福建省厦门海沧实验中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

2023—2024学年第一学期
高二开学考试数学试题
满分：150 分 考试时间：90分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数满足，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量若 ，则实数x的值是（ ）
A. B.3 C. D.2
3．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
4.已知表示直线,表示平面,下列正确的是( )
A. B.
C. D.
5．在平行四边形中，若交于点，则( )
A. B.
C. D.
6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱 的中点，则异面直线AD1与DN所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为三角形内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、多选题：本题共 4小题，每小题6 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得 2.5分，有选错的得 0 分．
9.已知是平面向量的一组基底，则下列四组向量中，可以作为一组基底的是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
10.下面四个命题中的真命题为（ ）
A.若复数满足，则
B.若复数满足，则
C.若复数，满足，则
D.若复数，则
11.抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（ ）
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱上存在点M，使平面
B.异面直线与所成的角为90°
C.二面角的大小为45°
D.平面
D.平面平面
三、填空题：本题共 3 小题，每小题6 分，共 18 分．
在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，根据打分情况，得到专业人士组对选手A打分的平均数为48，方差为14，观众代表组对选手A打分的平均数为56，方差为140，则选手A得分的总方差为 .
若某正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长是6，则它的体积为 .
15．已知直角梯形，，．，，是腰上的动点，则的最小值为______
四、解答题：本题共 3 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：
（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；(22)
（2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
（3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）
17.在中，角所对的边分别为，若，，，且.
（1）求角的值；
（2）求的最大值.
18.如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，，交于点.(22)
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱柱的体积.
厦门海沧实验中学 2023—2024 学年度第一学期
高二开学考试数学试题答案
1.D 解：，.
2.D 解：因为所以
因为 ，所以，解得故选：D
3.B 解：8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
因为，所以第75百分位数为，
4.C 解 选项，若，则或m、n异面；B选项，若，则m、n相交或异面；C选项，根据线面垂直的性质定理可知C选项正确；D选项，若，则或.
5.D解:如图，∵，∴E为CD的中点，设，且B，F，D三点共线，∴，解得，∴．故选：D．
6.D 解：甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为，
依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件所包含的事件数为1，所以根据古典概型的概率公式可得，
再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为.
7.A 解：如图，取的中点，连接，连接，∵是中点，则，正方体中，则是平行四边形，∴，∴，∴（或其补角）是异面直线AD1与DN所成角，因为正方体棱长为2，则，，是等腰三角形，∴．
8.D 解：设中点为,则，又,所以，故三角形为等腰三角形
9.解：因为和是平面向量的一组基底,故和不共线,所以和不共线, 和不共线,和不共线,因为,所以和共线
10.AD 解：若复数满足，则，故命题为真命题；复数满足，则，故命题为假命题；若复数，满足，但，故命题为假命题；
若复数，则，故命题为真命题.
11.ABD 解：抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；在B中, A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
12. 解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，
，又底面是菱形，，是等边三角形，
，又，，平面，
平面，故正确.
对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.
对于，∵平面平面，，平面， ，
是二面角的平面角，设，则，，
在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.
对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.
13.104.96 解:选手A得分的平均数为，选手A得分的总方差为
14. 解：由题意正四棱台如图，，，
，，，
14题图 15题图
15 3 解：如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，则，，，
设，则，， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为3，
16.解：（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为，
70分以下的频率为，所以对甲教师的评分低于70分的人数：（2）由频数分布表有3人，有3人，
记的3人为A、B、C，的3人为、、，随机选出2人：，，，，，，， ，，， ，，， ，，共种；评分均在的抽取方法：， ，，共3种；所以2人评分均在范围内的概率.
（3）由频率分布直方图可得的频率为： ，甲教师的平均数为： ，乙教师的平均数为：，由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.
17.解：解：因为，所以.
在中，由正弦定理得，
所以，即.
在中，由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）由（1）得，在中，，
所以.因为，所以，
所以当，即时，有最大值1，所以的最大值为.
18.证明：（1）依题意可知：是中点，∵平面，则，而，∴是中点.在中，，又平面，∴平面.
（2）∵平面，，∴平面，又平面，则,
又∵平面，平面，,平面，平面，∴平面.
（3）由（1）知，而平面，∴平面，∴平面.
∵是中点，是中点，平面，，则△CBE为直角三角形，∴，.