1.4 充分条件与必要条件 教案

充分条件与必要条件
——新授课
一、教材分析
1.教学内容
充分条件与必要条件，充要条件，及它们的判断。
2.教材的地位与作用
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，主要讨论命题的条件与结论之间的逻辑关系，为今后数学推理的学习打下基础。
二、学生分析
学生在初中的时候已经对命题有了初步的认识，本节主要以“若p，则q”形式的命题为载体，通过考察命题中条件p和结论q的关系，学习充分条件、必要条件和充要条件这三个常用逻辑用语。考虑到学生刚开始学习逻辑用语，学习重点是对充分条件、必要条件和充要条件的意义的理解和辨析，而不是如何判断“若p，则q”形式的命题的真假。我将在教学过程中补充明显的比较容易判断的命题，再循序渐进引导学生学习。
三、教学目标
1.正确理解充分条件、必要条件和充要条件，培养逻辑推理的能力；
2.结合物理电路图中“开关闭合与灯泡亮”的学习，经历直观感受、数学抽象、逻辑关系、深化理解四个过程，突破必要条件概念的难点，培养直观想象、数学抽象以及逻辑推理的能力；
3.体验整个数学活动，自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识
四、教学重点、难点
1.重点
理解充分条件、必要条件、充要条件的意义。
2.难点
充分条件、必要条件、充要条件的判断
五、教学方法及手段
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
1.导入新课
问题1：A={正方形}，B={矩形}，C={平行四边形},
（1）各集合有什么关系？
（2）能否构造“若p：则q”形式的命题？命题的真假性如何？
答：（1）A包含于B，B包含于C。
（2）若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形，是真命题。
问题2：若ab=0，则a=0，命题的真假性如何？
答：假命题，当b=0时，ab=0.条件不够。
问题3：如何让它成为真命题呢？
答：增加条件“b不等于0”
把p看作条件，q看作结论，当“若p，则q”为假命题时，说明条件p不充足，所以有些命题可以增加条件，当条件充足了、充分了，可以得到结论，命题就是真的。当“若p，则q”为真命题时，说明条件p是充足了、充分了，可以推导出结论q。
2.探究新知
想一想：这样的条件p应该怎么说呢，怎么定义呢？
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说，p是q的充分条件,q是p的必要条件。
问题4：充分条件与必要条件的判断
(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形;
(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等;
(3)若x2-4x+3=0，则x=1;
(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b.
答：上述命题中(1)(4)中的p是q的充分条件，q是p的必要条件，而命题(2)(3) 中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形;
(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似;
(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直;
(4)若x2=1,则x=1;
(5)若a=b，则ac=bc;
(6)若x，y为无理数，则xy为无理数.
思考：例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”这样的充分条件唯一吗 如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗
我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由这个条件p才能推出结论q。一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的。一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。
例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等;
(2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例;
(3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形;
(4)若x=1,则x2=1;
(5)若ac=bc,则a=b;
(6)若xy为无理数，则x,y为无理数。
一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“pq”，即“若p，则q”是否为真命题.
思考：例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”这样的必要条件是唯一的吗 如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗
我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q。一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的。一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题。
问题5：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0;
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集。
答：上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题;
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题;
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题。
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq。
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。
概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.上述命题(1)(4)中的p与q互为充要条件.
例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件
(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分;
(2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例;
(3)p:xy>0，q:x>0，y>0;
(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a≠0).
答：（2）（4）是，（1）（3）不是。
3.习题巩固
1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB;
(2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等;
(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若直线l与圆有且仅有一个交点，则l为圆的一条切线;
(2)若x是无理数，则x2也是无理数.
3.如图，直线a与b被直线l所截，分别得到了∠1，∠2，∠3和∠4.请根据这些信息，写出几个“a//b" 的充分条件和必要条件.
4.己知：圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d=r，是直线l与圆O相切的充要条件。
4.课堂小结
1．本节课我们学习了哪些知识内容
2．你认为学习充分条件与必要有什么意义？
3．如何判断充分条件，必要条件和充要条件？
5.课后作业
作业一：P22页复习巩固和P23页拓广探索
作业二：探究几何命题与充分条件、必要条件的关系，利用充分、必要知识解决生活中与充分、必要条件有关的问题。