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双基限时练(二十四)
1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B. 二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析 由表知自变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为一次函数模型．
答案 A
2.
甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
答案 D
3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费 ( http: / / www.21cnjy.com )由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是小于或等于m的最大整数，如[4]＝4，[2.7]＝2，[3.8]＝3，从甲地到乙地通话时间为6.5分钟的话费为( )
A．3.71 B．3.97
C．4.24 D．4.77
解析 由题意可知，[6.5]＝6，代入公式f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24，故选C.21cnjy.com
答案 C
4．某居民小区收取冬季取暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：
(1)按照使用面积缴纳每平方米20元；
(2)按照建筑面积缴纳每平方米16元．
李明家的使用面积为80平方米，如果他家选用第(2)种方案缴纳取暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过( )
A．90平方米 B．100平方米
C．110平方米 D．120平方米
答案 B
5.
某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平 ( http: / / www.21cnjy.com )方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的图象如右图所示，给出以下命题：www.21-cn-jy.com
①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；
②到第7个月浮草的面积一定能超过60平方米；
③浮草每月增加的面积都相等；
④若浮草面积达到4平方米，16平方米，64平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
解析 由题图知，y＝2t－1，当t＝0时，y＝＝0.5，
∴①正确．当t＝7时，y＝26＝64>60，∴②正确，③显然不正确．
当y＝4,16,64时，t1＝3，t2＝5，t3＝7，∴t1＋t2>t3.
∴④不正确，综上知①②正确，故选A.
答案 A
6．某城市出租汽车的收费标准是 ( http: / / www.21cnjy.com )：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5,6) B．(5,6]
C．[6,7) D．(6,7]
解析 设陈先生此趟行程为x千米(x∈Z)，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5,6]．21教育网
答案 B
7．下表是某工厂产品的销售价格表：
一次购买件数 1～10件 11～50件 51～100件 101～300件 300件以上
每件价格(单位：元) 37 32 30 27 25
某人有现金2900元，则最多可购买这种产品__________件．
解析 按每件27元购买，可买107件．
答案 107
8．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格为________元．
解析 依题意可得8100(1－)3＝8100×3＝2400(元)．
答案 2400
9．一个人喝了少量酒后，血液中的酒 ( http: / / www.21cnjy.com )精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
解析 设至少经过x小时才能开车，由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.21世纪教育网版权所有
答案 5
10．某商人将进货单价为8元 ( http: / / www.21cnjy.com )的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个．现在他采取提高售价减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？最大利润是多少？
解 设每件商品涨价x元，则售价为(10＋x)元，每件可获利(2＋x)元，由题意可得每天可获利润
y＝(2＋x)(100－10x)
＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)
∴当x＝4时，y有最大值．
即每件商品定价14元时，才能获得最大利润，最大利润是360元．
11．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与 ( http: / / www.21cnjy.com )它的强度有关系．声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：LI＝10·lg(单位为分贝：LI≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：2·1·c·n·j·y
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W ( http: / / www.21cnjy.com )/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少．
解 (1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是
I1＝1×10－12 W/m2，则＝1，所以LI1＝10lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102，所以LI2＝10lg102＝20，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8 W/m2，则＝104，21·cn·jy·com
所以，LI3＝10lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．
(2)由题意知：0≤L1<50即0≤10lg<50，
所以，1≤<105，即10－12≤I<10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12 W/m2，同时应小于10－7 W/m2.
12．某地有甲、乙两家乒乓球俱 ( http: / / www.21cnjy.com )乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．21·世纪*教育网
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费 ( http: / / www.21cnjy.com )为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)．www-2-1-cnjy-com
(2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？
解 (1)依题意得f(x)＝5x(15≤x≤40)，
g(x)＝
(2)f(x)－g(x)＝
易知：当15≤x<18时，f(x)－g(x)<0，
∴f(x)当x＝18时，f(x)－g(x)＝0.
∴f(x)＝g(x)，即选甲家和乙家都一样；
当180，
∴f(x)>g(x)，即选乙家；
当300，
∴f(x)>g(x)，即选乙家．
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双基限时练(二十二)
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案 D
2．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析 因为y＝f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴f(x)＝0的四个根，为两正两负，且关于原点对称，其和为0.
