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双基限时练(三十)
1．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)，与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )21·cn·jy·com
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．不存在
解析 直线与圆相切，则圆心到切线的距离d＝＝1，∴a2＋b2＝c2，故三角形为直角三角形．
答案 B
2．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为( )www.21-cn-jy.com
A．2 B．2－2
C．2－4 D．2
解析 两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，∴两圆相离，∴A、B两点之间的最短距离为2－4.
答案 C
3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2－(x2＋y2－1)2＝0表示的图形是( )
A．都是两个点
B．一条直线和一个圆
C．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆
D．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆
解析 x(x2＋y2－1)＝0 x＝0，或x2＋y2－1＝0，则它表示一条直线x＝0和一个圆x2＋y2＝1；2·1·c·n·j·y
x2－(x2＋y2－1)2＝0 (x＋x2＋y2－1)(x－x2－y2＋1)＝0，
∴x＋x2＋y2－1＝0，或x－x2－y2＋1＝0.
即(x＋)2＋y2＝，或(x－)2＋y2＝，它表示两个圆．因此选C.
答案 C
4．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝－x
解析 设切线方程为y＝kx，圆的方程化为(x＋2)2＋y2＝1，而圆心(－2,0)到直线y＝kx的距离为1，【来源：21·世纪·教育·网】
∴＝1.∴k＝±.
又∵切点在第三象限，∴k＝.
答案 C
5．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为( ) 21*cnjy*com
A．－或 B.
C．－或 D.
解析 ∵∠POQ＝120°，∴点O到直线y＝kx＋1的距离d＝，又d＝＝，∴k＝±
答案 A
6．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是____________．
解析 半径r＝＝
则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2
7．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是________．21世纪教育网版权所有
解析 由题意知CA⊥PA，
∴|CP|2＝|CA|2＋|PA|2.
∵C(－1,0)，|CA|＝2，|PA|＝1，
设P的坐标为(x，y)，
则(x＋1)2＋y2＝5.
答案 (x＋1)2＋y2＝5
8．与圆x2＋y2＝4切于点P(－1，)的切线方程为________．
解析 圆心(0,0)，kOP＝－，
∴切线的斜率k＝，又切点为(－1，)，
∴切线方程为y－＝(x＋1)，
即x－y＋4＝0.
答案 x－y＋4＝0
9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
解析 由题意可知，直线x－y＋2＝0过圆心，所以－1－＋2＝0，a＝－2.
答案 －2
10．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.
(1)求与圆C相切，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程；
(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，且|PM|＝|PO|，求使|PM|最小时点P的坐标．21cnjy.com
解 (1)设横、纵截距相等的切线方程为
kx－y＝0与x＋y＋c＝0，则
＝与＝，解得k＝±1，c＝－4，或c＝0.
故切线方程为x＋y＝0，x－y＝0，x＋y－4＝0.
(2)设P(x，y)，由|PM|＝|PO|，得
＝，化简得点P的轨迹为直线x＝，要使|PM|最小，即要使|PO|最小，过O作直线x＝的垂线．∴垂足P(，0)是所要求的点．www-2-1-cnjy-com
11．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，
(1)求的最值；
(2)求y－x的最值；
(3)求x2＋y2的最值．
解 (1)∵圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3，其圆心为(2,0)，半径为.设＝k，即y＝kx.21·世纪*教育网
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值．此时，＝，解得k＝±.
∴的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b.当y ( http: / / www.21cnjy.com )＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，＝，即b＝－2±.∴y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.2-1-c-n-j-y
(3)x2＋y2表示圆上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )与原点距离的平方，由平面几何知识可知，它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，【来源：21cnj*y.co*m】
∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，最小值为(2－)2＝7－4.
