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双基限时练(十五)
1．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线( )
A．有0条 B．有一条
C．有2条 D．有无数条
答案 A
2．过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( )
A．1 B．2
C．无数 D．1或无数
解析 当a⊥α时，过a与平面α垂直的平面有无数个；当a不垂直α时，过a与平面α垂直的平面有一个．
答案 D
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交，但不垂直
D．以上都有可能
解析 垂直同一平面的两个平面，相交、平行都有可能．
答案 D
4．若两条直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能有一个，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析 当a⊥b时，存在一个．当a不垂直b时，不存在．
答案 B
5．自二面角内任一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．无法确定
解析 根据平面四边形内角和等于360°知，它们互补．
答案 B
6．在四面体ABCD中，若有两组对棱互相垂直，则另一组对棱所成的角为________．
解析 借助于正方体做出判断 ( http: / / www.21cnjy.com )．如图所示，在四面体ABCD中，有AB⊥CD，AC⊥BD.另一组对棱BC⊥AD.因此，另一组对棱所成的角为90°.21世纪教育网版权所有
答案 90°
7．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
答案 ①③④ ②或②③④ ①
8．如图，已知三棱锥D—ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与BCA为面的二面角为________．21教育网
解析 取BC的中点E，连接AE，DE，由题意知AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AED为所求二面角的平面角．21cnjy.com
计算得AE＝DE＝，AD＝2.
∴AE2＋DE2＝AD2，∴∠AED＝90°.
答案 90°
9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )底面ABCD，且底面各边长都相等，M为PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要写出一个你认为是正确的条件即可)
解析 由题意易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.因此只要BM⊥PC或DM⊥PC，就可推得平面MBD⊥平面PCD.21·cn·jy·com
答案 BM⊥PC(或DM⊥PC)
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，求：
(1)直线D1C与平面AC所成的角；
(2)二面角D1—BC—D的大小．
解 (1)∵D1D⊥平面AC，
∴D1C在平面AC上的射影是DC.
∴∠D1CD是直线D1C与平面AC所成的角．
在△D1CD中，D1D⊥CD，D1D＝CD，
∴∠D1CD＝45°.
∴直线D1C与平面AC所成的角是45°.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥CD，BC⊥CC1，∴BC⊥平面D1C.∴BC⊥D1C，BC⊥CD.www.21-cn-jy.com
∴∠D1CD是二面角D1－BC－D的平面角．
由(1)知∠D1CD＝45°，
∴二面角D1－BC－D的大小是45°.
11.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.2·1·c·n·j·y
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)如图，由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，
因为EF 平面ABC，BC 平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D 平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因【来源：21·世纪·教育·网】
为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1，B1C 平面BB1C1C，故A1D⊥平面BB1C1C，21·世纪*教育网
又A1D 平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(3)求证：∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．
证明 (1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，
∴PC2＝PD2＋DC2.
∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，而四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.
又AC 平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD.
(3)由(1)知PD⊥BC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC.
∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．
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双基限时练(十七)
1．给出下列四个命题，其中真命题的个数是( )
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
A．4 B．3
C．2 D．1
解析 ①为直线和平面平行的性质定理，所以正确 ( http: / / www.21cnjy.com )；②为直线与平面垂直的判定定理，所以正确；③不正确．平行于同一平面的两条直线相交、平行、异面都有可能；④为两个平面垂直的判定定理，所以正确．2·1·c·n·j·y
答案 B
2．用α表示一个平面，l表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
解析 排除法．当l与α相交时，A不成立，当l∥α时，B不成立，当l α时，C不成立．因此排除A、B、C，故D正确．
答案 D
3．设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，γ.给出下列三个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，a∥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 易知①、②、③都是假命题，因此选A.
答案 A
4．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案 C
5．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )21cnjy.com
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析 如图所示：(1)∵DF∥BC，DF 平面PDF，BC 平面PDF，∴BC∥平面PDF.故A成立；21·cn·jy·com
(2)∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，又DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B成立；
(3)由(2)知平面PAE⊥平面ABC，故D成立．
综上知，不成立的应是C.
答案 C
6．如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.21教育网
解析 取BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC＝a，
∴AE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，
平面ABC∩平面BCD＝BC.
∴AE⊥平面BCD.
∵DE 平面BCD，∴AE⊥DE.
计算得BC＝a.
AE＝a，DE＝BC＝a.
∴AD＝＝a.
答案 a
7．已知平面α，β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β.
则当满足条件________时，有m⊥β；
当满足条件________时，有m∥β.
答案 ②⑤ ③⑤
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是__________．www.21-cn-jy.com
解析 由底面ABCD是正方形， ( http: / / www.21cnjy.com )知AC⊥BD，又AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，又AC在平面ACD1内，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 垂直
9．如图，已知点M是菱形ABCD所在平面外的一点，且MA＝MC，求证：AC⊥平面BDM.
证明 设BD∩AC＝O，连接MO，
( http: / / www.21cnjy.com )
10．已知：如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l ( http: / / www.21cnjy.com )，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，求CD长．21·世纪*教育网
解 连接BC.
∵AC⊥AB，∴AC⊥β，AC⊥BD.
∵BD⊥AB，∴BD⊥α，BD⊥BC.
