3.2.1 双曲线及其标准方程 学案（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1 双曲线及其标准方程
学案
学习目标
1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
3.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.
知识汇总
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点 ， ，
a，b，c的关系
习题检测
1.双曲线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
2.“”是“方程表示双曲线”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A，B两点，且为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为( )
A.8 B.9 C.16 D.20
4.已知双曲线.若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且，，则双曲线E的标准方程是( )
A. B. C. D.
5.（多选）若，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且，则下列说法中正确的是( )
A. B.
C.的面积是24 D.的面积是48
6.若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为____________.
7.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于M，N两点，为其右焦点，则的值为___________.
8.已知双曲线经过两点，.求该双曲线的标准方程及其焦距.
9.已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且，求的面积.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且，，半焦距，双曲线的焦点坐标为.故选B.
2.答案：B
解析：当时，，，方程表示焦点在y轴上的双曲线；但当时，，，方程也表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选B.
3.答案：B
解析：由已知，.又，则.根据双曲线的定义，，所以，即，所以.故选B.
4.答案：D
解析：如图，由题意知.设AB，CD的中点分别为M，N，在中，，所以，，由双曲线的定义可得，即，所以，故双曲线E的标准方程为.故选D.
5.答案：ABC
解析：由题意得，，则.由，得，，故A，B正确；因为，所以是直角三角形，面积，故C正确，D错误.故选ABC.
6.答案：7或-2
解析：依题意可知，当双曲线的焦点在x轴上时，，，所以；当双曲线的焦点在y轴上时，，，所以.综上，或.
7.答案：8
解析：由双曲线的方程可知.因为M，N两点在双曲线的左支上，所以由双曲线定义得，，所以，而，所以.
8.解析：设双曲线方程为.
由题意得，解得，
所以所求双曲线的标准方程为.
因为，，
所以，
故焦距为.
9.解析：（1）椭圆的焦点分别为，，
设双曲线C的方程为，
则.①
又双曲线C经过点，所以.②
由①②得，或，（舍去），
所以双曲线C的方程为.
（2）由双曲线C的方程，知，，.
设，，则，
两边平方得.③
在中，由余弦定理得.④
由③④得.
所以的面积.
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