3.2.1 双曲线及其标准方程 教案

第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
教学设计
教学目标
1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
3.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.
教学重难点
教学重点：双曲线的定义、标准方程.
教学难点：双曲线标准方程的推导.
教学过程
新知积累
1.双曲线的定义
一般地，平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程
双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设（a为大于0的常数）.
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
，.
因为，，
所以.①
化简①得，
两边同除以，得.
由双曲线的定义知，，即，所以.
令，其中，代入上式，得.②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是，的双曲线，这里.
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是，，a，b的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.
总结：
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点 ， ，
a，b，c的关系
例题巩固
例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由，，得，
又，因此.
所以双曲线的标准方程为.
例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.
设炮弹爆炸点P的坐标为，
则，即，.
又，所以，，.
因为，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此.
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为.
课堂练习
1.“”是“方程表示双曲线”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当时，，，方程表示焦点在y轴上的双曲线；但当时，，，方程也表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选B.
2.（多选）若，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C.的面积是24 D.的面积是48
答案：ABC
解析：由题意得，，则.由，得，，故A，B正确；因为，所以是直角三角形，面积，故C正确，D错误.故选ABC.
3.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于M，N两点，为其右焦点，则的值为___________.
答案：8
解析：由双曲线的方程可知.因为M，N两点在双曲线的左支上，所以由双曲线定义得，，所以，而，所以.
小结作业
小结：本节课学习了双曲线及其标准方程.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义
2.双曲线的标准方程
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