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双基限时练(一)
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．所有直角三角形
B．抛物线y＝x2上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程
D．充分接近的所有实数
解析 A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性．
答案 D
2．给出下列关系：
①∈R；② R；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①③正确．
答案 B
3．已知集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a＝A
C．a A D．a∈A
答案 D
4．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取( )
A．1 B．－1
C．－1和1 D.1或－1
解析 由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.
答案 C
5．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
解析 从四个选项来看，本题是判断0和2与 ( http: / / www.21cnjy.com )集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.21·cn·jy·com
答案 B
6．已知集合A中含1和a2＋a＋1两个元素，且3∈A，则a3的值为( )
A．0 B．1
C．－8 D．1或－8
解析 3∈A，∴a2＋a＋1＝3，即a2＋a－2＝0，
即(a＋2)(a－1)＝0，
解得a＝－2，或a＝1.
当a＝1时，a3＝1.
当a＝－2时，a3＝－8.
∴a3＝1，或a3＝－8.
答案 D
7．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
解析 当ab>0时，＋＝2或－2.当ab<0时，＋＝0，因此集合中含有－2,0,2三个元素．21世纪教育网版权所有
答案 3
8．以方程x2－5x＋6＝0和x2－6x＋9＝0的解为元素的集合中所有元素之和等于________．21教育网
解析 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2， ( http: / / www.21cnjy.com )或x＝3，方程x2－6x＋9＝0的解为x＝3，∴集合中含有两个元素2和3，∴元素之和为2＋3＝5.www.21-cn-jy.com
答案 5
9．集合M中的元素y满足y∈N，且y＝1－x2，若a∈M，则a的值为________．
解析 由y＝1－x2，且y∈N知，
y＝0或1，∴集合M含0和1两个元素，又a∈M，
∴a＝0或1.
答案 0或1
10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解 (1)由集合中元素的互异性可知，
解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.
11．已知集合A含有三个元素2，a，b，集合B含有三个元素2,2a，b2，若A与B表示同一集合，求a，b的值．
解 由题意得或
解得或或或
由集合中元素的互异性知，
或
12．数集M满足条件：若a∈M，则∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M，则在M中还有三个元素是什么？21cnjy.com
解 ∵3∈M，∴＝－2∈M，
∴＝－∈M，
∴＝＝∈M.
又∵＝3∈M，
∴在M中还有三个元素－2，－，.
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双基限时练(二)
1．设集合M＝{x∈R|x≤3}，a＝2，则( )
A．a M B．a∈M
C．{a}∈M D．{a} M
解析 (2)2－(3)2＝24－27<0，故2<3.所以a∈M.
答案 B
2．若P＝{(2,1)，(1,2)}，则集合P中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 (2,1)，(1,2)为两个不同元素，共2个．
答案 B
3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析 ∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，
∴x＝1,2,3,4.故选B.
答案 B
4．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}
C．{x＝1} D．{1}
解析 A、B、D选项表示的集合都是{1}，
而C选项表示含有一个方程的集合．
答案 C
5．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是指( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第一、三象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
解析 xy<0表示x>0，且y<0，或x<0，且y>0.因此集合M表示第二、四象限内的点集．
答案 D
6．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )21世纪教育网版权所有
A．3 B．6
C．8 D．10
解析 ∵x∈A，y∈A，x－y∈A，
∴满足条件的(x，y)有(2,1)，(3,2 ( http: / / www.21cnjy.com ))，(4,3)，(5,4)，(3,1)，(4,2)，(5,3)，(4,1)，(5,2)，(5,1)，共10个．21教育网
答案 D
7．{(x，y)|x＋y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )6，x，y∈N}用列举法表示为________________________________________________________________________________________________________________________________________________.21·cn·jy·com
答案 {(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A且a∈B，则a为________．www.21-cn-jy.com
解析 ∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2,5)．
答案 (2,5)
9．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．2·1·c·n·j·y
解析 ∵－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
∴－5是方程x2－ax－5＝0的根．
∴(－5)2＋5a－5＝0，a＝－4.
∴x2－4x－a＝0，即x2－4x＋4＝0.
∴x1＝x2＝2.
又∵集合中的元素是互异的，
∴{x|x2－4x－a＝0}＝{2}．
答案 2
10．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值小于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x<5，且x∈Z}；
(4){－3，－1,1,3,5}．
解 (1)列举法表示为{－1,0,1}．
(2)列举法表示为{3,6,9}．
(3)列举法表示为{0,1,2,3,4}．
(4)描述法表示为{x|x＝2n－1，－1≤n≤3，n∈Z}．
11．下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
解 (1)是互不相同的集合．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，
∴{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1.
∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合；也可以认为是坐标平面内的点(x，y)，由于这些点的坐标满足y＝x2＋1，21cnjy.com
∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{抛物线y＝x2＋1上的点}．
12．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.
(1)若1∈A，用列举法表示A；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.
解 (1)∵1∈A，∴1是方程ax2＋2x＋1＝0的根．
∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.
∴方程为－3x2＋2x＋1＝0.
∴x1＝1，x2＝－，此时A＝.
(2)若a＝0，则方程化为2x＋1＝0，x＝－，
A中仅有一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素；当且仅当Δ＝4－4a＝0，
即a＝1，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1.
∴所求集合B＝{0,1}．
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双基限时练(三)
1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )
A．0∈A B．{1}∈A
C． A D．{0,1} A
解析 “∈”表示元素与集合的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，故A正确；空集是任何集合的子集，故C正确；因为A＝{0,1}，所以{0,1} A，故D正确；{1} A，故B不正确．21世纪教育网版权所有
答案 B
2．下列命题
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若 ?A，则A≠ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 仅有④正确．
答案 B
3．集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，则下列关系中正确的是( )
A．P?Q B．P＝Q
C．P Q D．P?Q
解析 P＝{x|y＝x2}＝R，Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，
∴Q?P.即P?Q.
答案 D
4．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最合适的关系是( )21教育网
A．A B B．A B
C．A?B D．A?B
解析 显然B是A的真子集，因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍．
答案 D
5．已知A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析 A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．
答案 C
6．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，如果Q P，那么a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析 当a＝0时，Q＝ ，适合题意，∴选D.
答案 D
7．若A＝，B＝{(x，y)|y＝ax2＋1}，且A B，则a＝________.
解析 A＝＝{(2，－1)}，
∵A B，
∴－1＝a×22＋1，∴a＝－.
答案 －
8．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x
解析 将数集A标在数轴上，如图所示，要满足A?B，表示数m的点必须在表示3的点的右边，故m>3.
答案 m>3
9．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．21·cn·jy·com
解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．www.21-cn-jy.com
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0时，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
答案 {0,1，－1}
10．右图所示的韦恩(Venn)图中反 ( http: / / www.21cnjy.com )映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？2·1·c·n·j·y
解 由Venn图知，B，C，D，E均为A的 ( http: / / www.21cnjy.com )子集，且E D，D C.∵梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，∴A＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，∴B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，21·世纪*教育网
∴D＝{菱形}，E＝{正方形}．
11．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B A，求实数a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
解 A＝{－3,2}．对于x2＋x＋a＝0，
①当Δ＝1－4a<0，即a>时，B＝ ，B A成立；
②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，
B＝，B A不成立；
③当Δ＝1－4a>0，即a<时，若B A成立，
则B＝{－3,2}，∴a＝－3×2＝－6.
综上：a的取值范围为a>或a＝－6.
12．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若 A B，求m的取值范围．
解 化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)
(2)①当m≤－2时，B＝ A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1则只要 －1≤m≤2.
综上所述，知m的取值范围是：
{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
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双基限时练(五)
1．已知全集U＝{0,1,2}，且 UA＝{0}，则集合A＝( )
A．{0,1,2} B．{1,2}
C．U D．
解析 ∵U＝{0,1,2}，且 UA＝{0}，∴A＝{1,2}．
答案 B
2．设全集U＝R，集合A＝{x|x＋1＞0}，则 UA是( )
A．{x|x＜－1} B．{x|x＋1≤0}
C．{x|x＞－1} D．{x|x＋1≥0}
解析 x＋1>0 x>－1，∵U＝R，∴ UA＝{x|x≤－1}，
即 UA＝{x|x＋1≤0}．
答案 B
3．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )www.21-cn-jy.com
A．{1,3,5} B．{1,2,3,4,5}
C．{7,9} D．{2,4}
解析 图中阴影部分表示的集合是( UA)∩B＝{2,4}．
答案 D
4．已知全集U，M，N是U的非空子集，且 UM N，则必有( )
A．M UN B．M? UN
C． UM＝ UN D．M＝N
解析 用韦恩图表示
答案 A
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5} ( http: / / www.21cnjy.com )，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，∴ U(A∪B)＝{3,5}，故选B.
答案 B
6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪( RB)＝R，则实数a的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．a≤1 B．a＜1
C．a≥2 D．a＞2
解析 用数轴表示为：
RB＝{x|x≤1，或x≥2}，
又A∪( RB)＝R，∴a≥2.