12．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2外一点P(2，－1)，过点P作圆C的切线PA，PB，其中A，B是切点．21教育网
(1)求PA，PB所在的直线方程；
(2)求|PA|，|PB|的值；
(3)求直线AB的方程．
解 (1)由圆心C(1,2 ( http: / / www.21cnjy.com ))，点P(2，－1)及半径r＝知，切线斜率一定存在．设切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
∵圆心到切线的距离等于半径．
∴＝，
即k2－6k－7＝0.解得k＝－1或k＝7.故切线方程为x＋y－1＝0或7x－y－15＝0.
即PA，PB所在的直线方程分别为x＋y－1＝0,7x－y－15＝0.
(2)∵|PC|＝＝，
∴|PA|＝|PB|＝＝2.
(3)由解得
∴A(0,1)．
由解得
∴B.
故直线AB的方程为＝，即x－3y＋3＝0.
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双基限时练(三十一)
1．下列叙述中，正确的个数是( )
①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间坐标系中，在Oz轴上点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标是(a,0，c)．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①错，②，③，④正确．因此应选C.
答案 C
2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)
解析 点(x，y，z)关于x轴的对称点的坐标为(x，－y，－z)．
所以(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(－2，－1，－4)．
答案 B
3．点A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．yOz平面上
解析 A(2,0,3)其中纵坐标为0，∴点A应在xOz平面上．
答案 C
4．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则|AB|＝( )
A．10 B.
C. D．38
解析 点A(2，－3,5)到平面xOy的距离为5，由于B与A关于平面xOy对称，所以点B到平面xOy的距离也是5.故|AB|＝10.
答案 A
5．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三个顶点，则△ABC是( )21cnjy.com
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
解析 |AB|＝
＝
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．
答案 A
6．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1,0，) D．(1，，0)
解析 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0)．
答案 D
7．已知A(3,5，－7)和B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为__________．21·cn·jy·com
解析 点A(3,5，－7)和B(－2,4,3)在坐标平面yOz上的射影分别为A′(0,5，－7)和B′(0,4,3)，www.21-cn-jy.com
∴线段|AB|在平面yOz上的射影长
|A′B′|＝＝.
答案
8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′点关于原点的对称点的坐标是________．
解析 点M(－2,4，－3)在平面xOz上的射影M′(－2,0，－3)，M′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．21世纪教育网版权所有
答案 (2,0,3)
9．三棱锥各顶点的坐标分别为：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．21教育网
解析 V＝Sh＝××1×2×3＝1.
答案 1
10．坐标平面yOz上一点P满足：(1)横、纵、竖坐标之和为2；(2)到点A(3,2,5)、B(3,5,2)的距离相等．求点P的坐标．
解 设P(x，y，z)
由题意知
解方程组得x＝0，y＝1，z＝1
∴P点坐标为(0,1,1)．
11．侧棱垂直底面的三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )柱叫直三棱柱．已知直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．求MN的长．2·1·c·n·j·y
解 如图，以C为原点，以CA，CB ( http: / / www.21cnjy.com )，CC1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系C－xyz，∵CA＝CB＝1，AA1＝2，∴N(1,0,1)，M.【来源：21·世纪·教育·网】
由两点间的距离公式，得
MN＝ ＝.
故MN的长为.
12．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
解 ∵点M在平面xOy内 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线x＋y＝1上，∴可设M(x,1－x,0)，由两点间的距离公式，得|MN|＝＝＝≥，当且仅当x＝1时取等号．∴当点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|有最小值.21·世纪*教育网
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双基限时练(二十七)
1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A．m< B．m<0
C．m> D．m≤
解析 由x2＋y2－x＋y＋m＝0，得(x－)2＋(y＋)2＝－m.
∵该方程表示圆，∴－m>0，即m<.
答案 A
2．方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆，则有( )
A．A＝C≠0
B．D2＋E2－4AF>0
C．A＝C≠0且D2＋E2－4AF>0
D．A＝C≠0且D2＋E2－4AF≥0
答案 C
3．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于( )
A.π B．2π
C．2π D．4π
解析 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴圆的半径r＝，∴周长为2πr＝2π.