∴△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝＝5，
在Rt△CBD中，CD＝＝＝13.
∴CD长为13.
11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，求证：AB⊥BC.
证明 如图，过点A在平面A ( http: / / www.21cnjy.com )1ABB1内作AD⊥A1B于点D，则由平面A1BC⊥侧A1ABB1，且平面A1BC∩侧A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.www-2-1-cnjy-com
又∵BC 平面A1BC，∴AD⊥BC.
∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.
又AA1∩AD＝A，∴BC⊥侧面A1ABB1.
又AB 侧面A1ABB1，∴AB⊥BC.
12．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.21世纪教育网版权所有
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 (1)设AC与BD交于点O，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，
∴四边形AOEF为平行四边形．
∴AF∥OE.
∵OE 平面BDE，AF 平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF.
∴CF⊥BD，
又BD∩EO＝O，
∴CF⊥平面BDE.
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双基限时练(九)
1．a∥b，且a与平面α相交，那么直线b与平面α的位置关系是( )
A．必相交 B．有可能平行
C．相交或平行 D．相交或在平面内
答案 A
2．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．1或3
答案 D
3．若平面α∥平面β ，a，b是直线，则( )
A．若a∥α，则a∥β
B．若a α，b β，则a∥b
C．若a α，b β，则a，b是异面直线
D．α内有无穷多条直线与β平行
答案 D
4．已知直线a∥平面β，直线b β，则a与b的关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
答案 D
5．过平面外一点，可作这个平面的平行线的条数是( )
A．1条 B．2条
C．无数条 D．很多但有限
答案 C
6．直线a与平面α相交，直线b α，则直线a与b的关系是________．
答案 相交或异面
7．有下面几个命题：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．21·cn·jy·com
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
解析 ①当线段与平面相交时， ( http: / / www.21cnjy.com )不成立；②两组对边相等的四边形可能是空间四边形，这时不是平行四边形；③因为两条平行线确是一个平面，另两边一定在这个平面内，所以正确；④正确；⑤因为直线和直线外一点确定一个平面，又点A α，所以点A和平面α内任一条直线都共面．www.21-cn-jy.com
答案 ③④
8．已知下列说法：
①两平面α∥β，a α，b β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．
解析 ①错．a与b也可能异面．
②错．a与b也可能平行．
③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a α，b β，∴a与b无公共点．
④对．由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面．
⑤错．a与β也可能平行．
答案 ③④
9．简述结论，并画图说明．
直线a在平面α内，直线b与直线a相交，则直线b与平面α的位置关系如何？
解 直线b与平面α的位置关系有两种：b α，或b∩α＝A.
10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与各个面所在平面的关系．21cnjy.com
解 B1C所在直线与各面所在平面的关系是：
B1C在平面BB1C1C内，B1C∥平面AA1D1D，与平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD，平面A1B1C1D1都相交．21教育网
直线D1B与各个面都相交．
11．求证：过平面内一点，作平面内一直线的平行线必在此平面内．
已知：点A∈平面α，a α，A∈直线b，且a∥b.
求证：b 平面α.
证明 ∵点A∈平面α，a 平面α，
且A a，∴过点A存在直线b∥a.
设a，b确定的平面为β，则A∈β，且a∈β.∴平面α，β都是由点A和直线a确定的平面．
∴α与β重合，∴b α，故结论成立．
12．如图，已知平面α∩β＝l ( http: / / www.21cnjy.com )，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．21世纪教育网版权所有
解 平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明 ∵AB与l不平行，且AB α，l α，
∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，
∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点．
而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P.
∴平面ABC与β的交线与l相交．
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双基限时练(六)
1．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( )
A．8倍 B．4倍
C．2倍 D．2倍
解析 大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的倍，所以球的体积扩大为原来的2倍．
答案 C
2．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为( )
A. B.
C. D.
解析 设正方体的棱长为a，依题意知内切球的直径为a，∴球的表面积S球＝4π2＝πa2，正方体的表面积S正＝6a2.
∴S球?S正＝.
答案 D
3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是( )
A．8 πcm2 B．12 πcm2
C．16 πcm2 D．20 πcm2
解析 依题意知球的直径为正方体的对角线，∴球的半径为R＝×＝(cm)．∴球的表面积S＝4π()2＝12π(cm2)．
答案 B
4．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析 设三个球的半径分别为1,2,3，则 ( http: / / www.21cnjy.com )大球的体积V3＝π×33＝36π，两个小球的体积和V1＋V2＝π(13＋23)＝12π.∴最大球的体积是其他两个球的体积和的3倍．21世纪教育网版权所有
答案 C
5．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．
解析 设球的半径为r，则πr3＝4π，∴r3＝3.∴r＝.∴它的表面积S＝4πr2＝12π.21教育网
答案 12π
6．将一铜球放入底面半径为4 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高9 cm，则这个铜球的半径为________．21cnjy.com
解析 设铜球的半径为r，依题意得πr3＝π×42×9.
∴r＝3(cm)．
答案 3 cm
7．一个六棱柱的底面是正六边形， ( http: / / www.21cnjy.com )其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为________．21·cn·jy·com
解析 依题意知正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1，又高为，所以球的直径为2，故球的体积为π×13＝π.