答案 A
3．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )21世纪教育网版权所有
A．[1,4] B．[－2,1]
C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]
解析 因第一次所取的区间是[－2,4] ( http: / / www.21cnjy.com )，所以第二次的区间可能是[－2,1]、[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有选项D在其中，故选D.2·1·c·n·j·y
答案 D
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：www.21-cn-jy.com
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984 f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162 f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
解析 由参考数据知，f(1. ( http: / / www.21cnjy.com )40625)≈－0.054，f(1.4375)≈0.162，即f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 D
5．设函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 令f(x)＝x3－x－2，则f(2)＝23－0＝7，f(1)＝1－－1＝1－2＝－1，∴f(1)·f(2)<0.21·cn·jy·com
故f(x)＝x3－x－2在区间(1,2)内有零点．
答案 B
6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 …
y＝x2 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 …
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.,3.0)
解析 设f(x)＝2x－x ( http: / / www.21cnjy.com )2，根据列表有f(0.2)>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．21cnjy.com
答案 C
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间为________．21教育网
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)>0，所以下一个有根区间是[2,2.5]．
答案 [2,2.5]
8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a＋b＝________.2-1-c-n-j-y
解析 令f(x)＝x3－x＋1，则f(－1)＝－1＋1＋1＝1>0，f(－2)＝(－2)3＋2＋1＝－5<0， 21*cnjy*com
∴f(x)在(－2，－1)内有一个零点，这里a＝－2，b＝－1.
∴a＋b＝－3.
答案 －3
9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.575)≈0.067
f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)为________．
解析 注意到f(1.5562)≈－0.02 ( http: / / www.21cnjy.com )9和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)·f(1.5625)<0，且|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，故方程3x－x－4＝0的一个近似解可取1.5625(或1.5562)．21·世纪*教育网
答案 1.5625(或1.5562)．
10．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般是最多需要检查多少个接点？www-2-1-cnjy-com
解 先检查中间的1个接点，若正常，则可判断故 ( http: / / www.21cnjy.com )障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．
11．证明函数f(x)＝lnx＋4x－5在(0，＋∞)内仅有一个零点．
证明 设x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋4x1－5)－(lnx2＋4x2－5)
＝lnx1－lnx2＋4x1－4x2＝ln＋4(x1－x2)．
∵x1>x2>0，∴>1.
∴ln>0,4(x1－x2)>0.
∴f(x1)－f(x2)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又f(1)＝0＋4－5＝－1<0，
f(e)＝1＋4e－5>0，
∴f(x)在(1，e)内有一个零点．
由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以f(x)＝lnx＋4x－5在(0，＋∞)上只有一个零点．
12．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)
解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，
f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，
∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.15625<0，
∴f(0.75)·f(1)<0.即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0.即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.8125，f(0.8125)＝0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.8125)<0，
即x0∈(0.75,0.8125)，
而|0.8125－0.75|<0.1.
所以，f(x)的零点的近似值可取为0.75.
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双基限时练(二十)
1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上( )
A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数
解析 ∵f(x)＝x3为奇函数．
∴y＝f(－x)＝－f(x)＝－x3.
∴y＝f(－x)在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B.
答案 B
2．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 仅有α＝－1时，f(x)＝x－1满足题意，因此选A.
答案 A
3．已知幂函数y＝xm在第一象限内的图象，如图所示．已知m取2，－2，，－四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的m依次是( )21教育网
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
解析 由图象知，相应于曲线C1，C2，C3，C4的幂依次从大到小排列，∴选B.
答案 B
4．函数y＝x的图象大致是( )
解析 由于>1，故可排除选项A，D.根据幂函数的性质可知，当a>1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C，只有选项B正确．21·cn·jy·com
答案 B
5．函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过定点P，P在幂函数f(x)的图象上，则f(9)＝( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C．3 D．9
解析 由loga1＝0，对任意a>0且a≠1都成立知，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过定点，2·1·c·n·j·y
设f(x)＝xα，则＝2α，故α＝－，
所以f(x)＝x eq \s\up15(－ ) ，所以f(9)＝9 eq \s\up15(－ ) ＝3－1＝.
