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双基限时练(十五)
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )
A．33 B．72
C．84 D．189
解析 ∵a1＝3，a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21，
∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，或q＝－3(舍去)．∴a3＝a1q2＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
答案 C
2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝( )
A．80 B．90
C．95 D．100
解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝40，
a3＋a4＝a3(1＋q)＝60，
∴q2＝＝.
∴a5＋a6＝q2(a3＋a4)＝×60＝90.
答案 B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列，或者是等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
解析 由Sn＝an－1，知当a＝1时，
Sn＝0，此时{an}为等差数列(an＝0)．
当a≠1时，{an}为等比数列．
答案 C
4．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于( )
A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2
C．2n－n D．2n
解析 解法1：当a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，
an＝2n－1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)21世纪教育网版权所有
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝－n＝2n＋1－2－n.
解法2：取n＝2，则S2＝4，排除A，C，取n＝3，则S3＝11，排除D.
答案 B
5．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
解析 由等比数列的定义，知a≠0，且a≠1.
答案 D
6．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．21cnjy.com
解析 依题意，有4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，
即a2＝3a3，∴q＝＝.
答案
7．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为________．
①{a}；②{a2n}；③{}；④{lg|an|}
答案 ①②③
8．求数列，，，，…的前n项和．
解 Sn＝＋＋＋＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－.
9．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.21·cn·jy·com
解 设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，
a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得a3·a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200.
当d＝1时，a1＝a4－3d＝7.
于是S20＝20a1＋×d＝20×7＋190＝330.
10．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
解 (1)设{an}的公比为q，由a1＝2， ( http: / / www.21cnjy.com )a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴q＝2.因此{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题意Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
11．已知公差不为0的等差数列{an}的前4项的和为20，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n×2an，求 ( http: / / www.21cnjy.com )数列{bn}的前n项和，并判断是否存在n(n∈N*)，使得Sn＝1440成立？若存在，求出所有n的解；若不存在，请说明理由．21教育网
解 (1)设{an}的公差为d，依题意得
即解得∴an＝2n.
(2)∵bn＝n×22n＝n×4n，
∴Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
两式相减，得
－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n×4n＋1
∴Sn＝4n＋1＋.
令4n＋1＋＝1440，化简得(3n－1)4n＝3239.
∵左边为偶数，右边为奇数，∴方程无解．即不存在n∈N*，使Sn＝1440成立．
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双基限时练(十一)
1．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( )
A．n B．n(n＋1)
C．n(n－1) D.
答案 D
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和且a3＝－6，a7＝6，则( )
A．S4＝S5 B．S5＝S6
C．S4>S6 D．S5>S6
解析 ∵a3＋a7＝2a5＝0，
∴a5＝0，∴S4＝S5.
答案 A
3．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
解析 an＝3n2－28n＝3(n2－n)
＝32－3×2.
∵n∈N*，∴当n＝5时，an有最小值．
答案 B
4．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A．求数列的前10项和(n∈N*)
B．求数列的前10项和(n∈N*)
C．求数列的前11项和(n∈N*)
D．求数列的前11项和(n∈N*)
解析 要理解循环体的含义，当第一次执行k＝1时，S＝；当第二次执行k＝2时，S＝＋.可见，该程序是求前10项的偶数的倒数和．21教育网
答案 B
5．若数列{an}的前n项和Sn＝ ( http: / / www.21cnjy.com )n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第__________项．21cnjy.com
解析 当n＝1时，a1＝S1＝－9，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]
＝2n－11，当n＝1时，也成立，
∴an＝2n－11，
nan＝2n2－11n＝22－.
∵n∈N*，∴当n＝3时，nan有最小值．
答案 2n－11 3
6．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.21世纪教育网版权所有
解析 由于a1－a2＝，b1－b2＝，则＝.
答案
7．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________.21·cn·jy·com
解析 ＝＝＝＝＝＝.
答案
8．在等差数列{an}中，a2＋a9＝2，则它的前10项和S10＝________.
解析 S10＝×10＝5(a2＋a9)＝10.
答案 10
9．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0.
(1)求a1，a2；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
解 (1)a1＝S1＝(a1＋1)2 a1＝1.
a1＋a2＝(a2＋1)2 a2＝3.
(2)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]
＝(a－a)＋(an－an－1)，
由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3)∵bn＝20－an＝21－2n，
∴bn－bn－1＝－2，b1＝19.
∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．
∴ Tn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n.
故当n＝10时，Tn的最大值为100.