答案 π
8．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，求h的值．
解 对于圆锥形容器的体积
V1＝πh2·h＝πh3，
对于圆柱形容器的体积
V2＝π2·h＝a2h.
由V1＝V2，得πh3＝a2h.
∴h＝a.
故h的值为a.
9．某几何体的三视图如图所示(单位：m)．
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
解 该几何体为组合体，下部为棱长为2的正方体，上部为半径是1的半球．
(1)因为正方体的上底面被球盖住一部分，∴该几何体的表面积
S＝×4πR2＋6×22－π×R2
＝2π×12＋24－π＝π＋24.
(2)该几何体的体积V＝×πR3＋a3＝π×13＋23＝8＋π.
10．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.
(1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放入该锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．
解 (1)设圆锥体的高为h cm，
则h＝＝8(cm)．
(2)球放入锥体后的轴截面如图所示，
设球的半径为R cm，由△OCD∽△ACB，得＝，即＝，∴R＝3.
圆锥体积剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，
即×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60π(cm3)．
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双基限时练(十四)
1．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．a α D．无法确定
答案 A
2．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任意直线都与a平行 ( http: / / www.21cnjy.com )；②若a⊥α，则α内的任意直线都与a垂直；③若α∥β，则β内的任意直线都与α平行；④若a与α，β所成的角相等，则α∥β.21·cn·jy·com
则其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析 由直线与平面垂直的定义知，若 ( http: / / www.21cnjy.com )a⊥α，则α内的任意直线都与a垂直，所以②为真；若α∥β，则β内任意直线与α没有公共点，所以平行，故③为真．www.21-cn-jy.com
答案 B
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它们的对角线AC，BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
解析
如图所示，ABCD是空间四边形． ( http: / / www.21cnjy.com )且AB＝BC＝CD＝DA.取BD的中点E，连接AE，CE则有AE⊥BD，CE⊥BD.∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC.21教育网
∴空间四边形ABCD的对角线AC、BD垂直，但不相交．
答案 C
4．a，b是直线，α是平面，下列判断正确的是( )
A．a垂直α内的两条直线，则a⊥α
B．a⊥b，b⊥α，则a∥α
C．a∥α，b⊥α，则a⊥b
D．若a∥α，a∥β则α∥β
解析 用排除法，在A中，当两直线平行时，不成立；在B中，a可能在α内；在D中，α与β也可能相交．因此A、B、D均错，故C正确．2·1·c·n·j·y
答案 C
5．判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．
(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直( )
(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边( )
(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内( )
(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条确定的平面( )
(5)已知a∥α，且b⊥α，则b⊥a( )
(6)a∥b，a⊥β，则b⊥β( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
6．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点，且有PA＝PC，PB＝PD
，则PO与平面ABCD的关系是__________．
解析 ∵PA＝PC，∴PO⊥AC，又PB＝PD，∴PO⊥BD.∴PO⊥平面ABCD.
答案 垂直
7．AB为⊙O的直径，C是异于A，B的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周上的任意一点，PA垂直⊙O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________个直角三角形．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 4
8．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角是________．
解析 由PA⊥平面ABC知，∠PBA就是PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，由PA＝AB，知∠PBA＝45°.21·世纪*教育网
答案 45°
9．如图，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.
证明 ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC.
∵AE 平面PAC，
∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，
∴AE⊥平面PBC.
10．如图，已知∠BOC在平面α内 ( http: / / www.21cnjy.com )，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．21cnjy.com
解
∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为等边三角形．
∴AB＝AC＝a.
∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理，△BOC也为等腰直角三角形．
取BC的中点H，连接AH，OH，
则AH＝OH＝a.
∴AH2＋OH2＝OA2，
∴△AOH为等腰直角三角形．
∴∠AOH＝45°，AH⊥OH.
又AH⊥BC，∴AH⊥α.
∴OA与平面α所成的角为45°.
11．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PDB；
(3)求直线BC与平面PDB所成的角的正切值．
解 (1)证明：连接AC，设AC∩BD＝H，连接EH.
在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．
又由题设E为PC的中点，故EH∥PA.又EH 平面BDE且PA 平面BDE，所以PA∥平面BDE.
(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.
(3)由AC⊥平面PBD，可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．21世纪教育网版权所有
由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2，可得DH＝CH＝，BH＝.
在Rt△BHC中，tan∠CBH＝＝.
所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.
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双基限时练(五)
1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )
A．1:1 B．1:2
C．1:4 D．4:1
解析 当以矩形边长为1的边为轴时，所得柱体的侧面积为4π；当以边长为2的边为轴时，所得旋转体的侧面积为4π，所以侧面积之比为1:1.21世纪教育网版权所有
答案 A
2．已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为( )
A．10π B．12π
C．15π D．36π
解析 设圆锥底面半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.
棱锥的高h＝＝4，
∴V＝·π·32·4＝12π.
答案 B
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是( )
A．3π B．3π
C．6π D．9π
解析 设圆锥的母线长为l，则由·l·l＝，得l＝2.
且圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的全面积S＝π×12＋×2π×2＝3π.
答案 A
4．若正方体的全面积为72，则它的对角线的长为( )
A．2 B．12
C. D．6
解析 设正方体的棱长为a，则6a2＝72.∴a＝2.所以对角线长为＝a＝6.
