中任选一个作为已知条件，求△ABC的面积S．（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
17．某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下
62 65 72 78 86 86 86 87 87 88 90 98
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDE的体积；
（Ⅲ）点Q在线段PC上，平面BDQ和平面PBD的夹角为45°，求．
19．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e＝2.71828…）
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x＝﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）
21．设集合A2n＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥3）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．
（Ⅰ）当n＝3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；
（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；
（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．2021-2022学年高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】运用复数的除法运算法则，化简复数z，再由复数的几何意义，即可得到所求象限．
【解答】解：复数z＝＝＝，
可得复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（﹣，），
位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的除法运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
2．（3分）已知集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|log2x≥0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}
【答案】A
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：20＝1＜2x＜4＝22，
解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，
由B中不等式解得：x≥1，即B＝{x|x≥1}，
则A∩B＝{x|1≤x＜2}．
故选：A．
【点评】本题考查了交集及其运算，属于基础题．
3．（3分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝|x| C．y＝lgx D．y＝cosx
【答案】B
【分析】分别确定函数的奇偶性，值域，可得结论．
【解答】解：对于A，值域为[﹣1，+∞）的偶函数，不正确；
对于B，值域为[0，+∞）的偶函数，正确，
对于C，值域为R，非奇非偶函数，不正确；
对于D，值域为[﹣1，1]的偶函数，不正确，
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性，值域，考查学生的计算能力，比较基础．
4．（3分）设α、β是两个不同的平面，b是直线且b β，“b⊥α”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】α、β是两个不同的平面，b是直线且b β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成立，即可判断出关系．
【解答】解：α、β是两个不同的平面，b是直线且b β“b⊥α” α⊥β；反之不成立，
若α⊥β，b β，b⊥α不一定成立．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系的判定，考查了推理能力，属于中档题．
5．（3分）设a＝20.5，b＝0.52，c＝log20.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【答案】C
【分析】利用指数函数y＝2x、y＝0.5x及对数函数y＝log2x的单调性，即可比较出三个数的大小．
【解答】解：∵0＜0.52＜1，20.5＞1，log20.5＜0，
∴a＞b＞c，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键．
6．（3分）已知数列{an}是等差数列，a3＝8，a4＝4，则前n项和Sn中最大的是（ ）
A．S3 B．S4或S5 C．S5或S6 D．S6
【答案】B
【分析】由{an}是等差数列，a3＝8，a4＝4，解得a1＝16，d＝﹣4．故Sn＝﹣2n2+18n＝﹣2（n﹣）2+．由此能求出结果．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a3＝8，a4＝4，
∴，解得a1＝16，d＝﹣4．
∴Sn＝16n+
＝﹣2n2+18n
＝﹣2（n﹣）2+．
∴当n＝4或n＝5时，Sn取最大值．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
7．（3分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由f（x）＝0结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．
【解答】解：由＝0得sin2x＝﹣cos2x，
即tan2x＝﹣，
即2x＝kπ﹣，
即x＝﹣，
∵0≤x≤π，
∴当k＝1时，x＝，
当k＝2时，x＝，
则函数f（x）的零点之和为+＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x的值是解决本题的关键．
8．（3分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的最大值为1，则a的取值范围是（ ）
A． B．（0，1） C． D．（1，+∞）
【答案】A
【分析】对x进行分类讨论，当x≤2时，f（x）＝x﹣1和当x＞2时，2+logax≤1．由最大值为1得到a的取值范围．
【解答】解：∵当x≤2时，f（x）＝x﹣1，
∴f（x）max＝f（2）＝1
∵函数f（x）＝（a＞0且a≠1）的最大值为1
∴当x＞2时，2+logax≤1．
∴，
解得a∈[，1）
故选：A．
【点评】本题考查分类讨论以及由最大值为1得到结果．
9．（3分）同时具有性质：
①最小正周期是π；
②图象关于直线x＝对称；
③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数、余弦函数的图象和性质，逐一检验，可得结论．
【解答】解：对于y＝cos（+），它的周期为＝4π，故不满足条件．
对于y＝sin（2x+），在区间上，2x+∈[，]，故该函数在区间上不是单调递增函数，故不满足条件．
对于y＝cos（2x﹣），当x＝时，函数y＝，不是最值，故不满足②它的图象关于直线x＝对称，故不满足条件．
对于y＝sin（2x﹣），它的周期为＝π，当x＝时，函数y＝1，是函数的最大值，满足它的图象关于直线x＝对称；
