【名师一号】2014-2015学年高中数学新课标人教A版选修1-1综合测试题（含答案解析）

综合测试题
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题
D．命题“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
答案　D
2．如果命题“綈p且綈q”是真命题，那么下列结论中正确的是(　　)
A．“p或q”是真命题　　　 B．“p且q”是真命题
C．“綈p”为真命题 D．以上都有可能
解析　若“綈p且綈q”是真命题，则綈p，綈q均为真命题，即命题p、命题q都是假命题，故选C.
答案　C
3．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
解析　由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.
答案　A
4．若θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4表示的曲线不可能是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析　当sinθ＝1时，曲线表示圆．
当sinθ<0时，曲线表示的双曲线．
当sinθ>0，且sinθ≠1时，曲线表示椭圆．
答案　C
5．曲线y＝x3＋1在点(－1,0)处的切线方程为(　　)
A．3x＋y＋3＝0 B．3x－y＋3＝0
C．3x－y＝0 D．3x－y－3＝0
解析　y′＝3x2，∴y′x＝－1＝3，
故切线方程为y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
答案　B
6．下列命题中，正确的是(　　)
A．θ＝是f(x)＝sin(x－2θ)的图象关于y轴对称的充分不必要条件
B．|a|－|b|＝|a－b|的充要条件是a与b的方向相同
C．b＝是a，b，c三数成等比数列的充分不必要条件
D．m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件
答案　A
7．函数f(x)＝x2＋alnx在x＝1处取得极值，则a等于(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝2x＋，
∴由题可知，f′ (1)＝2＋a＝0，∴a＝－2.
当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，
当0当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取得极值．
故选B.
答案　B
8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，|F1F2|＝m.
故离心率e＝＝＝＝.
答案　D
9．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)为圆O1：x2＋y2＝9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝2时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析　考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.
答案　B
10．如图所示是y＝f(x)的导数图象，则正确的判断是 (　　)
①f(x)在(－3,1)上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
解析　从图象可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，
∴x＝－1是f(x)的极小值点，
x＝2是f(x)的极大值点，故选B.
答案　B
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. 2 D. 3
解析　设直线l与x轴交于点A，在Rt△PF1F2中，有|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|PA|，则|PA|＝，又|PA|2＝|F1A|·|F2A|，则＝(c－)·(c＋)＝，即4a2b2＝b2(c2＋a2)，即3a2＝c2，从而e＝＝.选B.
答案　B
12．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥对任意x>0恒成立，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0对任意x∈R恒成立，故Δ≤0，即m≥；m≥对任意x>0恒成立，即m≥()max，因为＝≤2，当且仅当x＝2时，“＝”成立，故m≥2.易知p是q的必要不充分条件．
答案　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析　∵双曲线－＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±2)，
∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±2)，在椭圆中a＝4，c＝2，b2＝4.
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
14．给出下列三个命题：①函数y＝tanx在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为π，其中假命题的序号是________________．
解析　①不正确，如x＝时tanx＝1，当x＝时tanx＝1，而>，所以tanx不是增函数；②不正确，如函数y＝是奇函数，但图象不过原点；③正确．
答案　①②
15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．
解析　把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a的函数关系式．
设水箱的高度为h，底面边长为a，
那么V＝a2h＝324，则h＝，水箱所用材料的面积是
S＝a2＋4ah＝a2＋，
令S′＝2a－＝0，得a3＝648，a＝6，
∴h＝＝＝3，
经检验当水箱的高为3时，材料最省．
答案　3
16．已知f(x)＝(2x－x2)ex，给出以下几个结论：
①f(x)>0的解集是{x|0其中判断正确的是________．
解析　f(x)>0，又ex>0，∴2x－x2>0.∴0令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.
∵当x<－或x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当－0，f(x)单调递增．
∴f(－)是极小值，f()为极大值，故②正确．
由②知，f()为最大值，没有最小值，故③错，④正确．
答案　①②④
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)若p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.若?x∈R，p(x)为假命题，且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
解　∵sinx＋cosx＝sin∈[－，]，
又?x∈R，p(x)为假命题，∴m≥.
?x∈R，q(x)为真命题，即对任意实数x，不等式x2＋mx＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，∴－2故?x∈R，p(x)为假命题，q(x)为真命题，实数m的取值范围是≤m<2.
18．(12分)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝－x＋2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C1的方程．
解　∵e＝，∴e2＝＝＝，∴a2＝3b2.
∵直线l：y＝－x＋2与圆x2＋y2＝b2相切，
∴＝b，∴b＝2.∴b2＝4，a2＝12.
∴椭圆C1的方程是＋＝1.
19．(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)求函数F(x)的单调区间；
(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
解　(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(x>0)，则F′(x)＝－＝(x>0)，
∵a>0，由F′(x)>0，得x∈(a，＋∞)，
∴F(x)在(a，＋∞)上单调递增；
由F′(x)<0，得x∈(0，a)，
∴F(x)在(0，a)上单调递减．
∴F(x)的单调递减区间为(0，a)，
单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)由(1)知F′(x)＝(0即a≥(－x＋x0)max，
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，
∴a≥，∴amin＝.
20．(12分)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P，Q，交直线l1于点R，求·的最小值．
解　(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，且F不在l1上
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为x2＝4y.
(2)由题意知，直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y得x2－4kx－4＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
又易得点R的坐标为(－，－1)．
∴·＝(x1＋，y1＋1)·(x2＋，y2＋1)
＝(x1＋)(x2＋)＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋(＋2k)(x1＋x2)＋＋4
＝－4(1＋k2)＋4k(＋2k)＋＋4
＝4(k2＋)＋8.
∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，
∴·≥4×2＋8＝16，
即·的最小值为16.
21．(12分)已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.
(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；
(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．
解　(1)因为f′(x)＝2x－，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6，又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)，即y＝－6x＋7.
(2)因为f′(x)＝，
又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；
当0即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．
又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，
欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则解得2≤a≤6.故a的取值范围是[2,6]
(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，
令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.
因为当x>0时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有唯一的交点．
又h′(x)＝4x－－14＝，且x>0，
所以当x>4时，h′(x)>0；当0即h(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h(x)在x＝4处取得最小值，
从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.
22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(4,1)，直线l：y＝x＋m交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l不过点M，试问直线MA，MB与x轴能否围成等腰三角形？
解　(1)根据题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
因为e＝，a2－b2＝c2，所以a2＝4b2.
又椭圆过点M(4,1)，所以＋＝1，
则可得b2＝5，a2＝20，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)将y＝x＋m代入＋＝1并整理得
5x2＋8mx＋4m2－20＝0，
Δ＝(8m)2－20(4m2－20)>0，得－5设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
k1＋k2＝＋
＝.
上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4)
＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)
＝－－8(m－1)＝0，
即k1＋k2＝0.
所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．