答案 D
5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )
A．3:2 B．2:1
C．4:3 D．5:3
解析 依题意知圆锥侧面展开图的弧长为l，∴S侧＝×l×l＝l2.S表＝l2＋2·π＝l2.www.21-cn-jy.com
∴S表:S侧＝4:3.
答案 C
6．等边三角形ABC的边长为a，直线l过A且与BC垂直，将△ABC绕直线l旋转一周所得的几何体的表面积是________．
解析 依题意知圆锥的母线长为a，底面半径为，底面周长为aπ.
∴圆锥的表面积S＝×a·aπ＋2π＝πa2.
答案 πa2
7．一块正方形薄铁片的边长为4 ( http: / / www.21cnjy.com )cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.21cnjy.com
解析 设圆锥筒的底面半径为r，高为h，则
2πr＝·2π·4，∴r＝1，
h＝＝.
故圆锥筒的容积V＝·π×12×＝π.
答案 π
8．如图，已知圆柱体底面 ( http: / / www.21cnjy.com )圆的半径为 cm，高为2 cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________cm.(结果保留根式)21·cn·jy·com
解析 将圆柱表面沿AD展开铺平得一矩形，如图所示．
则小虫沿圆柱面爬行从A到C的最短路线的长度是矩形ABCD的对角线AC.
又AB＝2··π×＝2 (cm)，BC＝2 (cm)，
∴AC＝＝2(cm)．
答案 2
9．圆台上、下底面积分别为π，4π，侧面积为6π，求这个圆台的体积．
解 设圆台的上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h，轴截面如图所示．
由题意可得πr2＝π，∴r＝1，
πR2＝4π ，∴R＝2，
由(rl＋Rl)π＝6π，∴l＝2.
∴h＝＝.
∴V圆台＝(π＋4π＋)＝π.
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．21教育网
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．
∴(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面是全等的等腰三角形，且其高为h1＝ ＝4，另外两个侧面也是全等的等腰三角形，这两个侧面的高为h2＝ ＝5.2·1·c·n·j·y
因此S侧＝2＝40＋24.
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双基限时练(四)
1．关于斜二测直观图的画法，以下说法不正确的是( )
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
答案 C
2．下列叙述正确的个数是( )
①相等的角在直观图中仍相等；②长度 ( http: / / www.21cnjy.com )相等的线段，在直观图中长度仍相等；③若两条线段平行，在直观图中对应的线段仍平行；④若两条线段垂直，在直观图中对应的线段也垂直．21世纪教育网版权所有
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由直观图的画法，知仅有③正确．
答案 B
3．线段AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则( )
A．A′B′＝2C′D′ B．A′B′＝C′D′
C．A′B′＝C′D′ D．A′B′＝4C′D′
答案 D
4．如图①所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图②中的( )
解析 按斜二测画法的规则，将图形还原成原图形可得．
答案 C
5．如图的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )
A．6 cm B．8 cm
C．(2＋4) cm D．(2＋2) cm
解析 将直观图还原为原图形，如图所示．
由直观图，知OB＝2cm，BC＝OA＝1(cm)．
∴OC＝AB＝＝3(cm)．
∴平行四边形OABC的周长为8 cm.
答案 B
6．根据斜二测画法的规则画直观图时， ( http: / / www.21cnjy.com )把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′轴，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为________．21cnjy.com
答案 45°(或135°)，90°
7．如图，△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图，则△OAB的面积为________．
解析 S△OAB＝×4×6＝12.
答案 12
8．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长是4，则此正方形的面积是________．
解析 根据直观图的画法，平行于x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )的线段长度不变，平行y轴的线段变为原来的.于是当长为4的边平行于x轴时，则正方形边长为4，所以面积是16；长为4的边平行于y轴时，正方形边长为8，面积为64.21·cn·jy·com
答案 16或64
9．画出棱长为2 cm的正方体的直观图．
解 (1)作水平放置的正方形的直观图ABCD(图①)．
使∠BAD＝45°，AB＝2(cm)，AD＝1(cm)．
(2)过A作z′轴使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2(cm)．
(3)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到的图形就是正方体的直观图(图②)．
10．由下列几何体的三视图画出直观图．
解 由几何体的三视图，知这个几何体是一个简单的组合体．它的上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台，并且四棱柱与四棱台有一个底面重合．21教育网
(1)画轴．如图，画出x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．作出水平放置的正方形(俯视图)的直观图，画出四棱台的两个底面ABCD和A′B′C′D′，如图①.www.21-cn-jy.com
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA″，BB″，CC″，DD″，如图②.
