3.1.2 椭圆的简单几何性质 学案（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 学案（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 477.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-27 12:27:27 | ||
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文档简介
第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学案
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、定点、离心率等简单几何性质.
2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.
4.理解数形结合思想
知识汇总
标准方程
焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ，
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ， ，， ，
长、短轴长 长轴长，短轴长
离心率
习题检测
1.中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为18，焦距为12的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知P是椭圆上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.存在m，使得为直角三角形
C.存在m，使得的周长最大
D.当时，四边形FBEA的面积最大
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.
7.若为椭圆上的一点，以P以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，则椭圆C的长轴长是_____________.
8.椭圆的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率之积为定值，则动直线BC恒过的定点坐标为___________.
9.已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且A是线段BF的中点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N分别为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且，求点P的坐标.
10.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交直线于M，N两点，若直线MF，NF的斜率分别为，，试问：是不是定值 若是，求出该值，若不是，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为18，焦距为12，可得，，则，故所求的椭圆方程为.故选C.
2.答案：C
解析：设椭圆C的标准方程为.依题意得，，，又，，即，因此椭圆的短轴长是，故选C.
3.答案：C
解析：设，则，由，得，设，
则，，.又直线AP的斜率，直线BP的斜率，，故选C.
4.答案：A
解析：设的坐标为，的坐标为，故过且与x轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程可得.可设，，由题意可得的面积是的面积的2倍，故，即有，即，则，代入椭圆方程可得，即，，解得（负值舍去）.故选A.
5.答案：BD
解析：对于A，，，，则椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，设点，，则.若，则，则，解得（舍去）或，故存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，的周长，当时，周长取得最大值8，而，则不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，当时，四边形FBEA的面积最大，显然正确，故D正确.故选BD.
6.答案：
解析：，线段与y轴交于点Q，，P在y右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故答案为.
7.答案：
解析：因为以以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，所以.又椭圆方程为，所以，则，所以椭圆C的长轴长是.
8.答案：
解析：由题意得，且直线BC的斜率不为0.
设，，直线BC的方程为.
联立，得，
所以，.
因为直线AB与AC的斜率之积为定值，所以，
所以，即，
所以，解得或，当时，不符合题意，舍去，
所以，所以直线BC恒过定点.
9.解析：（1）因为直线AF与直线垂直，垂足为B，且A是线段BF的中点，
所以，且点在直线上，
解得，则，
故椭圆C的方程为.
（2）设点，则直线MP的方程为，所以点，
所以.
由点在椭圆上，得，
所以，
所以，
解得或（舍去），
所以点.
10.解析：（1）由题意得，解得.
所以椭圆C的方程为.
（2）解法一：由（1）知，，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
联立，得，
不妨设，，
则直线AP的方程为，
令，得，则，
此时，
同理，
所以；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立，得，
设，，
则，，
直线AP的方程为，
令，得，则，
同理，
所以，，
所以
.
综上所述，为定值.
解法二：由（1）知，，
设直线l的方程为，
联立，得，
设，，
则，.
直线AP的方程为，
令，得，则，
同理，
所以，，
所以
，
所以为定值.
2
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学案
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、定点、离心率等简单几何性质.
2.能利用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.
4.理解数形结合思想
知识汇总
标准方程
焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ，
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ， ，， ，
长、短轴长 长轴长，短轴长
离心率
习题检测
1.中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为18，焦距为12的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.已知P是椭圆上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于A，B两点，则下列结论中正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.存在m，使得为直角三角形
C.存在m，使得的周长最大
D.当时，四边形FBEA的面积最大
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.
7.若为椭圆上的一点，以P以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，则椭圆C的长轴长是_____________.
8.椭圆的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率之积为定值，则动直线BC恒过的定点坐标为___________.
9.已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且A是线段BF的中点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N分别为椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且，求点P的坐标.
10.已知椭圆的离心率为，，，，的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ，分别交直线于M，N两点，若直线MF，NF的斜率分别为，，试问：是不是定值 若是，求出该值，若不是，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为18，焦距为12，可得，，则，故所求的椭圆方程为.故选C.
2.答案：C
解析：设椭圆C的标准方程为.依题意得，，，又，，即，因此椭圆的短轴长是，故选C.
3.答案：C
解析：设，则，由，得，设，
则，，.又直线AP的斜率，直线BP的斜率，，故选C.
4.答案：A
解析：设的坐标为，的坐标为，故过且与x轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程可得.可设，，由题意可得的面积是的面积的2倍，故，即有，即，则，代入椭圆方程可得，即，，解得（负值舍去）.故选A.
5.答案：BD
解析：对于A，，，，则椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，设点，，则.若，则，则，解得（舍去）或，故存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，的周长，当时，周长取得最大值8，而，则不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，当时，四边形FBEA的面积最大，显然正确，故D正确.故选BD.
6.答案：
解析：，线段与y轴交于点Q，，P在y右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故答案为.
7.答案：
解析：因为以以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，所以.又椭圆方程为，所以，则，所以椭圆C的长轴长是.
8.答案：
解析：由题意得，且直线BC的斜率不为0.
设，，直线BC的方程为.
联立，得，
所以，.
因为直线AB与AC的斜率之积为定值，所以，
所以，即，
所以，解得或，当时，不符合题意，舍去，
所以，所以直线BC恒过定点.
9.解析：（1）因为直线AF与直线垂直，垂足为B，且A是线段BF的中点，
所以，且点在直线上，
解得，则，
故椭圆C的方程为.
（2）设点，则直线MP的方程为，所以点，
所以.
由点在椭圆上，得，
所以，
所以，
解得或（舍去），
所以点.
10.解析：（1）由题意得，解得.
所以椭圆C的方程为.
（2）解法一：由（1）知，，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
联立，得，
不妨设，，
则直线AP的方程为，
令，得，则，
此时，
同理，
所以；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
联立，得，
设，，
则，，
直线AP的方程为，
令，得，则，
同理，
所以，，
所以
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综上所述，为定值.
解法二：由（1）知，，
设直线l的方程为，
联立，得，
设，，
则，.
直线AP的方程为，
令，得，则，
同理，
所以，，
所以
，
所以为定值.
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