答案 C
4．过点P(－8，－1)，Q(5,12)，R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( )
A．(5,1) B．(4，－1)
C．(5，－1) D．(－5，－1)
解析 ∵圆心到P，Q，R的距离相等，代入各选项的坐标，知C成立．
答案 C
5．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析 点(x，y)关于原点(0,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))的对称点是(－x，－y)，因此圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称点为(2,0)，半径不变，所以方程为(x－2)2＋y2＝5.21cnjy.com
答案 A
6．已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是________．
解析 已知圆的圆心P坐标为(2,0)，∴P到直线x－y－1＝0的距离为d＝＝.
答案
7．点A(1,0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上，则a的值为________．
解析 依题意得
∴∴a＝－2.
答案 －2
8．已知A，B是圆O：x2＋y2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )16上两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
解析 设圆心M(x，y)，依题意知|MC|＝3，即＝3.所以圆心M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.21世纪教育网版权所有
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
9．已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
解 设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则
∴
∵点P(x0，y0)在圆C上，∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0.
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．21教育网
解 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2－－7＝0.
即D－＋7＝0.①
又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，
∴
由①②③解得
D＝－4，E＝6，F＝8.
∴圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
11．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
解 (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)x]2＋(y－2m)2＝9，21·cn·jy·com
∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组即2a＋b＝2.
∴不论m为何实数，方程表示的圆的圆心都在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．www.21-cn-jy.com
解 不妨设直线方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程与圆的方程联立，消去y，可得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－b－1，x1x2＝，2·1·c·n·j·y
故y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝.
∵以AB为直径的圆过原点， ( http: / / www.21cnjy.com )故OA⊥OB，即kOA·kOB＝－1，整理可知x1x2＋y1y2＝0，故＋＝0，解之得b＝－4，或b＝1，验证知，此时Δ＞0，故存在这样的直线l，其方程为y＝x－4，或y＝x＋1.【来源：21·世纪·教育·网】
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双基限时练(二十六)
1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析 把P(m,5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24.
∴点P在圆外．
答案 A
2．点P与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．与t的值有关
解析 |OP|2＝2＋2
＝＝1.
∴|OP|＝1，∴点P在圆上．
答案 C
3．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别是( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
答案 B
4．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析 由y＝，得x2＋y2＝9(y≥0)．
∴方程y＝表示半个圆．
答案 D
5．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析 已知圆的圆心为C(1,0)，易知PC⊥AB，kPC＝＝－1，∴kAB＝1.
依点斜式知AB的方程为x－y－3＝0.
答案 A
6．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)的圆心C到直线4x＋3y－12＝0的距离是________．21世纪教育网版权所有
解析 圆心C(2，－1)，代入点到直线的距离公式，得
d＝＝.
答案
7．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．21教育网
解析 设圆心为C，则C(0,0)，半径r＝2，
|AC|＝＝5.
∴圆x2＋y2＝4上的点到点A的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3.
答案 7 3
8．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析 ∵圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴圆心坐标为C(1,2)．
∴圆心到直线的距离d＝＝3.
答案 3
9．已知圆M的圆心M(3,4)和三个点A ( http: / / www.21cnjy.com )(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)，求圆M的方程使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外．21cnjy.com
解 ∵|MA|＝＝5，
|MB|＝＝2，
|MC|＝＝，
∴|MB|<|MA|<|MC|.
∴点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外，
则圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
解 (1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10，又a>0，∴a＝.21·cn·jy·com
(2)∵|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
∴|PN|>|QN|.
∴点P在圆外，点Q在圆内，
∴3
11．一圆在x，y轴上分别截得弦长为14和4，且圆心在直线2x＋3y＝0上，求此圆方程．
解 设圆的圆心为(a，b)，圆的半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆在x轴，y轴上截得的弦长分别为14和4，则有
又∵圆心在直线2x＋3y＝0上，
∴2a＋3b＝0.③
由①②③可得或
∴圆的方程为(x－9)2＋(y＋6)2＝85，
或(x＋9)2＋(y－6)2＝85.
