1.1.1 空间向量及其线性运算 学案（含解析）

第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
学案
学习目标
1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.
3.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法、理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
知识汇总
1.空间向量的概念
（1）空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
（2）空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
（3）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
（4）单位向量：模为1的向量叫单位向量.
（5）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
（6）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
（7）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
2.空间向量的运算律
（1）空间向量的加法、减法及数乘运算：
①；
②；
③当时，；当时，；当时，.
（2）空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
3.共线向量和共面向量
（1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
（2）直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
（3）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
习题检测
1.如图所示，在平行六面体中，设，，，N是BC的中点，用a，b，c表示为( )
A. B. C. D.
2.已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，下列能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A. B.
C. D.以上都不对
3.下列说法正确的是( )
A.若，则或
B.若a、b为相反向量，则
C.零向量是没有方向的向量
D.若a、b是两个单位向量，则
4.在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是( )
①；②；
③；④.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
5.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
6.在空间四边形ABCD中，若是正三角形，且E为其中心，连接DE，则的化简结果为_____________.
7.如图，O为所在平面外一点，M为BC的中点，若与同时成立，则实数的值为______________.
8.已知i，j，k是不共面向量，，，，若a，b，c三个向量共面，则实数等于___________.
9.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，求证：E，F，B，D四点共面.
10.如图，在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是，，的中点，试用a，b，c表示以下向量：
（1）；
（2）.
答案以及解析
1.答案：A
解析：是BC的中点，
.故选A.
2.答案：B
解析：若点P，A，B，C共面，设，则，满足条件的只有B，故选B.
3.答案：B
解析：若，则它们的方向相同时是相等向量，方向相反时是相反向量，还有可能方向既不相同，也不相反，A错；若a、b为相反向量，则它们的和为零向量，B对；零向量的方向是任意的，C错；两个单位向量只是模都为1，方向不一定相同，D错.故选B.
4.答案：C
解析：，①错；
，②错；
，③对；
，④对.故选C.
5.答案：A
解析：，，，A，B，D三点共线，故选A.
6.答案：
解析：延长DE，交BC于点F，则F为BC的中点，，，
.
7.答案：
解析：
，所以.
8.答案：
解析：若向量a，b，c共面，则存在，使得，
，，解得.
9.证明：设，.
则，
，
所以，
而E，F，B，D四点不共线，
因此，故E，F，B，D四点共面.
10.解析：（1）P是的中点，
.
（2）M是的中点，
.
又N是BC的中点，
，
.
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