且在区间上，2x﹣∈[，]，故该函数在区间上是单调递增函数，满足条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基础题．
10．（3分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：
①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；
②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A） φi（B）；
③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi（A）＝0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．
【解答】解：∵对于i∈N*，定义，
∴①例如A＝{正奇数}，B＝{正偶数}，∴A∩B＝ ，A∪B＝N*，∴φi（A∩B）＝0；φi（A∪B）＝1，故①正确；
②若φi（A∩B）＝0，则i （A∩B），则i∈A且i B，或i∈B且i A，或i A且i B；∴φi（A） φi（B）＝0；
若φi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B），则i∈A且i∈B；∴φi（A） φi（B）＝1；
∴任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A） φi（B）；正确，故②正确；
③例如：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，
当i＝2时，φi（A∪B）＝1；φi（A）＝1，φi（B）＝1；∴φi（A∪B）≠φi（A）+φi（B）；
故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；
故选：A．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
11．（3分）（1）不等式2x﹣x2≥0的解集为 {x|0≤x≤2} ；
（2）的值是 0 ．
【答案】（1）{x|0≤x≤2}；（2）0．
【分析】（1）推导出x（x﹣2）≤0，由此能求出不等式2x﹣x2≥0的解集；
（2）利用诱导公式能求出的值．
【解答】解：（1）∵2x﹣x2≥0，
∴x（x﹣2）≤0，
∴不等式2x﹣x2≥0的解集为{x|0≤x≤2}；
（2）＝cos﹣sin
＝cos﹣sin＝﹣＝0．
故答案为：（1）{x|0≤x≤2}；（2）0．
【点评】本题考查一元二次不等式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（3分）已知向量＝（﹣3，4），＝（1，m），若 （﹣）＝0，则m＝ 7 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据向量的坐标公式，以及向量垂直的定义直接计算即可．
【解答】解：由题可知： （﹣）＝（﹣3，4） [（﹣3，4）﹣（1，m）]
＝（﹣3，4） （﹣4，4﹣m）
＝12+16﹣4m＝0，
即m＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
13．（3分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列，则an＝ n ；若，则数列{bn}的前n项和Sn＝ 2n+1﹣2 ．
【答案】n；2n+1﹣2．
【分析】先设等差数列{an}的公差为d（d≠0），再根据题干已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项公式，进一步计算出数列{bn}的通项公式，判断出数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而计算出前n项和Sn．
【解答】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
则a3＝1+2d，a9＝1+8d，
∵a1，a3，a9成等比数列，
∴a1a9＝，即1+8d＝（1+2d）2，
化简整理，得d2﹣d＝0，
解得d＝0（舍去），或d＝1，
∴an＝1+n﹣1＝n，n∈N*，
∴＝2n＝2 2n﹣1，
故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn＝＝2n+1﹣2．
故答案为：n；2n+1﹣2．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本运算，考查了方程思想，转化与化归思想，等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
14．（3分）关于x的方程x3﹣3x2﹣a＝0有3个不同的实数解，则a的取值范围是 （﹣4，0） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】关于x的方程x3﹣3x2﹣a＝0有3个不同的实数解 函数y＝x3﹣3x2与y＝a由三个不同的交点，利用导数先得出函数y＝f（x）的单调性并画出图象，进而即可得出答案．
【解答】解：由x3﹣3x2﹣a＝0，得x3﹣3x2＝a．
令f（x）＝x3﹣3x2，解x3﹣3x2＝0，得x1＝x2＝0，或x3＝3，即函数f（x）有一个零点3，和一个二重零点0
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
f（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），令f′（x）＝0，则x＝0或2．列表如下：
由表格可以看出：
函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增．
在x＝0时取得极大值，且f（0）＝0；在x＝2时取得极小值，且f（2）＝﹣4．
综上可画出函数y＝f（x）的图象，如下图：
要使函数y＝f（x）与y＝a由三个不同的交点，则必须满足﹣4＜x＜0．
此时满足 关于x的方程x3﹣3x2﹣a＝0有3个不同的实数解．
故答案为（﹣4，0）．
【点评】把方程的解得问题转化问题函数的交点问题和熟练应用导数得到函数的单调性并画出图象是解题的关键．
15．（3分）数列{an}满足：an﹣1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），给出下述命题：
①若数列{an}满足：a2＞a1，则an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立；
②存在常数c，使得an＞c（n∈N*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则ap+aq＞am+an；
④存在常数d，使得an＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．
上述命题正确的 ①④ ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】见试题解答内容
【分析】由an﹣1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），得an+1﹣an＞an﹣an﹣1（n＞1，n∈N*）或an﹣1﹣an＞an﹣an+1（n＞1，n∈N*）．然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．
