3.2.2 双曲线的简单几何性质 学案（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学案
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.
知识汇总
标准方程
图形
范围 ， ，
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称
顶点坐标 ，， ，，
长、短轴长 实轴长，虚轴长
渐近线 直线 直线
离心率
习题检测
1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
2.若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线，直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为( )
A. B. C.2 D.4
5.（多选）已知双曲线，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有( )
A.渐近线方程为 B.离心率
C.离心率 D.渐近线方程为
6.若双曲线的虚轴长为2，则实数m的值为_____________.
7.若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_________.
8.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，P是双曲线上一点，且，若的面积为8，则_______________.
9.回答下列问题：
（1）求焦点在x轴上，实轴长为4，焦距为8的双曲线的标准方程；
（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程.
10.已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C的右支相切，切点为与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，则该双曲线的离心率.故选A.
2.答案：D
解析：当直线与双曲线的渐近线平行时，，
此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，直线与双曲的左、右两支各有一个交点，k的取值范围为，故选D.
3.答案：A
解析：双曲线的一个焦点在直线l上，当时，，即双曲线的左焦点坐标为，.双曲线的一条渐近线平行于直线，.又，，，双曲线的标准方程为.故选A.
4.答案：A
解析：在中，令，得，不妨设，，
同理可得，，由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上，易知直线AC的方程为，令，得，即，因为，所以是等边三角形，，所以，，因为，所以，所以.故选A.
5.答案：AC
解析：由已知，可令M，N所在的渐近线方程为，由知为等边三角形，则到渐近线的距离为，所以，即故双曲线的离心率.由，可得，故渐近线方程为.故选AC.
6.答案：-3或1
解析：因为双曲线的虚轴长为2，①当时，双曲线方程可化为，则，得；②当时，双曲线方程可化为，则，得.故实数m的值为-3或1.
7.答案：2
解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为，因此到一条渐近线的距离，化简得，因此，，即，从而.
8.答案：
解析：不妨设P为双曲线左支上的一点，由题意，设，，则有，，，，可得，即，所以，即，则.
9.解析：（1）设双曲线的标准方程为.
由题意，得，，
则，，所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）因为双曲线焦点在x轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
所以双曲线的渐近线方程为，
所以.
又焦点为，
所以，解得，所以，
所以双曲线的标准方程为.
10.解析：（1）易知C的渐近线方程为，，
所以到渐近线的距离，
所以，
所以C的方程为.
（2）由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，
联立与C的方程，消去y得，
因为直线与C的右支相切，所以，
得，则.
设切点，则，
.
设，因为Q是直线与直线的交点，所以，.
假设x轴上存在定点，使得，
则
，
故存在，使得，即，
所以x轴上存在定点，使得.
2