2023-2024学年北师大版数学必修第一册同步练习 1.1.2 集合的表示（含解析）

1.1.2 集合的表示
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
2．集合{－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为(　　)
A．{－1≤x≤8} B．{x|－1≤x≤8}
C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}
3．方程组的解集是(　　)
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
5．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
6．(多选)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}．P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)
A．a∈M B．a∈P
C．b∈M D．b∈P
7．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18 B．17
C．16 D．15
二、填空题
8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
9．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A与B所含的元素完全相同，则实数a＝________.
10．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
11．集合可用列举法表示为________．
12．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是________，所有元素的和为________．
三、解答题
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
14．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
15．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
1.1.2 集合的表示
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C．∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
A　[{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以 {x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．]
2．集合{－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为(　　)
A．{－1≤x≤8} B．{x|－1≤x≤8}
C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}
C　[观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，选C.]
3．方程组的解集是(　　)
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
D　[解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.]
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是(　　)
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
D　[∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．]
5．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
D　[本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．故选D.]
6．(多选)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}．P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)
A．a∈M B．a∈P
C．b∈M D．b∈P
AD　[设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P.故选AD.]
7．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是(　　)
A．18 B．17
C．16 D．15
B　[因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.]
二、填空题
8．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
{4,9,16}　[由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．]
9．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A与B所含的元素完全相同，则实数a＝________.
1　[由集合A与B所含元素完全相同，可得解得a＝1.]
10．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
{1,3}　[由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．]
11．集合可用列举法表示为________．
　[由－2≤x≤2，x∈Z得，x＝±2，±1或0，当x＝±2时，y＝5，当x＝±1时，y＝2，当x＝0时，y＝1，所以该集合可用列举法表示为.]
12．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是________，所有元素的和为________．
6　16　[若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3；若a＝2，则ab＝2,4,6.故P*Q＝{0,1,2,3,4,6}，共6个元素．和为1＋2＋3＋4＋6＝16.]
三、解答题
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
[解]　(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3,5,7,11.可用列举法表示为{3,5,7,11}．
(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}．
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．
(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．
14．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
[解]　将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3,1.由根与系数的关系得解得所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}．
15．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
[解]　(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6 M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
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