21.2.1配方法（教案）初中数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程
21.2.1配方法
教学设计
一、教学目标
1.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方.
2.会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程.
3.通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
二、教学重难点
1. 教学重点
使学生能够熟练而准确地运用直接开平方法求一元二次方程的解
用配方法解数字系数的一元二次方程
2. 教学难点
探究的解的情况，培养分类讨论的意识；
原方程如何配方为的形式
三、教学过程
（一）新课导入
问题1
一桶油漆可刷的面积为，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程①，你能求出它的解吗？（老师提问划线问题）
整理，得.
根据平方根的意义，得，
即
可以验证，5和是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为.
（二）探索新知
一般地，对于方程（Ⅰ），如何求其根呢？
（1）当时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对认识实数，都有，所以方程（Ⅰ）无实数根.
探究一
对照上面解方程（Ⅰ）的过程，你认为应怎样解方程？
学生小组讨论，对照开头的问题解答.
在解方程（Ⅰ）时，由方程得.由此想到：由方程②
得，
即，或. ③
于是，方程的两个根为.
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
探究二
怎样解方程？
我们已经会解方程.因为它的左边是含有的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程转化为可以直接降次的形式在求解呢？
解方程的过程见下面的框图：
老师提问：为什么在方程的两边加9？加其他数行吗？
为了将方程的左边配成完全平方的形式，方程两边必须同时加上一次项系数一半的平方，即，使方程左边化成的形式，再运用直接开平方法求解.加其他数不行.
可以验证，是方程的两个根.
1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边时一个常数的形式，进而用直接开方平法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
例 解下列方程：（1）；（2）；（3）.
分析：（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
（2）先把方程化为.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方.
解：（1）移项，得.
配方，得，
.
由此可得，
.
（2）移项，得.
二次项系数化为1，得.
配方，得，
.
由此可得，，
.
（3）移项，得.
二次项系数化为1，得.
配方，得，
.
因为实数的平方不会是负数，所以取任何实数时，都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
2.可化为的形式的一元二次方程的根
（1）当，方程，有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对认识实数，都有，所以方程无实数根.
3.用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法 示例
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边.
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 ， 即.
四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方
练习
1.用配方法解方程：.
【答案】，
【解析】移项得，
配方得，即，
两边开方，得，
所以，.
2.已知：a是不等式的最小整数解，请用配方法解关于x的方程.
【答案】
【解析】解不等式,得,∴最小整数解为.将代入方程，得，配方，得.直接开平方，得.解得.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.直接开平方法解一元二次方程
3.配方法解一元二次方程
作业：
四、板书设计
21.2.1配方法
1.直接开平方法
2.方程的根
3.配方法
4.可化为的形式的一元二次方程的根
例题
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