3.3.2 抛物线的简单几何性质 学案（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学案
学习目标
1.理解抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题.
知识汇总
标准方程
图形
焦点
准线
顶点
开口方向 右 左 上 下
对称轴 x轴 y轴
x的取值范围 R
y的取值范围 R
离心率
习题检测
1.已知A为拋物线上的一点，点A到抛物线C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p的值为( )
A.2 B.3 C.6 D.9
2.已知抛物线和直线，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，到直线l的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.过抛物线的焦点F作倾斜角为60°的直线交拋物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为( )
A.-3 B.1 C.3 D.4
4.已知抛物线M的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，过其焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C，D，，且，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点，交其准线于点C，且位于x轴同侧.若，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是( )
A.
B.为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为
D.的面积为4
7.若抛物线上一点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为______________.
8.已知抛物线，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为_______.
9.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点，点A，B的坐标分别为，，O为坐标原点，若，求直线l的方程.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由拋物线定义知点A到拋物线C的焦点的距离等于到准线的距离，则，解得.故选C.
2.答案：D
解析：设抛物线的焦点为F，过P作PA与抛物线的准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则，显然当P，F，B三点共线（即点P在线段BF上）时，取得最小值，最小值为.故选D.
3.答案：C
解析：由题意可知过焦点且倾斜角为60°的直线方程为，与抛物线方程联立得，消去y并整理，得，设点，，则，所以，解得.故选C.
4.答案：A
解析：设，，，抛物线的方程为，因为，所以，，所以，，，，因为，所以，所以，所以抛物线的方程为.故选A.
5.答案：C
解析：设抛物线的准线为l，准线l与x轴交于点H，则，，，过A作，垂足为D，由抛物线的定义可知，，，，则，
，，，故选C.
6.答案：AC
解析：由，得，即，焦点，准线.
设直线AB的方程为，，，由，得，，，从而，，又，，即，因此，且或（舍去），，，即直线AB的斜率为，故C正确；选项A中，，，，从而，故A正确；
选项B中，，，结合图形知不是直角三角形，故B错误；
选项D中，，故D错误.故选AC.
7.答案：
解析：因为点A在抛物线上，所以，，点A到抛物线准线的距离为，解得或，当时，，不符合题意，舍去，所以，故抛物线的方程为.
8.答案：
解析：如图，连接PD，圆，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则.又，所以当四边形PADB的面积最小时，最小.过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为E，则，当点P与坐标原点重合时，最小，此时.故.
9.解析：（1）由点在抛物线C上，
得，解得，
由抛物线定义得，，解得，
故抛物线C的方程为.
（2）设直线l的方程为，
联立消去x，得，
故，，
所以，，
则，即，解得，
所以所求直线l的方程为或.
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