(4)成图．连接AA′， ( http: / / www.21cnjy.com )BB′，CC′，DD′，A″B″，B″C″，C″D″，D″A″，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是几何体的直观图，如图③.2·1·c·n·j·y
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双基限时练(十一)
1．已知a，b，c是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③a∥α，b α，则a∥b；④若a，b异面，且a∥β，则b与β相交；
⑤若a，b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 仅②为真命题．
答案 A
2．平面α∥平面β，a α，b β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
答案 D
3．设三条互相平行的直线a，b，c中，a α，a β，b β，c β，则α与β的关系是( )
A．相交 B．平行
C．平行或相交 D．平行、相交或重合
答案 C
4．α，β是不重合的两个平面，在下列条件中，可以判定α∥β的是( )
A．△ABC α，△A′B′C′ β，且△ABC∽△A′B′C′
B．α内有两条直线平行于β
C．α内有无数个点到β的距离相等
D．α中任一条直线与β平行
答案 D
5．若正n边形的两条对角线分别与平面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析 正五边形的对角线相交．
答案 D
6．夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是______________．
答案 平行或相交
7．若直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的关系是________．
答案 a∥β或a β
8．若命题“如果平面α内有3点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确命题，则此3点应满足________．21cnjy.com
答案 这3点不在同一直线上，且在平面β的同侧
9．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β 内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.
其中正确的有________．(填序号)
解析 ①不正确，当平面α ( http: / / www.21cnjy.com )与平面β相交时，平面α内也有无数个点到平面β的距离相等；②不正确，平面γ与β也可能相交；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当平面α与β相交时，也可能满足条件．21·cn·jy·com
答案 ③
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证：平面AB1D1∥平面BDC1.
证明 如图所示，
∵AB綊A1B1，C1D1綊A1B1，∴AB綊C1D1.
∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1.
又AD1 平面BDC1，BC1 平面BDC1，
∴AD1∥平面BDC1.
同理B1D1∥平面BDC1，
又AD1∩B1D1＝D1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1.
11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是AB，CD，A1B1，C1D1的中点，21世纪教育网版权所有
求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
证明 ∵E，E1分别是AB，A1B1的中点，
∴A1E1∥BE，且A1E1＝BE.
∴四边形A1EBE1是平行四边形．
∴A1E∥BE1.
∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理A1D1∥平面BCF1E1，A1E∩A1D1＝A1.
∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：21教育网
(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明 (1)连接B1D1，E，F分别是边B1C1和C1D1的中点，如图．
∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1.
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面．
(2)∵M，N分别是A1B1和A1D1的中点，
∴MN∥B1D1.又B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
∵MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.连接DF，MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF綊A1D1，∴MF綊AD.
∴四边形ADFM是平行四边形．
∴AM∥DF.
∵AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE，AM∩MN＝M.
故平面MAN∥平面EFDB.
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双基限时练(十)
1．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是( )
A．α内所有直线与m异面
B．α内存在唯一的直线与m平行
C．α内的直线与m相交
D．α内不存在与m平行的直线
答案 D
2．设AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )21cnjy.com
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AC在此平面内
解析 画一个空间四边形．易知选A.
答案 A
3．如果两直线a∥b，且a∥平面α，那么b与α的位置关系( )
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
答案 D
4．已知直线a⊥b，a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b∥α B．b α
C．b与α相交 D．以上都有可能
答案 D
5．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是( )21世纪教育网版权所有
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析 图①中，取NP的中点C，连接MC， ( http: / / www.21cnjy.com )则有AB∥MC AB∥平面MNP；图②、图③中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，所以不能推出AB∥平面MNP；图④中，有AB∥NP AB∥平面MNP，故选B.21·cn·jy·com
答案 B
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面有________．
(2)与直线AA1平行的平面有________．
(3)若E为A1B1的中点，则直线AE与平面BB1C1C的关系是________．
答案 (1)平面A1B1C1D1，平面CC1D1D
(2)平面BB1C1C，平面CC1D1D
(3)相交
7．已知不重合的直线a，b和平面β.
①若a∥β，b β，则a∥b；②若a∥β， ( http: / / www.21cnjy.com )b∥β，则a∥b；③若a∥b，b β，则a∥β；④若a∥b，a∥β，则b∥β或b β，其中正确命题的序号是________．www.21-cn-jy.com
解析 ①中，若a∥β，b β，则a∥b或a ( http: / / www.21cnjy.com )与b异面；②中，若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面；③中，若a∥b，b β，则a∥β或a β，故①②③均错，④正确．2·1·c·n·j·y
答案 ④
8．已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点．
求证：AM∥平面EFG.
证明 如图所示，连接MD交GF于N，连接EN.
∵GF为△BCD的中位线，
∴N为MD的中点．
∴EN为△AMD的中位线．
∴EN∥AM.
∵AM 平面EFG，EN 平面EFG，
∴AM∥平面EFG.
9．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面AEC.
证明 连接BD与AC相交于O，连接EO，AE，
∵ABCD为平行四边形，
∴O是BD的中点．
又E为PD的中点，
∴EO∥PB.
∵PB 平面AEC，EO 平面AEC，
∴PB∥平面AEC.
10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．21教育网
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求PQ的长；
(3)求证：EF∥平面BB1D1D.
解 (1)证明：连接D1C，
∵P，Q分别为AD1，AC的中点，
∴PQ綊D1C.
∵PQ 面DCC1D1，
D1C 面DCC1D1，
∴PQ∥面DCC1D1.
(2)∵D1C＝a，
∴PQ＝D1C＝a.
(3)证明：取B1D1的中点Q1，连接Q1F，Q1B.
∵F为D1C1的中点，Q1F綊B1C1綊BE，
∴四边形Q1FEB为平行四边形，EF∥Q1B.
∴EF 面BB1D1D，Q1B 面BB1D1D.
