21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）（教案）初中数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
教学设计
一、教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型
2.熟练掌握“增长率”型问题的解题规律，会检验所得的结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能力
二、教学重难点
1. 教学重点
正确列出一元二次方程并根据实际意义检验结果的合理性
2. 教学难点
准确判断“增长率”型问题中的数量关系，并找到相等关系
三、教学过程
（一）新课导入
问题引入：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是什么？
（二）探索新知
探究二 利用一元二次方程解决营销问题
例1 新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元.市场调研表明：当销售价位2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5000元.
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是元，每台冰箱的销售利润为元，平均每天销售冰箱的数量为台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决.
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得
整理，得：.
解方程，得：.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
例2 某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
分析：销售利润＝（每件售价－每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为元，销售量为件，根据等量关系列方程即可.
解：设每件商品涨价x元，根据题意，得.
即.
解得
经检验，都是原方程的解.
当时，售价为：（元），
销售量为：（件）.
因为要尽量减少库存，所以售价应为80元.
针对训练
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元，每盆应该值多少株？
思考：这个问题设什么为x？有几种设法？
如果直接设每盆值x株，怎样表示问题中相关的量？
如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？
解：设每盆花苗增加的株数为x株，则每盆花苗有株，平均单株盈利为元.根据题意，得.
整理，得.
解这个方程，得.
经检验，都符合题意.
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应植入4株或5株.
总结归纳：
利润问题常见关系式：
（1）；
（2）；
（3）
探究三 平均变化率问题与一元二次方程
填空：
1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是7%.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是4324.5元.
2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.
例3 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.
根据题意，列方程，得，
解方程，得.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
练一练：
前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？
解：设乙种药品的年平均下降率为y.
根据题意，列方程，得.
解方程，得.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
解后反思
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为元，乙种药品成本的年平均下降额为元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢
答：不能.能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
答：类似地这种增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为(其中增长取“+”，降低取“－”).
例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，则二月份营业额为：，三月份营业额为：.根据：一月、二月、三月的营业额共950万元.
作为等量关系列方程为：
解：设这个增长率为x.
根据题意，得.
整理方程，得，
解这个方程得（舍去），.
答：这个增长率为50%.
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
总结归纳：平均变化率问题中常见概念
1.增长率问题：，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题：，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
练习
1.某水稻科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.(注：1公斤＝1千克)
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的增长率；
（2）按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标是否可以实现.
答案：（1）
解析：设亩产量的增长率为x，根据题意得，
解得，(舍去).
答：亩产量的增长率为.
答案：（2）可以实现
解析：第四阶段的亩产量为(公斤).
，
他们的目标可以实现.
2.为积极响应国家“双减”政策，鼓励教师积极参与课后服务工作，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次.
（1）如果第二批、第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）如果按照(1)中的增长率，预计第四批公益课受益学生数将达到多少万人次
答案：（1）这个增长率为10%
解析：设这个增长率为x，依题意得：，
解得，(不合题意，舍去)，
经检验，符合题意，
答：这个增长率为10%.
答案：（2）预计第四批公益课受益学生数将达到2.662万人次
解析：(万人次)，
答：预计第四批公益课受益学生数将达到2.662万人次.
3.2021年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得某县的一个电子器件厂扭亏为盈.该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的成本是200元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的成本降低到162元/个.
(1)若这两年此类电脑显卡成本下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
(2)2021年某商场以高于成本价10%的价格购进若干个此类电脑显卡，以216.2元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1120元，单价应降低多少元
解析：(1)设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去)，
答：平均下降率为10%.
(2)设单价应降低m元，
则每个的销售利润为元，
每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，.
为了减少库存，，
答：单价应降低18元.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.增长率问题中体现了怎样的规律？怎样用式子表达？
3.在解决本节课出现的实际问题时你有什么收货？特别是在检验根时值得注意的地方有哪些？
作业：
四、板书设计
21.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
例题
1.增长率问题：，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题：，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
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