10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.www.21-cn-jy.com
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝(c≠0)，求常数c的值；
(3)对(2)中的bn，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)由等差数列的性质知，
a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3
∴a3＝9，a4＝13.
∴d＝a4－a3＝4，
a1＝a3－2d＝9－8＝1，
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，
Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列．
∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0.
又∵c≠0，∴c＝－.
(3)由(2)知b n＝2n，
∴cn＝＝，
∴Tn＝＝.
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双基限时练(十)
1．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析 a1＝1，a3＋a5＝2a1＋6d＝14，
∴d＝2，∴Sn＝n＋×2＝100.
∴n＝10.
答案 B
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析 S7＝×7＝35，
∴a1＋a7＝10，∴a4＝＝5.
答案 D
3．设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 依题意
∵a1＋a3＝2a2，∴a2＝4.
∴解得或
∵{an}是递增数列，∴a1＝2.
答案 B
4．若数列{an}为等差数列，公差为，且S100＝145，则a2＋a4＋…＋a100的值为( )21cnjy.com
A．60 B．85
C. D．其他值
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S1，
则a2＋a4＋…＋a100＝S1＋50d.
依题意，有S1＋S1＋50d＝145.
又d＝，∴S1＝60.
∴a2＋a4＋…＋a100＝60＋25＝85.
答案 B
5．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )
A．2 B．3
C．6 D．7
解析 由题意，有a1＋a2＝4，a1＋a2＋a3＋a4＝20，
∴a3＋a4＝16.
∴a1＋2d＋a2＋2d＝16.
∴4d＝12，d＝3.
答案 B
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665
C．763 D．663
解析 被7除余2的自然数，构成等差数列， ( http: / / www.21cnjy.com )其首项a1＝2，公差d＝7.最大的an＝93，由2＋(n－1)×7＝93得n＝14.∴这些数的和为S＝×14＝665.21·cn·jy·com
答案 B
7．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，(n∈N*)，其中a，b为常数，则ab＝________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵an＝4n－，∴a1＝.
又知{an}为等差数列，且d＝4，
∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an
＝n＋×4＝2n2－n.
∴a＝2，b＝－，∴ab＝－1.
答案 －1
8．在等差数列{an}中，S4＝6，S8＝20，则S16＝________.
解析 S4＝6，S8＝S4＋a5＋a6＋a7＋a8＝20，
∴a1＋…＋a4＝6，a5＋…＋a8＝14.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝22，
a13＋…＋a16＝30，∴S16＝72.
答案 72
9．在数列{an}中，an＋1＝(n∈N*)，且a5＝，则a3＝________.
解析 由an＋1＝，得＝＝＋，即－＝，所以数列是公差为的等差数列，故＝－2d＝2－2×＝1，即a3＝1.21教育网
答案 1
10．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n.
解 (1)设{an}的首项为a1，公差为d，
则∴
∴通项an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d，Sn＝242，可得方程
12n＋×2＝242.
解得n＝11或n＝－22(舍去)，∴n＝11.
11．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}的前n项和Sn的最大值．
解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件
解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.
(2)Sn＝na1＋d
＝－n2＋4n
＝－(n－2)2＋4，
所以，当n＝2时，Sn取得最大值4.
12．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a3＝7，a5＋a7＝26，∴
解得
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.即an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.21世纪教育网版权所有
(2)由(1)知an＝2n＋1，
∴bn＝＝＝×＝×.
∴Tn＝×＝×＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
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双基限时练(七)
1．下列叙述正确的是( )
A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列
B．数列0,1,2,3，…的通项公式为an＝n
C. 0,1,0,1，…是常数列
D．数列是递增数列
答案 D
2．数列，，，，…的第10项是( )
A. B.
C. D.
答案 C
3．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是( )
A．12 B．13
C．15 D．16
答案 C
4．下列说法不正确的是( )
A．数列可以用图形表示
B．数列的通项公式不唯一
C．数列的项不能相等
D．数列可能没有通项公式
答案 C
5．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析 由an＋1－an－3＝0，得an＋1＝an＋3，
∴数列{an}是递增数列．
答案 A
6．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n(n∈N*)
B．an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)
C．an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*，n≥2)
D．an＝an－1＋(n－1)(n∈N*，n≥2)
解析 把数的前5项代入验证，知an＝an－1＋n适合．
答案 B
7．观察数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，，________，，….
答案 3
8．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
解析 令＝0.08，得
2n2－25n＋50＝0，解得n＝10，或n＝(舍去)，
∴a10＝0.08.