∴EF∥面BB1D1D.
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双基限时练(七)
1．经过同一直线上的3个点的平面( )
A．有且只有一个 B．有且只有3个
C．有无数个 D．不存在
答案 C
2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l α B．A∈l，l α
C．A l，l α D．A l，l α
答案 B
3．下列图形中，不一定是平面图形的是( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四边相等的四边形
解析 三角形有两条边相交，菱形和梯形都有两条边平行，所以它们一定是平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形．
答案 D
4．平面α∩平面β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C l，又AB∩l＝R，过A，B，C三点确定的平面记作γ，则β∩γ是( )
A．直线AC B．直线BC
C．直线CR D．以上都不对
答案 C
5．给出下列命题：
(1)和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；
(2)三条两两相交的直线在同一平面内；
(3)有三个不同公共点的两个平面重合；
(4)两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 A
6．下列命题：
①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确 ( http: / / www.21cnjy.com )定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共线．21世纪教育网版权所有
其中正确命题是________．
解析 ①不正确，当三点共线时不成立；② ( http: / / www.21cnjy.com )不正确，当点在直线上时，不成立；③正确，两条相交直线，必有三个点不共线，由公理2知，正确；④正确，理由同③；⑤正确，反证法：若有三点共线l，则l与第四个点确定一个平面α；21cnjy.com
∴四点共面，与已知相矛盾．
答案 ③④⑤
7．三条直线相交于一点，可确定的平面有________个．
答案 1或3
8．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC一个公共点，即点S在交线上．由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．
9．如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，
求证：a，b，c，d共面．
证明 ∵A，B，C三点不共线，
∴A，B，C三点确定一个平面，设为α.
又A∈a，B∈a，∴a α.
A∈b，C∈b，∴b α.
B∈c，C∈c，∴c α，∴a，b，c都在α内．
又D∈c，E∈b，∴D∈α，E∈α.
∵D∈d，E∈d，∴d α，
∴a，b，c，d共面．
10．如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.21教育网
求证：P，Q，R三点共线．
证明 ∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∴AB∩CD＝P.
∴AB与CD确定一个平面，设为β，
则AB β，CD β.
又P∈AB，AB∩α＝P，
∴P∈β，P∈α.
同理Q∈β，Q∈α，R∈β，R∈α，
∴P，Q，R三点在α与β的交线上，即P，Q，R三点共线．
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双基限时练(十三)
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
答案 B
2．已知平面α∥β，P是α，β外一点，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )21世纪教育网版权所有
A．16 B．24或
C．14 D．20
解析 当点P在平面α与β的同侧时，由平行线截线段成比例知，＝.即＝，解得BD＝.当P在平面α与β之间时，同理可求得BD＝24.21教育网
答案 B
3．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离的取值范围是( )
A．{1} B．{7}
C．{1,7} D．[1,7]
答案 C
4．已知平面α∥平面β，它们之间的距离为d，直线a α，则在β内与直线a相距为2d的直线有( )
A．一条 B．两条
C．无数条 D．不存在
答案 B
5．给出下列互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥ ( http: / / www.21cnjy.com )β；②若α∥β，l α，m β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.www.21-cn-jy.com
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 ①中α与β也可能相交，∴①错；在②中l与m也可能异面，∴②错，③正确．
答案 C
6．在空间四边形ABCD中，N，M分别是BC，AD的中点，则2MN与AB＋CD的大小关系是________．2·1·c·n·j·y
解析 如图，取BD的中点P，连接PM，PN，则PM＝AB，PN＝CD，在△PMN中，MN
∴2MN<2(PM＋PN)＝AB＋CD.
答案 2MN7．如图所示，在△ABC中，AB＝5 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC＝7，BC＝，G是△ABC的重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________.21·世纪*教育网
解析 ∵BC∥平面α，平面α∩平面ABC＝MN，
∴BC∥MN.
又G为△ABC的重心，∴AG:GD＝2:1，
∴AG:AD＝2:3，∴MN:BC＝2:3.
∴MN＝BC＝.
答案
8．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m ( http: / / www.21cnjy.com )分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，已知AB＝6，DE:DF＝2:5，则AC＝________.
解析 由平行平面的性质定理，知
AD∥BE∥CF，∴＝.
∴AC＝×AB＝×6＝15.
答案 15
9．如图，两条异面直线AC、DF与三个平 ( http: / / www.21cnjy.com )行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，又AF，CD分别与β交于G，H，求证：HEGB是平行四边形．www-2-1-cnjy-com
证明 ∵AC∩CD＝C，
∴AC，CD确定平面ACD.
又α∥β，平面ACD与α，β交于AD，BH，
∴AD∥BH.
又AF∩DF＝F，
∴AF，FD确定平面AFD.
又∵α∥β，平面AFD交α，β于AD，GE，
∴AD∥GE.
∴BH∥GE.
同理BG∥HE.
∴四边形HEGB是平行四边形．
10．如图所示，在空间六边形(即六个顶点中没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.21cnjy.com
求证：平面A1BC1∥平面ACD1.
证明 首先将图形补成正方体框架，如图②所示．
则在正方体ABCD－A1B1C1D1中，证平面A1BC1∥平面ACD1.
