初中数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程（第3课时） 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程（第3课时） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 497.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-27 12:42:23 | ||
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文档简介
第二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）
教学设计
一、教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型
2.能根据几何图形的周长或面积公式，通过建立一元二次方程来解决几何问题，会检验所得结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述.
二、教学重难点
1. 教学重点
运用一元二次方程探索并解决实际问题
2. 教学难点
准确判断几何图形中的数量关系，并找到相等关系
三、教学过程
（一）新课导入
问题引入：假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它的总面积达到3500 cm2，设木框宽度为x cm，你能列出等式吗？
（二）探索新知
探究四 利用一元二次方程解决几何图形问题
如图，要设计一本书的封面，封面长为27 cm，宽为21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
分析：（教师给出问题，学生思考回答）
（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推.
设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是.
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算
（3）解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
原方程可化为，
，.
（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？
符合实际意义.
当时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况.
思考：如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？
设中央矩形的长为9x cm，则宽为7x cm.
列方程得，即，
解得，（舍去）.
所以上、下边衬的宽为（cm），
左、右边衬的宽为（cm）.
练习：要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
设相框宽度为x cm，根据题意，得.
整理得，解得.
，（不合题意，舍去）.
.
答：相框的宽度约为1.5 cm.
典例精析
例1 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
解：设道路的宽为x m，可列方程.
整理，得，
解得，.
当时，，不合题意，舍去.
.
答：道路的宽为2 m.
思考还有其他列方程的方法吗？
方法二：
解：设道路的宽为x m.
可列方程，
整理，得，
解得，.
当时，，不合题意，舍去.
.
答：道路的宽为2 m
结论：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
例2 如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC各是多少米？
解：设AB长是x m.
则，
即.
解得，.
当时，；
当时，.
答：羊圈的边长AB和BC各是25m，8m，4m，50m.
结论：围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解．需要注意联系实际问题选择合适的解．
例3 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为9 cm ？
解：若设出发x s后可使的△PCQ的面积为9 cm2
根据题意得，，，
列方程，
整理，得，
解得.
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9 cm2
练习
1.如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48cm2，求该有盖纸盒的高.(单位：cm)
解析：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得，
化简，得：，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为.
2.如图，在中，.现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为，求:
(1)用含t的代数式表示的面积S;
(2)当时，两点之间的距离是多少
(3)当t为多少秒时，
解析：(1)运动的时间，则，，
.
又
.
的面积.
(2)当时，,,
(3)依题意得,整理得,
解得.
为2 s或3 s时，.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.在解决面积问题时我们还学到了图形变换的方法，谁能来总结一下？
3.你认为在利用一元二次方程这个数学模型时，关键点或要注意的是什么？
作业：
四、板书设计
21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）
探究四
方法一
方法二
例题
2
21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）
教学设计
一、教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型
2.能根据几何图形的周长或面积公式，通过建立一元二次方程来解决几何问题，会检验所得结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程进行描述.
二、教学重难点
1. 教学重点
运用一元二次方程探索并解决实际问题
2. 教学难点
准确判断几何图形中的数量关系，并找到相等关系
三、教学过程
（一）新课导入
问题引入：假如有一幅画长60cm，宽40cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它的总面积达到3500 cm2，设木框宽度为x cm，你能列出等式吗？
（二）探索新知
探究四 利用一元二次方程解决几何图形问题
如图，要设计一本书的封面，封面长为27 cm，宽为21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
分析：（教师给出问题，学生思考回答）
（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推.
设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是.
（2）设上、下边衬的宽均为9x cm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算
（3）解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
原方程可化为，
，.
（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？
符合实际意义.
当时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况.
思考：如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？
设中央矩形的长为9x cm，则宽为7x cm.
列方程得，即，
解得，（舍去）.
所以上、下边衬的宽为（cm），
左、右边衬的宽为（cm）.
练习：要为一幅长29 cm，宽22 cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，相框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
设相框宽度为x cm，根据题意，得.
整理得，解得.
，（不合题意，舍去）.
.
答：相框的宽度约为1.5 cm.
典例精析
例1 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
解：设道路的宽为x m，可列方程.
整理，得，
解得，.
当时，，不合题意，舍去.
.
答：道路的宽为2 m.
思考还有其他列方程的方法吗？
方法二：
解：设道路的宽为x m.
可列方程，
整理，得，
解得，.
当时，，不合题意，舍去.
.
答：道路的宽为2 m
结论：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．
例2 如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用58 m的围栏围成面积为200 m2的矩形羊圈，则羊圈的边长AB和BC各是多少米？
解：设AB长是x m.
则，
即.
解得，.
当时，；
当时，.
答：羊圈的边长AB和BC各是25m，8m，4m，50m.
结论：围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用x表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解．需要注意联系实际问题选择合适的解．
例3 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为9 cm ？
解：若设出发x s后可使的△PCQ的面积为9 cm2
根据题意得，，，
列方程，
整理，得，
解得.
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9 cm2
练习
1.如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48cm2，求该有盖纸盒的高.(单位：cm)
解析：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得，
化简，得：，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为.
2.如图，在中，.现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动的时间为，求:
(1)用含t的代数式表示的面积S;
(2)当时，两点之间的距离是多少
(3)当t为多少秒时，
解析：(1)运动的时间，则，，
.
又
.
的面积.
(2)当时，,,
(3)依题意得,整理得,
解得.
为2 s或3 s时，.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.在解决面积问题时我们还学到了图形变换的方法，谁能来总结一下？
3.你认为在利用一元二次方程这个数学模型时，关键点或要注意的是什么？
作业：
四、板书设计
21.3实际问题与一元二次方程（第3课时）
探究四
方法一
方法二
例题
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