1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 学案（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 学案（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 409.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-27 08:53:44 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
学案
学习目标
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.
3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
知识汇总
1.空间中点的向量表示：在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示. 向量称为点P的位置向量.
2.空间中直线的向量表示：a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.
3.空间直线的向量表示式：取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4.空间中平面的向量表示：平面可以由内两条相交直线确定. 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得.
5.空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
6.平面的法向量：直线. 取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
7.空间中直线、平面的平行：
设，分别是直线，的方向向量，则，使得.
设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
设，分别是平面，的法向量，则，使得.
8.空间中直线、平面的垂直：
设直线，的方向向量分别为，，则.
设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
设平面，的法向量分别为，，则.
习题检测
1.以为基点，把向量的起点平移到点A，则此时它的终点B的坐标为( ).
A. B. C. D.
2.若平面，的法向量分别为，，，，则的值为( ).
A. B. C. D.
3.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，，则使成立的是( ).
A.， B.，
C.， D.，
4.已知点，，，，，，若平面ABC，则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在正方体，棱长为a，M，N分别为，AC上的点，，则MN与平面的位置关系是( )
A.斜交 B.平行
C.垂直 D.MN在平面内
6.（多选）如图，在正方体中，E，F分别是平面，平面的中心，则下列结论中正确的是( ).
A. B.平面
C.平面 D.平面平面
7.已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量，若，则x的值为__________.
8.已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则____________.
9.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点.
（1）求证：；
（2）求AE与所成的角；
（3）求证：平面平面.
10.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，，矩形BDEF所在平面与平面ABCD垂直，，G，H分别为CE，CF的中点.求证：
（1）平面CDE；
（2）平面平面AEF.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以.故选A.
2.答案：B
解析：因为，，所以.故选B.
3.答案：B
解析：选项B中，因为，所以.故选B.
4.答案：C
解析：，，.
平面ABC，，，
，，解得，
点P的坐标为.故选C.
5.答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于，
所以，，所以.
又平面，所以为平面的一个法向量.
因为，所以，
又平面，所以平面.故选B.
6.答案：ABCD
解析：因为，所以A，B正确；因为，所以C正确；因为，所以D正确.故选ABCD.
7.答案：3
解析：若，则，所以，解得.
8.答案：-16
解析：，，又，，，解得，，.
9.证明：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，
则，，，，.
（1）因为，所以.
（2）因为，
所以，即AE与成角.
（3）因为，所以，
又因为，，所以平面AED.
因为平面，所以平面平面.
10.证明：连接AC交BD于点O，则O为BD的中点，
取EF的中点M，则.
因为平面平面ABCD，，
所以平面，平面ABCD.
如图，以O为原点，OB，OC，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易得，，，，，，，.
（1）因为，，
设平面CDE的法向量，
则，取，
易知，
因为，所以，
又平面CDE，所以平面CDE.
（2）因为，，
设平面AEF的法向量，
则，取.
因为，，
设平面BDGH的法向量，
则，取.
因为，即平面AEF与平面BDGH的法向量共线，
所以平面平面AEF.
2
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
学案
学习目标
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.
3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
知识汇总
1.空间中点的向量表示：在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示. 向量称为点P的位置向量.
2.空间中直线的向量表示：a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.
3.空间直线的向量表示式：取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4.空间中平面的向量表示：平面可以由内两条相交直线确定. 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得.
5.空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
6.平面的法向量：直线. 取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.
7.空间中直线、平面的平行：
设，分别是直线，的方向向量，则，使得.
设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.
设，分别是平面，的法向量，则，使得.
8.空间中直线、平面的垂直：
设直线，的方向向量分别为，，则.
设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.
设平面，的法向量分别为，，则.
习题检测
1.以为基点，把向量的起点平移到点A，则此时它的终点B的坐标为( ).
A. B. C. D.
2.若平面，的法向量分别为，，，，则的值为( ).
A. B. C. D.
3.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，，则使成立的是( ).
A.， B.，
C.， D.，
4.已知点，，，，，，若平面ABC，则点P的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在正方体，棱长为a，M，N分别为，AC上的点，，则MN与平面的位置关系是( )
A.斜交 B.平行
C.垂直 D.MN在平面内
6.（多选）如图，在正方体中，E，F分别是平面，平面的中心，则下列结论中正确的是( ).
A. B.平面
C.平面 D.平面平面
7.已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量，若，则x的值为__________.
8.已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则____________.
9.如图，在正方体中，E，F分别是，的中点.
（1）求证：；
（2）求AE与所成的角；
（3）求证：平面平面.
10.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，，矩形BDEF所在平面与平面ABCD垂直，，G，H分别为CE，CF的中点.求证：
（1）平面CDE；
（2）平面平面AEF.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以.故选A.
2.答案：B
解析：因为，，所以.故选B.
3.答案：B
解析：选项B中，因为，所以.故选B.
4.答案：C
解析：，，.
平面ABC，，，
，，解得，
点P的坐标为.故选C.
5.答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于，
所以，，所以.
又平面，所以为平面的一个法向量.
因为，所以，
又平面，所以平面.故选B.
6.答案：ABCD
解析：因为，所以A，B正确；因为，所以C正确；因为，所以D正确.故选ABCD.
7.答案：3
解析：若，则，所以，解得.
8.答案：-16
解析：，，又，，，解得，，.
9.证明：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，
则，，，，.
（1）因为，所以.
（2）因为，
所以，即AE与成角.
（3）因为，所以，
又因为，，所以平面AED.
因为平面，所以平面平面.
10.证明：连接AC交BD于点O，则O为BD的中点，
取EF的中点M，则.
因为平面平面ABCD，，
所以平面，平面ABCD.
如图，以O为原点，OB，OC，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易得，，，，，，，.
（1）因为，，
设平面CDE的法向量，
则，取，
易知，
因为，所以，
又平面CDE，所以平面CDE.
（2）因为，，
设平面AEF的法向量，
则，取.
因为，，
设平面BDGH的法向量，
则，取.
因为，即平面AEF与平面BDGH的法向量共线，
所以平面平面AEF.
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