由正方体的性质易，知AC∥A1C1，又AC 平面A1BC1，
∴AC∥平面A1BC1，同理可证CD1∥平面A1BC1.
又AC∩CD1＝C，∴平面A1BC1∥平面ACD1.
11．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1.
问在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
证明 如图，当F为PC的中点时，BF∥面AEC.
取PE的中点M，连接FM，
则FM∥CE.①
由EM＝PE＝ED知，E是MD的中点，连接BM，BD.设BD∩AC＝O则O为BD的中点，∴BM∥OE.②21·cn·jy·com
由①②知：平面BFM∥平面ACE，又BF 平面BFM，∴BF∥平面AEC.
12．如图，在四棱柱ABCD－A1 ( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.
证明 ∵F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，∴CD綊AF.
∴四边形AFCD是平行四边形．
∴AD∥FC.又CC1∥DD1，FC ( http: / / www.21cnjy.com )∩CC1＝C，FC 平面FCC1，CC1 平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD 平面ADD1A1，DD1 平面ADD1A1，
∴平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1 平面ADD1A1，EE1 平面FCC1，
∴EE1∥平面FCC1.
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双基限时练(十六)
1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内( )
A．不存在与l垂直的直线
B．存在一条与l垂直的直线
C．存在无数条与l垂直的直线
D．任意一条都与l垂直
答案 C
2．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD
C．PO⊥CD D．PA⊥BD
解析 易证BC⊥平面PBA，CD⊥平面PDA，∴BC⊥PB，CD⊥PD.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，故A、B、D正确．
答案 C
3．已知直线l，m，平面α，β，l⊥α，m⊥β，α∥β，则直线l与m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
解析 l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊥β，∴l∥m.
答案 C
4．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l β
B．若l∥α，α∥β，则l β
C．若l⊥α，α∥β则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
答案 C
5．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是( )
①若l⊥α，则l与α相交；②若 ( http: / / www.21cnjy.com )m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①、③、④正确，②不正确．因此选C.
答案 C
6．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．21教育网
解析 依题意知P到圆O上各点的距离都相等，由勾股定理算得其值为5.
答案 5
7．二面角α－l－β的大小为120°，直线AB α，直线CD β.且AB⊥l，CD⊥l，则AB与CD所成角的大小为________．
解析 由两条直线所成角通常是指两直线的夹角，因此应答60°(当AB，CD为异面直线时)而不是120°.21cnjy.com
答案 60°
8．如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.
解析 由AF⊥平面ABCD，知DE⊥面ABCD.
∴DE⊥CD，在Rt△CDE中，CE＝＝＝.
答案
9．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别为CD，DA和AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD.
证明 如题图，
∵AB＝BC，G为AC的中点，∴BG⊥AC.
同理DG⊥AC，又DG∩BG＝G，
∴AC⊥平面BGD.
又E，F分别为CD，DA的中点，
∴EF∥AC.
∴EF⊥平面BGD.
又EF 平面BEF.
∴平面BEF⊥平面BGD.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点D，E分别是AA1，CC1的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求证：AE∥平面BC1D；
(2)证明：平面BC1D⊥平面BCD.
证明 (1)在矩形ACC1A1中，由C1E∥AD，C1E＝AD，
得AEC1D是平行四边形，∴AE∥DC1.
又AE 平面BC1D，C1D 平面BC1D，
∴AE∥平面BC1D.
(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC＝C，
∴BC⊥平面ACC1A1，
而C1D 平面ACC1A1，∴BC⊥C1D.
在矩形ACC1A1中，DC＝DC1＝，CC1＝2，
从而DC2＋DC＝CC，
∴C1D⊥DC.
又DC∩BC＝C，
∴C1D⊥平面BCD，
而C1D 平面BC1D，
∴平面BC1D⊥平面BCD.
11．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD.
(2)求证：MN⊥CD.
(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PDC.
证明 (1)取PD中点Q，连接NQ，AQ.
∵N，Q分别为PC，PD的中点，
∴NQ綊CD綊AM.
∴AMNQ为平行四边形．
∴AQ∥MN.
又AQ 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AQ，即AB⊥MN.
又CD∥AB，∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD.
又∠PDA＝45°，Q为PD的中点，
∴AQ⊥PD.
∴MN⊥PD.
又由(2)知MN⊥CD，且PD∩CD＝D，
∴MN⊥平面PCD.
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双基限时练(八)
1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解析 可借见长方体找出反例．
答案 D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BD异面且成60°角的面对角线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析 画图易知它们是AD1，AB1，CB1，CD1共四条．
答案 D
3．“a，b是异面直线”是指：
①a∩b＝ ，且aDb；②a 平面α，b 平面β，且a∩b＝ ；③a 平面α，b 平面β，且α∩β＝ ；④a 平面α，b 平面α；⑤不存在平面α，使a α，且b α成立．21·世纪*教育网
上述说法中( )
A．①④⑤正确 B．①③④正确
C．②④正确 D．①⑤正确
解析 说法①等价于a与b既不相交，又不平行，所以a与b为异面直线．①正确；说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内，即a，b异面，⑤正确．www.21-cn-jy.com
答案 D
4．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面 B．相交或异面
C．异面 D．相交
答案 B
5．在空间，下列命题中正确的个数为( )
①有两组对边相等的四边形是平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等．21·cn·jy·com
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①、②不正确，③、④正确．因此选B.
