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双基限时练(一)
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com )不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinA?sinB?sinC＝a?b?c.21世纪教育网版权所有
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①②③不正确，④⑤正确．
答案 B
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2
C. D.
解析 由正弦定理，得＝，即AC＝＝＝2.
答案 B
3．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，则a等于( )
A. B.
C.＋1 D．3－
解析 由正弦定理，得sinC＝＝＝，又b>c，
∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝，得a＝.
答案 B
4．在△ABC中，已知3b＝2asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝，A＝，或，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．21·cn·jy·com
答案 B
5．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析 ∵a＝2bsinA，
∴sinA＝2sinBsinA.
∵sinA≠0，∴sinB＝，
又0°
答案 D
6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则＝________.
解析 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得
＝＝1.
答案 1
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.21教育网
解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
由＝，得c＝＝＝2.
答案 2
8．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
解析 ∵tanA＝，∴sinA＝ .
在△ABC中，＝，
∴AB＝·sinC＝×＝.
答案
9．在△ABC中，若A：B：C＝1：2：3，则a?b?c＝________.
解析 由A＋B＋C＝180°及A：B：C＝1:2:3，知A＝180°×＝30°，B＝180°×＝60°，C＝180°×＝90°.21cnjy.com
∴a?：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝：?：1＝1：：2.
答案 1：：2
10．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.www.21-cn-jy.com
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得
＝，
故AE＝＝＝－.
11．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求的取值范围．2·1·c·n·j·y
解 ∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝.
如果A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝.
∴＝＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA
＝sin.
∵a≠b，C＝，∴A∈，且A≠，
∴∈(1，)．
12．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.
(1)求sinA；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解 (1)∵sin(C－A)＝1，－π∴C－A＝.
∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＋A＋＝π，
∴B＝－2A，∴sinB＝sin＝cos2A＝.
∴1－2sin2A＝.
∴sin2A＝，∴sinA＝.
(2)由(1)知，A为锐角，∴cosA＝，
sinC＝sin＝cosA＝，
由正弦定理得AB＝＝＝6.
S△ABC＝AB·AC·sinA＝×6××＝3.
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双基限时练(二)
1．在△ABC中，a2＋b2A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析 由a2＋b2又0答案 B
2．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝( )
A．60° B．120°
C．30° D．45°或135°
解析 由cosC＝＝＝，
又0°答案 A
3．在△ABC中，a：b：c＝3：5：7，则△ABC的最大角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析 由a：b：c＝3：5：7，知最大边为c，
∴最大角为C，设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，则cosC＝＝－，又0°答案 D
4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是( )
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
解析 由b2＝ac及余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos60°，
即ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
答案 B
5．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为( )
A．19 B．14
C．－18 D．－19
解析 由余弦定理，得cosB＝
＝＝.
∴·＝||||cos〈，〉＝7×5×＝－19.
答案 D
6．在△ABC中，已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝____________.21教育网
解析 由韦达定理，得a＋b＝5，ab＝2.
由(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
得a2＋b2＝52－2×2＝21.
∴c2＝a2＋b2－2abcos120°＝23.
∴c＝.
答案
7．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值为____________．
解析 c2＝a2＋b2－2abcosC＝72＋82－2×7×8×＝9.
∴c＝3，因此最大角为B，由余弦定理，得
cosB＝＝－.
答案 －
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝__________.21cnjy.com
解析 由余弦定理，得
cosB＝＝＝－，∴B＝.
答案
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则角C＝________.21·cn·jy·com
解析 由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，
得(a＋b)2－c2＝ab，即
a2＋b2－c2＝－ab.
由余弦定理，得
cosC＝＝－.∴c＝.
答案
10．在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断△ABC的形状．
解 由余弦定理，知cosB＝＝＝－.
在△ABC中，0°∴△ABC为钝角三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.www.21-cn-jy.com
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解 (1)根据正弦定理及2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，
得2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB.
∵sinB≠0，∴cosA＝.
∵0(2)根据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
12．在△ABC中，m＝，
n＝，且m与n的夹角为.
(1)求C；
(2)已知c＝，三角形面积S＝，求a＋b.
解 (1)∵m＝(cos，sin)，
n＝(cos，－sin)，
∴m·n＝cos2－sin2＝cosC.