答案 C
7．已知A＝{x|x≤1，或x>3}，B＝{x|x>2}，则( UA)∪B＝________.
解析 UA＝{x|1∴( UA)∪B＝{x|x>1}．
答案 {x|x>1}
8．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x<3，或x>4}，则a＝________，b＝________.21教育网
答案 3 4
9．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则 U(A∪B)＝________.21cnjy.com
解析 依题意得，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}．
∴A∪B＝{1,3,5,6,7}
∴ U(A∪B)＝{2,4,8}．
答案 {2,4,8}
10．设全集U＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}， UA＝(2，y)，求x，y的值．
解 ∵A U，∴5∈U.
∴x2＋2x－3＝5，即
x2＋2x－8＝0，解得x＝－4，或x＝2.
∴U＝{2,3,5}，
∵ UA＝{2，y}，∴y∈U，且y A，
∴y＝2，或y＝3.
由 UA中元素的互异性知，y≠2，∴y＝3.
综上知，x＝－4或x＝2，y＝3.
11．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪ RA＝R，B∩ RA＝{x|0解析 ∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪ RA＝R，A∪ RA＝R，可得A B.
而B∩ RA＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|012．设全集为R，集合A＝{x|a≤x≤a＋3}， RB＝{x|－1≤x≤5}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围．
解 ∵全集为R， RB＝{x|－1≤x≤5}，
∴B＝{x|x＜－1，或x＞5}．
(1)若A∩B＝ ，则
∴－1≤a≤2.
(2)若A∩B＝A，则A B，结合数轴得
a＋3＜－1，或a＞5，即a＜－4，或a＞5.
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双基限时练(四)
1．设X＝{0,1,2,4,5,7}，Y＝{1,4,6,8,9}，Z＝{4,7,9}，则(X∩Y)∪(X∩Z)等于( )2·1·c·n·j·y
A．{1,4} B．{1,7}
C．{4,7} D．{1,4,7}
解析 ∵X∩Y＝{1,4}，X∩Z＝{4,7}，
∴(X∩Y)∪(X∩Z)＝{1,4,7}．
答案 D
2．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B等于( )
A．{x＝1，或y＝2} B．{1,2}
C．{(1,2)} D．(1,2)
解析 可用排除法，A∩B是点集，可排除A、B、D，必选C，也可用直接法．
答案 C
3．已知集合M＝{x|－3－3}，则M∪N等于( )
A．{x|x<－5，或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
解析 如图所示．
A∪B＝{x|x<－5，或x>－3}．
答案 A
4．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或 B．0或3
C．1或 D．1或3
解析 由A∪B＝A得B A，所以有 ( http: / / www.21cnjy.com )m＝3或m＝.由m＝得m＝0或1，经检验，m＝1时B＝{1,1}不符合集合元素的互异性，m＝0或3时符合．21·cn·jy·com
答案 B
5．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
解析 A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，由题意可知，阴影部分即为A∩B，故A∩B＝{2}．21cnjy.com
答案 A
6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1解析 ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x－1.
答案 C
7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 如图，
要使A∪B＝R，只要a不大于1，∴a≤1.
答案 a≤1
8．设集合A＝{(x，y)|a1x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b1y＋c1＝0}，B＝{(x，y)|a2x＋b2y＋c2＝0}，则方程组的解集是________，方程(a1x＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)＝0的解集是________．21·世纪*教育网
答案 A∩B A∪B
9．设集合A＝{5，a＋1}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析 ∵A∩B＝{2}，∴2∈A，故a＋1＝2，a＝1，
即A＝{5,2}；又2∈B，∴b＝2，即B＝{1,2}，
∴A∪B＝{1,2,5}．
答案 {1,2,5}
10．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.21世纪教育网版权所有
解 ∵B (A∪B)，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.
解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
11．若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，求使A∩B＝A成立时a的所有值．21教育网
解 ∵A∩B＝A，∴A B，由数轴知
∴6≤a≤9.
12．已知集合A＝{x|x2－ax＋a ( http: / / www.21cnjy.com )2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a取何实数时，A∩B≠ 与A∩C＝ 同时成立．www.21-cn-jy.com
解 B＝{2,3}，C＝{2，－4}．∵A∩B≠ ，
∴2或3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．
又∵A∩C＝ ，
∴2和－4都不是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．
∴3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．
∴a2－3a－10＝0，∴a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{－5,3}满足题意．
当a＝5时，A＝{2,3}，此时A∩C≠ ，
∴a＝5不满足题意，舍去．
综上知a＝－2.
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