【解答】解：由an﹣1+an+1＞2an（n＞1，n∈N*），得
an+1﹣an＞an﹣an﹣1（n＞1，n∈N*）或an﹣1﹣an＞an﹣an+1（n＞1，n∈N*）．
即数列函数{an}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，
或数列函数{an}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．
对于①，若a2＞a1，则数列函数{an}为增函数，∴an＞an﹣1（n＞1，n∈N*）成立，正确；
对于②，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；
对于③，若数列函数{an}为减函数，则命题错误；
对于④，∵an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＞（n﹣1）（a2﹣a1）+a1；取d＝a2﹣a1，即可说明命题正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对题意的理解，是中档题．
三、解答题
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b+c﹣a）（sinA+sinB﹣sinC）＝csinA，b＝2．
（1）求角B的大小；
（2）在①，，成等差数列，②a，b，c成等差数列，③a2，b2，c2成等差数列，这三个条件中任选一个作为已知条件，求△ABC的面积S．（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【答案】（1）B＝；
（2）S△ABC＝．
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和正弦定理和余弦定理的应用求出B的值；
（2）选条件①时，利用等差数列和基本不等式的应用和三角形面积公式的应用求出结果；
选条件②时，利用等差数列和基本不等式的应用和三角形面积公式的应用求出结果；
选条件③时，利用等差数列和基本不等式的应用和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）（sinA+sinB﹣sinC）（b+c﹣a）﹣csinA＝0，
利用正弦定理可得：（a+b﹣c）（b+c﹣a）﹣ac＝0，
整理得：a2+c2﹣b2＝ac，所以cosB＝＝，
由于0＜B＜π，
所以B＝；
（2）选条件①，，成等差数列，所以2＝+，
由基本不等式（）2≤，所以2＝+≤，
所以b≤，当且仅当a＝c时，等号成立，
由于B＝，b＝2，故△ABC为等边三角形，故S△ABC＝acsinB＝×2×2×＝．
选条件②a，b，c成等差数列，
所以2b＝a+c，
由于a2+c2﹣b2＝ac，整理得：（）2＝a2+c2﹣ac，整理得（a﹣c）2＝0，
由于B＝，b＝2，故△ABC为等边三角形，故S△ABC＝acsinB＝×2×2×＝．
选条件③a2，b2，c2成等差数列，所以2b2＝a2+c2，且a2+c2﹣b2＝ac
整理得（a﹣c）2＝0，
由于B＝，b＝2，故△ABC为等边三角形，故S△ABC＝acsinB＝×2×2×＝．
【点评】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17．某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下
62 65 72 78 86 86 86 87 87 88 90 98
根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅲ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ）这组数据的众数是86，中位数是86；
（Ⅱ）P＝；
（Ⅲ）分布列间解析，Eξ＝．
【分析】（Ⅰ）由定义直接写出众数与中位数；
（Ⅱ）求出频率，可得概率，再由二项分布与对立事件的概率求解；
（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的期望Eξ．
【解答】解：（Ⅰ）这组数据的众数是86，中位数是86；
（Ⅱ）抽取的12人中成绩是“优良”的有9人，频率为，
依题意得从该校学生中任选1人，成绩是“优良“的概率为，
设事件A表示“在该校学生中任选3人，至少有1人成绩是“优良””，
则P（A）＝；
（Ⅲ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝．
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
∴ξ的期望Eξ＝0×＝．
【点评】本题考查一组数据的众数与中位数，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查运算求解能力，是中档题．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣BDE的体积；
（Ⅲ）点Q在线段PC上，平面BDQ和平面PBD的夹角为45°，求．
【答案】（Ⅰ）证明见解答；
（Ⅱ）．
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，易证AB∥CD，再根据线面平行的判定定理，即可证明；
（Ⅱ）根据题意易证AD⊥平面PDC，又AB∥CD，从而得B到平面PDC的距离等于A到平面PDC的距离，即为AD，再转化所求三棱锥的顶点，最后根据三棱锥的体积公式，即可求解；
（Ⅲ）建系，利用向量法，向量夹角公式，建立方程，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点F，连接EF，AF，
又E为PC中点，∴EF∥DC，且EF＝DC，
又AB∥CD，且AB＝DC，
∴EF∥AB，且EF＝AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，又BE 平面PAD，AF 平面PAD，
∴BE∥平面PAD；
（Ⅱ）∵侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
又PD 侧面PCD，侧面PCD∩底面ABCD＝CD，
∴PD⊥底面ABCD，又AD 底面ABCD，
∴AD⊥PD，又易知AD⊥DC，且PD∩DC＝D，
∴AD⊥平面PDC，又AB∥CD，
∴B到平面PDC的距离等于A到平面PDC的距离，即为AD，
∴三棱锥P﹣BDE的体积为：
VP﹣BDE＝VB﹣PDE＝
＝＝．
（Ⅲ）根据题意，可建系如图，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），
∴，，，
设，λ∈（0，1），则＝（0，2λ，﹣λ），
∴＝（0，0，1）+（0，2λ，﹣λ）＝（0，2λ，1﹣λ），
设平面PBD与平面BDQ的法向量分别为，，
则，，
取，，
又平面BDQ和平面PBD的夹角为45°，
∴＝＝＝，又λ∈（0，1），
解得λ＝，
∴＝λ＝．
【点评】本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，向量法求解面面角问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
19．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e＝2.71828…）