答案 A
6．设a＝ eq \s\up15( ) ，b＝ eq \s\up15( ) ，c＝ eq \s\up15( ) ，则( )
A．aC．b解析 构造幂函数y＝x eq \s\up15( ) (x∈R)，则 ( http: / / www.21cnjy.com )该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，所以aa>b.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 D
7．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析 由y＝(m－1)xm2－m为幂函数， ( http: / / www.21cnjy.com )得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．21·世纪*教育网
答案 ②
8．给出以下列结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝aα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．21cnjy.com
则正确结论的序号为________．
解析 当α＝0时，函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．www-2-1-cnjy-com
答案 ④
9．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n>n，则n＝________.
解析 ∵－<－，且n>n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数．
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，
∴n＝－1，或n＝2.
答案 －1或2
??10.已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
解 (1)∵f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
11．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)解 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)12．已知幂函数y＝x3－p(p∈N* ( http: / / www.21cnjy.com ))的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a＋1) eq \s\up15() <(3－2a) eq \s\up15() 的实数a的取值范围．21世纪教育网版权所有
解 ∵幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，∴函数y＝x3－p是偶函数．
又y＝x3－p在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p是偶数且3－p>0，
∵p∈N*，∴p＝1，
∴不等式(a＋1) eq \s\up15() <(3－2a) eq \s\up15() 化为：
(a＋1) eq \s\up15( ) <(3－2a) eq \s\up15( ) .
∵函数y＝是[0，＋∞)上的增函数，
∴ －1≤a<，故实数a的取值范围为.
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双基限时练(二十一)
1．函数y＝x3－64x的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 解方程x3－64x＝0知有3个根，∴函数有3个零点．
答案 D
2．若函数y＝f(x)在区间(－2, ( http: / / www.21cnjy.com )2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
答案 D
3．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的大致区间是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵f＝＋lg－3＝lg－<0，
f(2)＝2＋lg2－3＝lg2－1<0，
f＝＋lg－3＝lg－<0，f(3)＝3＋lg3－3＝lg3>0，f＝＋lg－3＝＋lg>0，21世纪教育网版权所有
又f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，故选C.
答案 C
4．设f(x)＝x3＋bx＋c定义域是[－2,2]，且f(－1)f(1)<0，则方程x3＋bx＋c＝0在[－2,2]内( )21教育网
A．有唯一的实数根 B．有两个实数根
C．有3个实数根 D．至少有一个实数根
答案 D
5．已知函数f(x)＝log2x－x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零
解析 因为x0是方程f(x)＝0的解， ( http: / / www.21cnjy.com )所以f(x0)＝0，又因为函数f(x)＝log2x－x在(0，＋∞)为增函数，且0答案 A
6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是方程f(x)＝0的两根，则a，b，α，β的大小关系可能是( )2·1·c·n·j·y
A．a<αC．α解析 f(a)＝－2，f(b)＝－2，而f(α)＝f(β)＝0，如图所示，所以a，b，α，β的大小关系有可能是α答案 C
7．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为________．
解析 令lnx－x2＋2x＋5 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0得lnx＝x2－2x－5，画图可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 2
8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
f(x) －1.25 2 2.25 1 －0.25 0 3.25
则函数f(x)的零点个数至少有________个．
解析 观察对应值表可知：在区间(－1.5，－1)，(0,0.5)上和x＝1处各有一个零点，所以至少有3个零点．www-2-1-cnjy-com
答案 3
9．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)上恰有一个零点，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：
①f(0)·f(1)<0或②且其解在(0,1)上，
由①得(－1)(2a－2)<0，∴a>1，
由②得1＋8a＝0，即a＝－，
∴方程－x2－x－1＝0，∴x2＋4x＋4＝0，
即x＝－2 (0,1)应舍去，综上得a>1.
答案 a>1
10．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，求正整数k.
