22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式（教案）初中数学人教版九年级上册

第二十二章 二次函数
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
教学设计
一、教学目标
1.会用待定系数法求二次函数的解析式
2.灵活选择一般式、顶点式解决关于二次函数的相关问题
二、教学重难点
1. 教学重点
会用待定系数法求二次函数的解析式
2. 教学难点
灵活选择一般式、顶点式解决关于二次函数的相关问题
三、教学过程
（一）新课导入
教师提问，引入新课
1.一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
（学生讨论，教师纠正）
待定系数法：① 设：设解析式；② 代：坐标代入；③ 解：解方程（组）；④还原：写解析式
2.二次函数解析式：
一般式：
顶点式：，顶点为.
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，由几个点的坐标可以确定二次函数的解析式？
（二）探索新知
探究一
已知一个二次函数的图象过点，，，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为，
（第一步：设出解析式的形式；第二步：代入已知点的坐标；第三步：解方程组）
由已知，得，
解方程组，得，，.
所求二次函数是.
总结归纳：
求二次函数的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值.
由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，然后求出a，b，c就可以写出二次函数的解析式.
探究二
图象顶点为的二次函数的解析式是，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
已知抛物线顶点为，且过点，求其解析式.
解：抛物线顶点为，
设其解析式为.
又抛物线过点，
则，则.
其解析式.
总结归纳：
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤：
第一步：设解析式为.
第二步：将已知点坐标代入a值，得出解析式.
探究三
一个二次函数，当自变量时，函数值，当与时，，求这个二次函数的解析式.
方法1：设，再把，代入其中，求出a的值.
方法2：设，由“时，函数值，当与时，”，列方程组求出a，b，c的值.
教师提问：两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简洁？
已知二次函数的图象与x轴交于，两点（两点的纵坐标都为0），与y轴于点，求这个二次函数的解析式.
解：图象与x轴交于，，
设函数解析式为.
图象过点，
，解得.
二次函数解析为.
总结归纳：交点式求二次函数的解析式
这种已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法.
其步骤是：（1）设函数解析式是；
（2）先把两交点的横坐标代入解析式中，得到只含参数a的解析式；
（3）将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a的值；
（4）将a用求得的值换掉，写出函数解析式.
典例
例1 一次二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式是：，
由于这个函数经过点，，三点，可得
，解得
所求的二次函数的解析式是.
例2 一次二次函数的图象经过点，它的顶点坐标为，求这个二次函数的解析式.
解：这个二次函数的图象的顶点坐标为，
设函数解析式为.
又它的图象经过点，可得，
解得，
所求的二次函数的解析式是.
例3 二次函数图象经过点，，对称轴是直线.求出这个二次函数的解析式.
解：图象经过点，对称轴是直线，
图象经过另一点.
设该二次函数的解析式为
将点代入，得，
解得.
该二次函数的解析式为.
总结：
用待定系数法求二次函数的解析式的一般步骤：
①设出合适的函数解析式；
②把已知条件代入函数解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
③解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数的解析式.
练习
1.如图，是一条拋物线，则其表达式为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为抛物线与x轴的交点坐标为，，可设抛物线的表达式为，把代入，可得，解得，所以抛物线的表达式为.
2.抛物线的顶点为，与y轴交于点，则该抛物线的解析式为___________.
答案：
解析：抛物线的顶点为，设这个抛物线的解析式为，抛物线与y轴交于点，，解得，这个抛物线的解析式为.
3.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为且经过点.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)求直线与该二次函数图象的交点的坐标.
解析：(1)解：设二次函数是，
把代入函数，
则，
解得，
所求函数是；
(2)解：根据题意联立直线解析式与二次函数解析式组成方程组为
，
解得，
，，
两个函数交点坐标是和.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.已知三点坐标求函数解析式
3.已知顶点坐标或对称轴或最值求解析式
4.已知抛物线与x轴的两个交点求解析式
作业：
四、板书设计
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
探究一：已知三点坐标求函数解析式
探究二：已知顶点坐标或对称轴或最值求解析式
探究三：已知抛物线与x轴的两个交点求解析式
练习
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