1.2 空间向量基本定理 学案（含解析）

第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学案
学习目标
1.理解空间向量基本定理的意义.
2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.
3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量.
4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.
知识汇总
1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组，使得.
2.基底和基向量：若向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，把叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.空间向量的正交分解：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
习题检测
1.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，，则( )
A. B. C. D.
2.在平行六面体中，，则的值为( ).
A. B.1 C. D.
3.如图，在平行六面体中，与的交点为M.设，，，则下列向量中与相等的是( ).
A. B.
C. D.
4.已知为空间向量的一组基底，若，，，，且，则的值分别为( )
A.，， B.，1，
C.，1， D.，1，
5.（多选）设a，b，c是空间的一个基底，( ).
A.若，，则
B.则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面
C.对空间任一向量p，总存在有序实数组，使
D.则，，一定能构成空间的一个基底
6.如图，在三棱柱中，M为的重心，若，，，则___________.
7.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为PC，PD上的点，，，若，则____________.
8.如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设，，，为空间向量的一个基底，计算：
（1）；
（2）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，故选C.
2.答案：C
解析：因为，所以，，，，.故选C.
3.答案：A
解析：.故选A.
4.答案：A
解析：由题意知
，又，
所以，解得.故选A.
5.答案：BCD
解析：在A中，若，，则a与c相交或平行，故A错误；
在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；
在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组，使，故C正确；
在D中，，，一定能构成空间的一个基底，故D正确.故选BCD.
6.答案：
解析：.
7.答案：
解析：因为
，所以.
8.解析：（1）由题意得，，
，，
.
（2），
，
.
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