解 设f(x)＝ln x＋x－4，则x ( http: / / www.21cnjy.com )0是其零点，f(1)＝ln1＋1－4<0，f(2)＝ln2＋2－4ln e－1＝0，f(2)·f(3)<0，故x0∈(2,3)，∴k＝2.www.21-cn-jy.com
11．求证：方程5x2－7x－1＝0的一根在区间(－1,0)，另一个根在区间(1,2)上．
证明 设f(x)＝5x2－7x－1，则f( ( http: / / www.21cnjy.com )－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.21·世纪*教育网
∵f(－1)·f(0)＝－11<0，f(1)·f(2)＝－15<0，且f(x)＝5x2－7x－1在R上是连续不断的，2-1-c-n-j-y
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，
若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
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双基限时练(二十三)
1．某公司为了适应市场需 ( http: / / www.21cnjy.com )求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析 一次函数匀速增长，二次函数和指数型函数都是开始增长慢，以后增长越来越快，只有对数型函数增长先快后慢．
答案 D
2．一辆匀速行驶的火车90 min行驶180 km，则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )21世纪教育网版权所有
A．y＝2t B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)
解析 90 min＝1.5 h，∴y＝t＝120t(t≥0)，故选D.
答案 D
3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y之间的函数关系为( )
A．y＝0.9576 eq \s\up15() B．y＝0.9576100x
C．y＝()x D．y＝1－0.042
解析 特殊值法，取x＝100代入选项，只有A正确．
答案 A
4．某地区植被被破坏，土地沙化越来 ( http: / / www.21cnjy.com )越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析 将题中所给三个数据代入解析式知，函数y＝较为接近．
答案 C
5．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．2x>x eq \s\up15( ) >lgx B．2x>lgx>x eq \s\up15( )
C．x eq \s\up15( ) >2x>lgx D．lgx>x eq \s\up15( ) >2x
解析 结合y＝2x，y＝x eq \s\up15( ) 及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x eq \s\up15( ) >lgx.
答案 A
6．甲、乙两人沿着同一方 ( http: / / www.21cnjy.com )向去B地，途中两人的速度都是v1或v2(v1A．① B．③
C．①或④ D．①或②
解析 ∵v1答案 D
7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如下表：
x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00
y1 5 135 625 1715 3645 6655
y2 5 29 245 2189 19685 177149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．
答案 y3 y2 y1
8．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析 设1月份产量为a，则12月份的产量为7a，月平均增长率为x，
∴a×(1＋x)11＝7a，∴x＝－1.
答案 －1
9．近几年由于北京房价的上涨，引起 ( http: / / www.21cnjy.com )了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购物得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．21教育网
解析 一年后的价格为180＋180·x＝180(1＋x)．
两年后的价格为180(1＋x)＋180(1＋x)·x
＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为180(1＋x)10.
答案 180(1＋x)10
10．函数f(x)＝1.1x，g ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝lnx＋1，h(x)＝x eq \s\up15( ) 的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．21·cn·jy·com
解 由指数爆炸、对数增长、幂函数增 ( http: / / www.21cnjy.com )长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x eq \s\up15( ) ，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.www.21-cn-jy.com
由题意知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
11．某家庭进行理财投资， ( http: / / www.21cnjy.com )根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．2·1·c·n·j·y
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系．
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解 (1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，所以f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设投资债券类产品x万元，则股票类投资为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)
＝＋(0≤x≤20)
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，最大收益是3万元．
因此，当投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时，收益最大，最大收益是3万元．
12．某地区今年1月，2月，3 ( http: / / www.21cnjy.com )月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？【来源：21·世纪·教育·网】
解 依题意，得
即解得
∴甲：y1＝x2－x＋52，
又
①－②，得p·q2－p·q1＝2 ④
②－③，得p·q3－p·q2＝4 ⑤
⑤÷④，得q＝2，
将q＝2代入④式，得p＝1，
将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，
∴乙：y2＝2x＋50，
计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；
当x＝5时，y1＝72，y2＝82；
当x＝6时，y1＝82，y2＝114.
可见，乙选择的模型较好．
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