12．若点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝3上．
(1)求 的最小值；
(2)求的最大值．
解 (1)式子的几何意义是圆上的点P(x，y)与定点(0,2)的距离．
因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是＝2，又圆半径为.
所以的最小值为2－.
(2)利用的几何意义．
因为的几何意义是圆(x－2)2＋y2＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，易求得的最大值为.
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双基限时练(二十八)
1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为( )
A．0或2 B．2
C. D．无解
解析 依题意得＝，∴m2＝2m，∵m>0，∴m＝2.
答案 B
2．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为( )
A．2 B.－1
C．2－1 D．1
解析 圆心(－2,1)到直线y＝x－1的距离是
d＝＝2.∴直线上的点到圆的最近距离是2－1.
答案 C
3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析 由题意可得<1，
∴>1.∴点P(a，b)在圆外．
答案 B
4．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为( )
A．±4 B．±2
C．±2 D．±
解析 直线方程为y－a＝x，即x－y＋a＝0.该直线与圆x2＋y2＝2相切，∴＝，∴a＝±2.
答案 C
5．直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交且过圆心 D．相交不过圆心
解析 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－)2＝.
圆心(1，)到直线3x＋4y－5＝0的距离
d＝＝0.
∴直线与圆相交且通过圆心．
答案 C
6．过点(1，)的直线l将圆 ( http: / / www.21cnjy.com )(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝_________________ _______________________________________________________.
解析 当直线l与过圆心(2,0)和点(1，)的直线垂直时，直线l截得的劣弧最短，此时其对的圆心角最小，可求得k＝.
答案
7．若直线y＝x＋k与曲线x＝恰有一个公共点，则k的取值范围是__________．
答案 k＝－，或k∈(－1,1]
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
解析 由题意知，若圆上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.21教育网
∵d＝＝，
∴0≤<1，即0≤|c|<13.
解得－13答案 (－13,13)
9．求与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线方程．
解 解法1：设直线的方程为y＝x＋m，
即x－y＋m＝0.
圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2,3)，
半径为2.
由＝2，得m＝5，或m＝－3.
所以直线方程为y＝x＋5，或y＝x－3.
解法2：设直线的方程为y＝x＋m，和圆的方程联立
消去y，得2x2＋(2m－10)x＋m2－6m＋5＝0.
由直线与圆相切，
Δ＝(2m－10)2－8(m2－6m＋5)＝0，
即m2－2m－15＝0，解得m＝5，或m＝－3，
所以直线的方程为y＝x＋5，或y＝x－3.
10．在直线x－y＋2＝0上求一点P，使P到圆x2＋y2＝1的切线长最短，并求出此时切线的长．
解 设P(x0，y0)，则切线长
S＝＝
＝，故当P为(－，)时，切线长最短，其值为.
11．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知可知，直线x＋2y＝0过圆心，
∵a＋2b＝0①
又点A在圆上，∴(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2.
∴()2＋＝r2.③
解由①②③组成的方程组
得或
故所求方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
12．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点；
(2)设l与圆C相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．
解 (1)证法1：由已知可得直线l：(x－1)m－y＋1＝0，
∴直线l恒过定点P(1,1)．
又∵12＋(1－1)2＝1<5，
∴点P在圆内．
∴对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．
证法2：圆心C(0,1)，
圆心C到直线l的距离为
d＝＝<＝1<，
∴直线l与圆C相交．
∴对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．
(2)解法1：如图所示，由(1)知直线l恒过定点P(1,1)，而M是AB的中点，∴CM⊥MP.
∴点M在以CP为直径的圆上，
以CP为直径的圆的方程为
2＋(y－1)2＝.
即点M的轨迹方程为2＋(y－1)2＝.
解法2：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，
则x＋(y1－1)2＝5，
x＋(y2－1)2＝5.
二式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝－(y1＋y2－2)(y1－y2)，
∴＝＝＝.
