1.3.2空间向量运算的坐标表示 教学设计

第一章 空间向量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
教学设计
1.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
2.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.
3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
教学重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
教学难点：向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
新知积累
1.空间向量运算的坐标表示
设，，则
，
，
，，
.
2.空间向量数量积运算的坐标表示的证明
设为空间的一个单位正交基底，则，，所以，利用向量数量积的分配律以及，，得.
3.空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示
当时，，，；
；
；
.
4.空间两点间的距离公式
设，是空间中任意两点，则.
所以.这就是空间两点间的距离公式.
例题巩固
例1 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，求证.
证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则，，所以.
又，，所以.
所以，
所以，即.
例2 如图，在棱长为1的正方体中，M为的中点，分别在棱，上，，.
（1）求AM的长.
（2）求与所成角的余弦值.
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则点A的坐标为，点M的坐标为，
于是.
（2）由已知，得，，，，
所以，，
，，
所以，
所以.
所以，与所成角的余弦值是.
课堂练习
1.若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于( ).
A.0 B. C.0或 D.0或
答案：C
解析：由题意得，解得或.故选C.
2.已知，，点在直线上，且，设.若，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设，则，，，，，，即，，，，.故选B.
3.如图，在直棱柱中，，，，M是的中点，点N在上.
（1）求证：；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）若，求点M，N之间的距离.
解析：（1）如图，以C为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，
所以，，
所以，从而.
（2）因为，，
所以，，，
所以.
因此与所成角的余弦值为.
（3）设，则，，
由，得，
所以当时，点N的坐标为，
又，所以.
小结作业
小结：本节课学习了空间向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
作业：完成本节课课后习题.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算的坐标表示
2.空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示
3.空间两点间的距离公式