又m·n＝|m|·|n|cos＝，
∴cosC＝.又0∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，
∴＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
∵S＝absinC＝absin＝ab，
而S＝，∴ab＝6.
∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝.
∴a＋b＝.
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双基限时练(三)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C.，或 D.，或
解析 由余弦定理，得cosB＝＝＝，又0答案 A
2．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝( )
A．3－ B.
C．2 D．3＋
解析 由正弦定理，知＝，∴BC＝＝＝3－.
答案 A
3．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于( )
A．105° B．60°
C．15° D．105°，或15°
解析 先用正弦定理求角C，由＝，得sinC＝＝＝.
又c>a，∴C＝45°，或135°，故B＝105°，或15°.
答案 D
4．已知三角形的三边之比为a：b：c＝2：3：4，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析 设三边长为2a,3a,4a(a>0)，它们所对的三角形内角依次为A，B，C.
则cosC＝＝－<0，
∴C为钝角．故该三角形为钝角三角形．
答案 B
5．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>bsinA B．a＝bsinA
C．a解析 在△ABC中，由正弦定理，知
a＝，∵0答案 D
6．△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( )
A．两直角边不等的直角三角形
B．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析 解法1：由2A＝B＋C，知A＝60°.
又cosA＝，∴＝
∴b2＋c2－2bc＝0.即(b－c)2＝0，∴b＝c.
故△ABC为等边三角形．
解法2：验证四个选项知C成立．
答案 C
7．在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC的长为____________．
解析 由A＋B＋C＝180°，求得B＝60°.
∴＝ BC＝＝＝.
答案
8．△ABC中，已知a＝，c＝3，B＝45°，则b＝________.
解析 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝2＋9－2××3×＝5，∴b＝.
答案
9．在△ABC中，a＝2，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析 ∵cosC＝，∴sinC＝.又S△ABC＝absinC，
∴4＝×2×b×，∴b＝3.
答案 3
10．在△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．21世纪教育网版权所有
解 解方程2x2－3x－2＝0，得 ( http: / / www.21cnjy.com )x1＝－，x2＝2，而cosC为方程2x2－3x－2＝0的一个根，∴cosC＝－.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝a2＋b2＋ab.∴c2＝(a＋b)2－ab＝100－ab＝100－a(10－a)＝a2－10a＋100＝(a－5)2＋75≥75，∴当a＝b＝5时，cmin＝5.从而三角形周长的最小值为10＋5.21教育网
11．在△ABC中，如果lga－lgc＝lgsinB＝－lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解 ∵lgsinB＝－lg，∴sinB＝.又∵B为锐角，∴B＝45°.∵lga－lgc＝－lg，∴＝.21cnjy.com
由正弦定理，得＝.
即2sin(135°－C)＝sinC.
∴2(sin135°cosC－cos135°sinC)＝sinC.
∴cosC＝0，∴C＝90°，∴A＝B＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
12．a，b，c分别是△ABC中角A，B ( http: / / www.21cnjy.com )，C的对边，且(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，边b和c是关于x的方程x2－9x＋25cosA＝0的两根(b>c)．21·cn·jy·com
(1)求角A的正弦值；
(2)求边a，b，c；
(3)判断△ABC的形状．
解 (1)∵(sinB＋sinC＋sinA)(sinB＋sinC－sinA)＝sinBsinC，
由正弦定理，得(b＋c＋a)(b＋c－a)＝bc，
整理，得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理，得cosA＝＝，∴sinA＝.
(2)由(1)知方程x2－9x＋25cosA＝0可化为x2－9x＋20＝0，
解之得x＝5或x＝4，∵b>c，∴b＝5，c＝4.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a＝3.
(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．
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双基限时练(五)
1．如图，B，C，D三点在地面同一直线上，CD＝a，从C，D两点测得A点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A离地面的高度等于( )
A. B.
C. D.
解析 在△ACD中，由正弦定理，
得＝，∴AC＝.
在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝.
答案 D
2．在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度为( )21cnjy.com
A．20(1＋) m B．20 m
C．20(＋) m D．10(＋) m
解析 如图所示，易知AD＝CD＝AB＝20(m)，
在Rt△ADE中，DE＝ADtan60°＝20 (m)．
∴塔吊的高度为CE＝CD＋DE＝20(1＋)(m)．
答案 A
3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析 由山顶看塔底的俯角为60°，可知 ( http: / / www.21cnjy.com )山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m，则200－x＝×，∴x＝ m.www.21-cn-jy.com
答案 A
4．如图，一船从C处向正北航 ( http: / / www.21cnjy.com )行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时( )2·1·c·n·j·y
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
解析 由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝BD＝5.
故这只船的速度是10海里/小时．
答案 C
5．如图，CD是一座铁塔， ( http: / / www.21cnjy.com )线段AB和塔底D同在水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为( )21·世纪*教育网
A．18 m B．20 m
C．32 m D．24 m
解析 在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，∴CD＝ADtan60°＝AD.
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝AD.
在△ABD中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即242＝AD2＋3AD2－2×AD2×，
∴AD＝24.
故CD＝24(m)．
答案 D
6．某人向正东方向走x km后，向右转15 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，然后朝旋转后的方向走3 km后他离最开始的出发点恰好为 km，那么x的值为________．21·cn·jy·com
解析 如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.
由余弦定理，得()2＝32＋x2－2×3×xcos30°，
即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检验都适合题意．
答案 或2
7．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东 ( http: / / www.21cnjy.com )航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
解析 由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，
∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°.
由正弦定理BC＝·sin∠BAC＝·sin30°＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
答案 无
8．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼， ( http: / / www.21cnjy.com )AB⊥BD，CD⊥BD，从甲梯顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米．21教育网
解析 在Rt△ABD中，AB＝24，∠BAD＝30°，∴BD＝ABtan30°＝8.
在△ACE中，CE＝AE·tanα＝BDtan30°＝8.
∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．
答案 32
9．甲船自某港出发时，乙船在 ( http: / / www.21cnjy.com )离港7海里的海上驶向该港，已知两船的航向成120°角，甲、乙两船航速之比为2：1，求两船间距离最短时，各离该海港多远？21世纪教育网版权所有
解 如图所示，甲船由A港沿AE方
向行驶，乙船由D处向A港行驶，显 ( http: / / www.21cnjy.com )然∠EAD＝60°.设乙船航行到B处行驶了s海里，此时A船行驶到C处，则AB＝7－s，AC＝2s，而∠EAD＝60°，由余弦定理，得BC2＝4s2＋(7－s)2－4s(7－s)cos60°＝7(s－2)2＋21(0≤s<7)．【来源：21·世纪·教育·网】
∴s＝2时，BC最小为，此时AB＝5，AC＝4.
即甲船离港4海里，乙船离港5海里．
故两船间距离最短时，甲船离港4海里，乙船离港5海里．
10.
如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？www-2-1-cnjy-com
解 设到C点甲船遇上乙船，
则AC＝BC，B＝120°，
由正弦定理，知＝，
即＝，sin∠CAB＝.又∠CAB为锐角，
∴∠CAB＝30°.
又C＝60°－30°＝30°，∴BC＝AB＝10，
又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，
∴AC＝10(海里)，
因此甲船应取北偏东30°方向航行才能遇上乙船，遇上乙船时甲船行驶了10海里．
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双基限时练(六)
1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
A．9 B．18
C．9 D．18
解析 由正弦定理得＝，
∴AC＝＝＝6.
又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝×6×6×＝9.
答案 C
2．在△ABC中，若a2＋b2＋abA．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．形状无法判定
解析 由a2＋b2＋ab又cosC＝<－.
又cos120°＝－，∴C>120°，故△ABC为钝角三角形．
答案 A
3．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tanC为( )
A. B．1
C. D.
解析 由S△ABC＝BC·BAsinB＝，得BA＝1，
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.
∴AC＝，∴AC2＋BA2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形，其中A为直角．
∴tanC＝＝.
答案 C
4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )21教育网
A．6 B.
C．8 D．10
解析 由5x2－7x－6＝0，得x＝－，或x＝2(舍去)．∴cosα＝－，sinα＝，∴S△＝×3×5×＝6.www.21-cn-jy.com
答案 A
5．△ABC中，A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为( )
A．7 B．25
C．55 D．49
解析 由S＝220 ，得bcsinA＝220 .
即×16×c×＝220 ，∴c＝55.
∴a2＝b2＋c2－2bccos60°
＝162＋552－2×16×55×＝2401.
∴a＝49.
