22.1.4.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（教案）初中数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数
22.1.4.1二次函数的图象和性质
教学设计
一、教学目标
1.使学生掌握把通过配方写成的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，经历画二次函数图象的一般过程，进一步体会转化的数学思想.
2.通过图象了解二次函数的性质，体会数形结合的思想.
二、教学重难点
1. 教学重点
把通过配方写成的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标和相关性质.
2. 教学难点
把通过配方写成的形式
三、教学过程
（一）新课导入
教师提问，引入新课
展示函数，，，，依次说出顶点坐标，对称轴和最值.
思考
我们已经知道的图象和性质，能否利用这些知识来讨论的图象和性质？
（二）探索新知
思考
教师提问1：怎样将化成的形式？
答案：配方法
提问2：配方的方法及步骤是什么？
①提：提出二次项系数；
②配：括号内配成完全平方式
③化：化成顶点式
提问3：你能画出的图象吗？
可以通过配方法将转化为.
先画出的图象，再通过平移得到的图象；
平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位.
提问4：能直接画出的图象吗？
如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行.
由配方的结果可知，抛物线的顶点是，对称轴是.
先利用图象的对称性列表：
然后描点画图，得到的图象（如图）.
提问5：观察图象，二次函数的性质（y随x如何变化）是怎样的？
从图中二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
提问6：我们如何用配方法将一般式化成顶点式？
.
提问7：由此你可以得到什么？
抛物线的顶点坐标是：.
对称轴是：直线
如果，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
如果，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
提问8：用上面的方法讨论二次函数的图象和性质.
（学生独立思考，教师提问，得出的答案如下）
，平移的图象能得到二次函数的图象.
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.
总结：二次函数的图象与系数的关系
①a决定开口方向：开口向上；开口向下；
②同号对称轴在y轴的左侧；异号对称轴在y轴的右侧；
③经过原点；与y轴的交点位于x轴的上方；与y轴的交点位于x轴的下方；
④当时，y的值为，当时，y的值为.
⑤当对称轴时，，，此时；
当对称轴时，，，此时.
因此，判断的符号，需判断对称轴与1的大小，若对称轴在直线的左边，则，再根据a的符号即可得出结果；判断的符号，同理需判断对称轴与的大小.
练习
1.对于二次函数的图像，下列说法错误的是( )
A.开口向上
B.与x轴有两个交点
C.抛物线的顶点坐标是
D.当时，y随x的增大而减小
答案：D
解析：A.二次函数中，，则，
抛物线开口向上，故选项正确，不符合题意；
B.当时，，
对于方程来说，
，
方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图像
与x轴有两个交点，故选项正确，不符合题意；
C.，
抛物线的顶点坐标是，故选项正确，不符合题意；
D.，
抛物线的对称轴是，
，
抛物线开口向上，
当时，y随x的增大而增大，故选项错误，符合题意.故选D.
2.将抛物线向左平移2个单位长度，所得抛物线为__________.
答案：
解析：将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，故答案为.
3.已知点，是抛物线 上的两点, 则m,n的大小关系为_______.
答案：
解析：易知抛物线 的对称轴为直线, 点A到对称轴的距离为2 , 点B到对称轴的距离为1，，抛物线开口向上, 抛物线上的点到对称轴的距离越小, 点的纵坐标越小,.
4.如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
解析：（1）设抛物线的表达式为：，
由题意可得：，，
，
，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，，
②，
，
，
即的最小值为．
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.二次函数可转化为（顶点式）
3.二次函数的图象和性质
作业：
四、板书设计
22.1.4.1二次函数的图象和性质
探究一：二次函数的图象
探究二：二次函数的图象和性质
练习
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