沪科版八年级上第12章一次函数复习—知识点归纳

一次函数复习——知识点归纳
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
判断x是否为y的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应
例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例题：1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
2、函数中自变量x的取值范围是___________.
3、已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
1.列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
2.图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
3.解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升（斜向上），即y随x的增大而增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降（斜向下），即y随x增大而减小．
解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过第一、三象限；k<0时，图像经过第二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例题：1、正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
2、若是正比例函数，则b的值是（ ）
A.0 B. C. D.
3、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
4、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是______________．
5、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（和正比例函数增减性一样）
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题：1、若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）
3、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 .
4、若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
5、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1
11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.
　 b>0 b<0 b=0
k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
例题：若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2（2）两直线相交：k1k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　（3）解方程得出未知系数的值；
　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
17、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
　函数性质：
　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 。即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），
　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
　　3当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
　　4.在两个一次函数表达式中：
　　当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；
　　当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；
　　当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
　　当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
　　若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数
图像性质
　　1．作法与图形：通过如下3个步骤：
　　（1）列表.
　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
　　一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-，0）两点画直线即可。
　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
　　（3）连线，可以作出一次函数的图象：一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )。因此，作一次函数的图象 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.
　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-，0）。正比例函数 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的图像都是过原点。
　　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
　　4．k，b与函数图像所在象限 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "_blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )：
　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：
　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
　　y=kx+b时：
　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
　　当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限；
　 特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
　　5.若两条直线y1=k1x+b1平行于y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
　　6.如两条直线y1=k1x+b1垂直于y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1
　　7. 一次函数的平移：
(1)直线y=k（x-n）+b是由直线y=kx+b向右平移n个单位得到的；
直线y=k（x+n）+b是由直线y=kx+b向左平移n个单位得到的；
【口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b） 】
(2)直线y=kx+b+n是由直线y=kx+b向上平移n个单位得到的；
直线y=kx+b-n是由直线y=kx+b向下平移n个单位得到的；
　　 【口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）】