22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质（教案）初中数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
教学设计
一、教学目标
1.会用描点法画出形如的二次函数图象，连接抛物线的有关概念
2.能通过观察图象说出二次函数的图象特征和性质
3.会用待定系数法确定二次函数的解析式
4.在类比探究二次函数的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想
二、教学重难点
1. 教学重点
二次函数的图象的画法及性质
2. 教学难点
用描点法画二次函数的图象，探索其性质及特征
三、教学过程
（一）新课导入
让学生观看生活中的抛物线
我们研究问题最好是由最简的情形入手，而根据二次函数的定义，你认为最简单的二次函数的解析式是怎样的？
学生独立思考，得出答案：最简单的二次函数是，我们这节课就学习二次函数的图象和性质.
（二）探索新知
探究一：画出二次函数的图象
自变量x的取值范围是什么？x取整数还是取其他数较好？y是一个数的平方，它的值与x的值有什么关系？
学生可能有多种答法，引导学生回答：当x取互为相反数的两个数时，y的值相同.
1.列表：在中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)
（教师提问：在画坐标系时，x轴的正、负半轴和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长？学生独立思考，小组讨论，得出共识如下：x轴的正、负半轴画一样的长，y的正半轴画的较长，负半轴画的较短就可以.通过这个问题可以培养学生的作图技巧.）
3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象.
（学生先连一次试试，教师再演示.）
根据图象可以看出：y轴是抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点.
（教师可根据学生理解的层次直接根据解析式得出图象是轴对称图形）
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
（1）y=x2是一条抛物线；
（2）图象开口向上；
（3）图象关于y轴对称；
（4）顶点
（5）图象有最低点
提问：观察二次函数y=x2的图象，y随x如何变化
从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
例1 在同一直角坐标系中，画出函数，的图象.
解：列表如下
描点、连线，如图所示：
思考：
（1）函数，的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
（2）当时，二次函数的图象有什么特点？
答：一般地，当时，抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
探究二
在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象.
1.列表：
2.描点
3.连线
如图所示：
提问：观察二次函数的图象，y随x如何变化
从二次函数的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
思考：
（1）从函数，，的图象，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点.
（2）当a＜0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
答：对于抛物线，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
归纳：
练习
1.已知函数的图像过点.
(1)求a的值；
(2)在图像上有两点，，且，比较，的大小.
解析：(1)因为函数的图像过点，
所以.
(2)由(1)知，.因为，所以图像开口向上，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当时，.
2.已知二次函数与一次函数的图象相交于两点,如图所示,其中,求的面积.(解答可参照图中辅助线)
解析：∵一次函数的图象过点,解得,
∴一次函数解析式为,∴令,得.过点,,解得,∴二次函数解析式为.由一次函数与二次
函数联立可得解得，.
3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次数的图象于点B.
（1）点B的纵坐标为____________（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值；
（3）当时，若，求m的值.
答案：（1）如图，根据题意知，点B的横坐标是m，
将代入，得，
点B的纵坐标为.
（2）把代入，得.
解得，.
（3）根据题意知.
①，解得，.
，.
②，
解得，.
，.
综上所述，m的值为或.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.二次函数的画法
3.二次函数的图象
4.二次函数的性质
作业：
四、板书设计
22.1.2二次函数的图象和性质
二次函数的图象；
二次函数的图象
二次函数的图象和性质
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