答案 D
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝________.21·cn·jy·com
解析 c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2××3×＝3，
∴c＝.
又＝，∴sinA＝＝＝，
∴a答案 30°
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______.21世纪教育网版权所有
解析 ∵(b－c)cosA＝acosC，
∴由正弦定理，得
(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.
∴sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝.
答案
8．在△ABC中，a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝________.
解析 由余弦定理cosA＝，得bc·cosA＝(b2＋c2－a2)，同理ac·cosB＝(a2＋c2－b2)．21cnjy.com
∴a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB
＝a2－b2＋(b2＋c2－a2)－(a2＋c2－b2)
＝a2－b2＋b2－a2＝0.
答案 0
9．在△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4，则的值为________．
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，得a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)．2·1·c·n·j·y
又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×1×4×＝13，
∴a＝，
∴＝2R＝＝＝.
答案
10．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求角C；
(2)求边a的长．
解 (1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，
sinC＝＝，则C＝60°.
(2)由余弦定理，可知
c2＝a2＋b2－2abcosC，
则()2＝42＋a2－2×4×a×，即a2－4a－5＝0.
所以a＝5，或a＝－1(舍)．
因此所求角C＝60°，边a长为5.
11．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解 (1)由余弦定理及已知条件，得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，
所以absinC＝得ab＝4，
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0时，A＝，B＝，
∴a＝，b＝.
∴△ABC的面积S＝··b＝.
当cosA≠0时，sinB＝2sinA，
由正弦定理，知b＝2a，
联立方程组解得
∴△ABC的面积S＝absinC＝.
12．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
解 (1)在△ABC中，∵cosA＝，∴sinA＝.
又S△ABC＝bcsinA＝30，∴bc＝12×13.
∴·＝||||cosA＝bccosA＝144.
(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，
∴b＝12，c＝13.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝122＋132－2×12×13×＝25，
∴a＝5.
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双基限时练(四)
1．在△ABC中，若sinB：sinC＝3：4，则边c?b等于( )
A．4：3，或16：9 B．3：4
C．16：9 D．4：3
解析 由正弦定理＝，得＝＝.
答案 D
2．在△ABC中，已知a＝32，b＝16，∠A＝2∠B，则边长c等于( )
A．32 B．16
C．4 D．16
解析 由正弦定理，可得＝＝＝2cosB.∴cosB＝，∴B＝45°，A＝90°，∴c＝b＝16.21cnjy.com
答案 B
3．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析 由正弦定理及题设条件， ( http: / / www.21cnjy.com )知＝＝.由＝，得sin(A－B)＝0.∵0答案 B
4．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )
A．6 B．2
C．3 D．4
解析 由余弦定理，得
AC2＝BC2＋AB2－2·AB·BC·cosB
＝62＋42－2×6×4×
＝36，∴AC＝6.
答案 A
5．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为7 ( http: / / www.21cnjy.com )5°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )21世纪教育网版权所有
A．5 B．10
C．10 D．10
解析 如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10 m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°.21·cn·jy·com
由正弦定理得＝.
即BC＝＝＝10(m)．
答案 C
6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cosA＝－，则sinB＝________.
解析 ∵cosA＝－，∴sinA＝.
由正弦定理，可得＝，
∴sinB＝＝×＝.
答案
7．一艘船以4 km/h的速度沿着与水 ( http: / / www.21cnjy.com )流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为________．
解析 如图所示，设O表示水流方向，O为船航行方向．则O为船实际航行方向．
由题意，知|A|＝4，|O|＝2，∠OAC＝60°，
在△OAC中，由余弦定理，
得OC2＝(4)2＋(2)2－2×4×2×＝36.
∴|OC|＝6.
答案 6 km
8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.
解析 如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.
答案 7
9．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一 ( http: / / www.21cnjy.com )只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.21教育网
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝＝＝(cm)．
答案 cm
10．如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别 ( http: / / www.21cnjy.com )位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝ km，当目标出现在B点时，测得∠BCD＝75°，∠CDB＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．
解 ∠CBD＝180°－∠CDB－∠BCD＝180°－45°－75°＝60°，
在△BCD中，由正弦定理，得
BD＝＝.
在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，
由余弦定理，得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°
＝3＋2－2×××＝5＋2.
∴AB＝.
∴炮兵阵地与目标的距离为km.
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