3.3.1 抛物线及其标准方程 学案（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
学案
学习目标
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合思想.
知识汇总
1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程：
图形 标准方程 交点坐标 准线方程
习题检测
1.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
2.过焦点为F的抛物线上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线的焦点F到其准线的距离是8，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且，则的面积为( )
A.32 B.16 C.8 D.4
4.点到抛物线的准线的距离为4，则实数m的值为( )
A.8 B. C.或 D.8或
5.（多选）经过点的抛物线的标准方程可以为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，，则______.
7.已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，那么该抛物线的标准方程是___________.
8.一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为____________m.
9.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由矩形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m.
（1）以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7 m，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1 m）.
10.已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点.
（1）求的最小值，并求出取最小值时点P的坐标；
（2）求点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：抛物线的标准方程为，所以，，则准线方程为.故选C.
2.答案：B
解析：记准线与x轴的交点为A，因为，，所以，即点M的纵坐标为8或-8，设点M的横坐标为，则，故.故选B.
3.答案：A
解析：由题可知，.作AD垂直于准线，垂足为D，因为，故，则不妨设，代入，解得，所以的面积为，故选A.
4.答案：C
解析：抛物线可化为，若，则准线方程为，由题意，得，则；若，则准线方程为，由题意得，解得（舍去）或，综上，实数m的值为或.故选C.
5.答案：AD
解析：点在第四象限，则抛物线的焦点可能在x轴正半轴或y轴负半轴.当拋物线的焦点在x轴正半轴时，设抛物线方程为，将点P的坐标代入，得，则抛物线的方程为；当抛物线的焦点在y轴负半轴时，设抛物线的方程为，将点P的坐标代入，得，则抛物线的方程为.故选AD.
6.答案：1
解析：如图，，过A作准线l于点，则，，.
7.答案：
解析：依题意设抛物线的标准方程为，则抛物线的准线方程为，因此，解得，抛物线的标准方程为.
8.答案：
解析：以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设拋物线方程.由题意知，抛物线经过点和点，代入拋物线方程，解得，所以抛物线方程为，若水面下降1 m，即，解得，，所以此时水面宽度为.
9.解析：（1）依题意，设该拋物线的方程为.
如图，因为点在抛物线上，
所以，所以，
所以该拋物线的方程为.
（2）设车辆的限制高度为h m，则，故，
代入方程，解得.所以通过隧道的车辆限制高度为4.0 m.
10.解析：（1）将代入得，
而，即点A在抛物线内部，
过点P作垂直于抛物线的准线于点Q，
由抛物线的定义，知，
当P，A，Q三点共线时，取得最小值，
即的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入，得，即点P的坐标为，
所以的最小值为，点P的坐标为；
（2）显然点在抛物线外部，
设抛物线上点P到准线的距离为d，
由抛物线的定义，得，
当B，P，F三点共线(P在线段上)时取等号，
又，，
所以所求最小值为2.
2