答案 10
9．若数列的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________；＝________.
解析 ∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n＝3－4n，
＝＝.
答案 3－4n
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．21世纪教育网版权所有
解析 由an＝n2－8n＋12<0，
得(n－2)(n－6)<0，
∴2∴n＝3,4,5共3项．
答案 3
11．根据数列的通项公式，写出下列数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
解 (1)∵an＝(－1)n＋2，
∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.
∴数列的前5项是1,3,1,3,1.
图象如图①.
① ②
(2)数列{an}的前5项依次是：1，，，，.图象如图②.
12．已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)求a10；
(2)是否为该数列中的项？若是，它为第几项？
(3)求证：0解 (1)a10＝＝.
(2)令an＝，即＝，解得n＝3，
∴为数列{an}中的项，为第3项．
(3)证明：an＝＝1－.
∵n∈N*，∴3n＋1>3.
∴0<<1，∴0<1－<1，即021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(十三)
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为( )
A．4 B.
C. D．2
解析 a6·q3＝a9，∴q3＝＝，∴a3＝＝6×＝4.
答案 A
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )21世纪教育网版权所有
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析 由等比数列的性质，知
a1·a2·a3…a10＝(a5·a6)5＝95＝310，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2…a10)＝log3310＝10.
答案 B
3．数列{an}为等比数列，且an＝an＋1＋an＋2，an>0，则该数列的公比q是( )
A. B.
C. D.
解析 由an＝an＋1＋an＋2，得an＝anq＋anq2.
∵an>0，∴q2＋q－1＝0，解得q＝.
答案 D
4．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于( )
A. B.
C. D．6
解析 ∵a7·a14＝a4·a17＝6，
a4＋a17＝5，且an>an＋1，
∴a4＝3，a17＝2，∴q13＝＝.
∴＝＝＝.
答案 A
5．在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于( )21cnjy.com
A．48 B．72
C．144 D．192
解析 a6·a7·a8＝(a5·a6·a7)q3
∴24＝3q3，∴q3＝8，
∴a7·a8·a9＝(a6·a7·a8)q3＝24×8＝192.
答案 D
6．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析 依题意，知ak＝a1＋(k－1)d＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，
a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d.
又a＝a1·a2k.∴(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.
即k2－2k－8＝0.
∴k＝4，或k＝－2(舍去)．
答案 B
7．已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.21·cn·jy·com
解析 ∵a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.
答案 5
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2an＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
又b7＝a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
答案 16
9．画一个边长为2厘米的正方形，再以这 ( http: / / www.21cnjy.com )个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．2·1·c·n·j·y
解析 依题意这10个正方形的边长构成以 ( http: / / www.21cnjy.com )2为首项，为公比的等比数列{an}，(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a＝[2()9]2＝4×29＝2048.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 2048
10．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项，并求出通项公式．
解 设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q2＝12，①
a1q3＝18，②
②÷①得 q＝.③
把③代入①得 a1＝.
因此，a2＝a1q＝×＝8，
an＝a1·qn－1＝·()n－1，
所以数列的第1项和第2项分别为和8，通项公式为an＝()n－1.
11．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．
解 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2.
故这三个数可表示为2－d,2,2＋d.
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)．
解得d＝6或d＝0(舍去)．
此时三个数为－4,2,8.
②若2为等比中项，则有22＝(2－d)(2＋d)．解得d＝0(舍去)．
③若2＋d为等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)．
此时三个数为8,2，－4.
综上可知，这三个数是8,2，－4.
12．在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.21教育网
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的通项公式；
(3)当＋＋…＋最大时，求n的值．
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3a5＋a＝25.
又an>0，∴a3＋a5＝5.①
又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4.②
而q∈(0,1)，∴a3>a5.
∴由①与②解得a3＝4，a5＝1.
∴q2＝＝，q＝.∴a1＝16.
∴an＝16×()n－1＝25－n.
(2)bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，b1＝4.
∴数列{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列．
∴Sn＝.
(3)由＝，得当n≤8时，>0，
当n＝9时，＝0，当n>9时，<0，
∴当n＝8或n＝9时，＋＋…＋最大．
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双基限时练(九)
1．在等差数列{an}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－
解析 2a4＝a2＋a6＝1－1＝0，∴a4＝0.
答案 C
2．已知等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
答案 A
3．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析 a2＋a3＝2a1＋3d＝13，
又a1＝2，∴d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a5
＝3(a1＋4d)＝3(2＋12)＝42.
答案 B
4．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝20，∴a3＝4.