答案 B
6．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是( )
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
解析 把展开图还原为正方体，便知③、④正确．
答案 C
7．设a，b，c表示直线，给 ( http: / / www.21cnjy.com )出以下四个论断：①a⊥b；②b⊥c；③a⊥c；④a∥c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题______________．21世纪教育网版权所有
答案 ④① ②
8．如图所示，M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1，B1C1的中点．
(1)则MN与CD1所成角为________．
(2)则MN与AD所成的角为________．
解析 (1)由图易知MN∥AD1，∵△ACD1构成正三角形．∴AD1与CD1成60°角，∴MN与CD1成60°角．2·1·c·n·j·y
(2)AD1与AD成45°角，而MN∥AD1，∴MN与AD成45°角．
答案 (1)60° (2)45°
9．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．
解析 由正投影的定义可知，正确的结论是①④.
答案 ①④
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝，求AD，BC所成的角．
解 取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，∴EH∥AD，EH＝1.
同理FH∥BC，FH＝1，
∴∠EHF是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝，
∴△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
∴∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
11．如图，直线a，b是异面直线，A， ( http: / / www.21cnjy.com )B，C为直线a上三点，D，E，F是直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．21教育网
求证：(1)∠A′B′C′＝∠C′D′E′；
(2)点A′，B′，C′，D′，E′共面．
证明 (1)A′，B′是AD，DB的中点
∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边平行且方向相同 ∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
平面α，β重合 A′、B′，C′，D′，E′共面．
12．已知异面直线a与b所成的角θ＝60°，P为空间一点，则
(1)过P点与a和b所成角为45°的直线有几条？
(2)过P点与a和b所成角为60°的直线有几条？
(3)过P点与a和b所成角为70°的直线有几条？
解 (1)过P点在平面α外的左、右两侧存在 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线与a1，b1所成的角为45°，则与a，b所成的角为45°的直线有2条．(2)过P点在平面α内120°的角平分线存在一条直线与a1，b1所成的角为60°；过P点在平面α外的左右两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为60°，则与a，b所成的角为60°的直线有3条．(3)过P点在平面α外左右两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为70°，过P点在平面α外前、后两侧存在两条直线与a1，b1所成的角为70°，则与a，b所成的角为70°的直线有4条．21cnjy.com
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双基限时练(十二)
1．已知直线l∥平面α，l 平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( )
A．平行 B．相交或平行
C．相交或异面 D．平行或异面
答案 A
2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或都交于同一点
解析 分l∥α和l与α相交两种情况作答．
答案 D
3．设直线a，b，c不重合，平面α，β不重合，使a∥b成立的条件是( )
A．a∥α，b α B．a∥α，b∥α
C．a∥α，α∩β＝b D．a∥c，b∥c
答案 D
4．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )
A．过A且平行于a和b的平面可能不存在
B．过A有且只有一个平面平行于a和b
C．过A至少有一个平面平行于a和b
D．过A有无数个平面平行于a和b
解析 过点A分别作a′∥a，b′∥b，∵a′∩b′＝A，∴a′与b′确定一个平面β，易知a∥β，b∥β.由作法知这样的平面β存在，且唯一．21教育网
答案 B
5．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析 当a β，B∈a时，过点B不存在与a平行的直线．
答案 A
6．已知a∥β，b∥β，则直线a与b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直且不相交．其中可能成立的有________．21cnjy.com
答案 ①②③④
7．有以下命题，正确命题的序号是____________．
①直线与平面平行，则直线与平面无公共 ( http: / / www.21cnjy.com )点；②直线与平面平行，则直线与平面内的所有直线平行；③直线与平面平行，则直线平行于平面内任一条直线；④直线与平面平行，则平面内存在无数条直线与该直线平行．21·cn·jy·com
答案 ①④
8．已知平面α、β 和直线a、b、c，且a∥b∥c，a α，b、c β，则α与β的关系是________．www.21-cn-jy.com
答案 相交或平行
9．过正方体AC1的棱BB1作一平面交CDD1C1于EF.
求证：BB1∥EF.
证明 如图所示：
∵CC1∥BB1，CC1 平面BEFB1，BB1 平面BEFB1，
∴CC1∥平面BEFB1.
又CC1 平面CC1D1D，
平面CC1D1D∩平面BEFB1＝EF，
∴CC1∥EF，∴BB1∥EF.
10．如图，在空间四边形ABCD中，若P，R，Q分别是AB，AD，CD的中点，过P，R，Q的平面与BC交于S.求证：S是BC的中点．
证明 在△ABD中，点P，R分别是AB ( http: / / www.21cnjy.com )，AD的中点，则PR∥BD，又PR 平面BCD，BD 平面BCD，∴PR∥平面BCD，又PR 平面PRQS，平面PRQS∩平面BCD＝SQ，∴PR∥SQ，又PR∥BD，∴SQ∥BD.又Q是CD的中点，∴S是BC的中点．21世纪教育网版权所有
11．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解 (1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
又EF 平面ABD，HG 平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.
同理可证CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0从而FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2(x＋6－x)＝12－x.
又0即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
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