1.3.1 空间直角坐标系 学案（含解析）

第一章 空间向量与立体几何
1.3.1 空间直角坐标系
学案
学习目标
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标.
2.会用坐标表示空间向量.
知识汇总
1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底.以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
O叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
2.空间中点的坐标表示：空间直角坐标系Oxyz中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
3.空间中向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作.
习题检测
1.在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于平面Oyz对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.设是单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是( )
A. B.
C. D.
4.在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点的坐标相同
B.向量的坐标与点的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同
D.向量与向量的坐标相同
5.在空间直角坐标系中，点在平面上的射影为点，则关于原点的对称点坐标是________________.
6.在直三棱柱中，，，，，D为的中点，则在空间直角坐标系中（O为坐标原点），的坐标是________，的坐标是__________.
7.已知点，求：
（1）点A在xOy平面、x轴上的投影点的坐标；
（2）求点A关于xOy平面、x轴、原点的对称点的坐标.
8.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，，底面，，M为OA的中点，N为BC的中点，试以AB所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，分别求O，A，B，C，D，M，N六点的坐标.
答案以及解析
1.答案：A
解析：关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标和竖坐标相反，故选A.
2.答案：C
解析：点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反，故选C.
3.答案：A
解析：依题意知，故向量在基底下的坐标是.故选A.
4.答案：D
解析：因为点不一定为坐标原点，所以选项A，B，C都不正确；因为，所以选项D正确.故选D.
5.答案：
解析：点在平面上的射影的坐标为，关于原点的对称点的坐标为.
6.答案：；
解析：如图建系，则，，，，，为的中点，，.
7.答案：（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，.
（2）点A关于xOy平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，.
8.解析：如图，作于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系.
因为为等腰直角三角形，
则，，
所以，，，，，，.
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