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）当时，化简函数f（x）的解析式，利用函数的导数求解函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当0＜k＜1时，求出函数f（x）在区间[1，e]上的最大值，然后判断结果即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以，…．（1分）
当时，．…．（2分）
令，得x1＝1，x2＝2，…．（3分）
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
…．（6分）
所以f（x）在x＝1处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．…．（7分）
函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（1，2）．…．（8分）
（Ⅱ）证明：不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解，等价于f（x）≤1在区间[1，e]上恒成立，
即函数f（x）在区间[1，e]上的最大值小于等于1．
因为，
令f′（x）＝0，得．…．（9分）
因为0＜k＜1时，所以．
当时，f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，函数f（x）在区间[1，e]上单调递减，…．（10分）
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）＝k﹣1＜1，
所以不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解；…．（11分）
当时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（1）或f（e）．…．（12分）
此时f（1）＝k﹣1＜1，，
所以＝．
综上，当0＜k＜1时，关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．…．（13分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x＝﹣3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：OM经过线段PQ的中点N．（其中O为坐标原点）
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a2＝b2+c2，求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），kMF＝﹣m，设直线PQ的方程为x＝my﹣2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c＝2，
短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得
a＝ 2b，即有a＝b，a2﹣b2＝4，
解得a＝，b＝，
则椭圆方程为+＝1；
（Ⅱ）证明：设M（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），
PQ的中点为N（x0，y0），kMF＝﹣m，
由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x＝my﹣2，
代入椭圆方程可得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
即有y1+y2＝，y1y2＝﹣，
于是N（﹣，），
则直线ON的斜率kON＝﹣，
又kOM＝﹣，
可得kOM＝kON，
则O，N，M三点共线，即有OM经过线段PQ的中点．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
21．设集合A2n＝{1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥3）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．
（Ⅰ）当n＝3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；
（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；
（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．
【答案】（Ⅰ）6是集合A6的“相关数”；
（Ⅱ）证明见解答；
（Ⅲ）n+3．
【分析】（Ⅰ）根据相关数的定义判断即可；
（Ⅱ）根据相关数的定义得到m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，得到m≥n+3，从而证明结论；
（Ⅲ）根据m≥n+3，将集合A2n的元素分成n组，对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组，，同属于集合P，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]＝4n+1，从而求出m的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝3时，A6＝{1，2，3，4，5，6}，4n+1＝13，
①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，
因为2+3+4+5＞13，
所以5不是集合A6的“相关数”；
②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，
因为1+3+4+5＝13，
所以6是集合A6的“相关数”．
（Ⅱ）证明：考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B＝{n﹣1，n，n+1，…，2n}，
B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）＝4n+2．
所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；
所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，
因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，
即若m为集合A2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 m≥n+3，
先将集合A2n的元素分成如下n组：
i＝（i，2n+1﹣i），（1≤n），
对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，
必有三组，，同属于集合P，
再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：
Dj＝（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），
对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组属于集合P，
这一组与上述三组，，中至少一组无相同元素，
不妨设与无相同元素．
此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]＝4n+1，
所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3．
【点评】本题考查了相关数的定义及其应用，考查新定义的理解，属难题．