而直线l恒过点P(1,1)，∴＝，
∴＝，即x2－x＋(y－1)2＝0，
即2＋(y－1)2＝，
∴点M的轨迹方程是2＋(y－1)2＝.
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双基限时练(二十九)
1．圆x2＋y2－2x＝0和圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．外切
C．相交 D．内切
解析 圆：x2＋y2－2x＝0，配方(x－1)2＋y2＝1，圆心C1(1,0)，半径r1＝1.
圆：x2＋y2＋4y＝0，配方x2＋(y＋2)2＝4，圆心C2(0，－2)，半径r2＝2.
圆心距|C1C2|＝r2－r1，∴两圆相交．
答案 C
2．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是( )
A. B.
C．5 D.
解析 圆心距＝＝2r.
∴r＝.
答案 D
3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 ( http: / / www.21cnjy.com ) (x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(2，－1)，半径r1＝2.圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0 (x＋2)2＋(y－2)2＝9，圆心C2(－2,2)，半径r2＝3.21世纪教育网版权所有
∵|C1C2|＝＝5＝r1＋r2.
∴两圆相外切，∴公切线有3条．
答案 C
4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0 (x＋1)2＋(y＋2)2＝8.
∴圆心(－1，－2)，半径为r＝2.而圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，
∴圆上点到直线的距离为的点有3个．
答案 B
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析 设动圆圆心G(x，y)．当两圆内切时，有(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
当两圆外切时，有(x－5)2＋(y＋7)2＝25.应选D.
答案 D
6．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．21教育网
解析 二圆相减可得x＋3y＝0.
答案 x＋3y＝0
7．以点(1,2)为圆心，与直线4x＋3y－35＝0相切的圆的方程是____________．
解析 半径r＝＝5，又圆心(1,2)．
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
8．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为__________．
解析 当两圆内切时，有(0＋4)2＋(0－a)2＝(5－1)2.
∴a＝0；当两圆外切时，有(0＋4)2＋(0－a)2＝(5＋1)2，
∴a＝±2.
∴a＝0，或a＝±2.
答案 0，或±2
9．已知点P是圆x2＋y2＝16上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个动点，点A(12,0)是x轴上的一定点，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？并分析此轨迹与圆x2＋y2＝16的位置关系．21·cn·jy·com
解 设线段PA的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则由中点坐标公式，得
P(x0，y0)在圆x2＋y2＝16上，
∴(2x－12)2＋(2y)2＝16.
即(x－6)2＋y2＝4.
这就是点M的轨迹方程．
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．
两圆的圆心距d＝＝6，而两半径之和为6.
∴两圆相外切．
10．求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0也相切的圆的方程．
解 由题意设所求圆的方程为圆C：(x－a ( http: / / www.21cnjy.com ))2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)，或C2(a，－4)．2·1·c·n·j·y
又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.
若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，或|CA|＝4－3＝1.
(1)当C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72，或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.21cnjy.com
∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42，或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.
(2)当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72，或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.www.21-cn-jy.com
∴所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42，或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.
11．求圆C1：x2＋y2－2x＋2y－1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2y－3＝0的公共弦长．
解 两圆的方程相减，整理得公共弦所在的直线方程为2x－2y－1＝0.
把圆C1的方程化为标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝3.
它的圆心C1(1，－1)，半径r＝.
又圆心C1到直线2x－2y－1＝0的距离为
d＝＝，
所以公共弦长为2＝2＝.
12．已知圆C同时满足下列三个条件：
①与y轴相切；②圆心在直线x－3y＝0上；③在直线y＝x上截得的弦长为2.
求圆C的方程．
解 设圆C与直线y＝x交于A，B两点，
∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴可设圆心的坐标为C(3a，a)．
∵圆C与y轴相切，∴半径r＝3|a|.
又圆心C到直线y－x＝0的距离d＝＝|a|.
由③知|AB|＝2，∴r2－d2＝2，
即9a2－2a2＝7.解得a＝±1.
∴圆心C的坐标为(3,1)或(－3，－1)．
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9
或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
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