答案 A
5．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
解析 由已知，可得a51＝0，∴a3＋a99＝2a51＝0.
答案 C
6．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( )21教育网
A．0 B．37
C．100 D．－37
解析 令cn＝an＋bn，则{ ( http: / / www.21cnjy.com )cn}也为等差数列，c1＝a1＋b1＝100，∴c2＝a2＋b2＝100，∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100.21cnjy.com
答案 C
7．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝________.
解析 a8＝a3＋5d，
∴d＝＝＝－6.
答案 －6
8．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
解析 a5＋a8＝a2＋a11＝a3＋a10，又a2＋a3＋a10＋a11＝36，∴a5＋a8＝18.21·cn·jy·com
答案 18
9．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
解析 依题意得－＋1＝0，即－＝1，
∴数列为等差数列，且公差d＝1.又＝1，∴＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n2.
答案 n2
10．已知{an}是等差数列，a1＝15，an＝17－2n，则过(3，a2)、(4，a4)两点的直线的斜率为________．www.21-cn-jy.com
解析 ∵a1＝15，an＝17－2n，
∴a2＝17－4＝13，a4＝17－8＝9.
∴过点(3,13)、(4,9)两点的直线的斜率为k＝＝－4.
答案 －4
11．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
解 (1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，
b3＝a5＝9，…，
bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7.
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
12．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)．求：21世纪教育网版权所有
(1)x的值；
(2)通项an.
解 (1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3
＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因为a1，a2，a3成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3，
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，
解得x＝0，或x＝3.
(2)当x＝0时， a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．
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双基限时练(十四)
1．数列{2n}的前n项和Sn等于( )
A．2n－1 B．2n－2
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
解析 Sn＝＝2n＋1－2.
答案 D
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33
C．35 D．37
解析 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.
a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)
＝q5＝25＝32.
∴S10＝1＋32＝33.
答案 B
3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是( )
A．179 B．211
C．248 D．275
解析 ∵a5＝a1q4，∴16＝81·q4.
又an>0，∴q＝.
∴S5＝＝＝211.
答案 B
4．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1.
∴qn－1＝32＝25.取n＝6，q＝2，
这时S6＝＝189.适合题意．
答案 C
5．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则( )
A．a1＝1 B．a3＝1
C．a4＝1 D．a5＝1
解析 由等比数列的性质，知
T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝1，∴a3＝1.
答案 B
6．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列{}的前n项和为( )
A. B.
C. D.
解析 数列{}仍为等比数列，且公比为，
所以前n项和Sn′＝＝＝＝.
答案 D
7．已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋2)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.21世纪教育网版权所有
解析 由log2(Sn＋2)＝n＋1，得
Sn＋2＝2n＋1，Sn＝2n＋1－2.
当n＝1时，S1＝a1＝22－2＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
当n＝1时也成立，故an＝2n.
答案 2n
8．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝________.
解析 a4－a3＝2(S3－S2)＝2a3，∴a4＝3a3.
∴q＝＝3.
答案 3
9．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，有下列三个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；
②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；
③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列．
其中真命题的序号是________．
解析 易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝＝－·qn知②不正确，③正确．
答案 ①③
10．已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求：21cnjy.com
(1)p，q的值；
(2)数列{xn}前n项和Sn.
解 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q且x1＋x5＝2x4，得21·cn·jy·com
3＋25p＋5q＝25p＋8q.
解得p＝1，q＝1.
(2)由(1)知xn＝2n＋n，
∴Sn＝x1＋x2＋…＋xn
＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…＋n)
＝2n＋1－2＋.
11．设数列{an}满足关系：an＝an－1＋5(n≥2)，a1＝－，令bn＝an＋10，求数列{bn}的前n项和Sn.21教育网
解 由a1＝－，an＝an－1＋5，bn＝an＋10，知
bn＝an＋10＝an－1＋15
＝(an－1＋10)＝bn－1.
又b1＝a1＋10＝10－＝.
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，故
Sn＝＝3＝3n－3.
12．某单位从市场上购进一辆新型轿车， ( http: / / www.21cnjy.com )购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%，当年折旧的费用也为该年花费在该车上的费用)，试问：使用多少年后，该单位花费在该车上的费用就达36万元，并说明理由．
解 用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则有
a1＝6＋36×0.1，
a2＝6＋(36×0.9)×0.1，
a3＝6＋(36×0.92)×0.1，…，
类推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1.
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝6n＋36×0.1×[1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1]
＝6n＋3.6×
＝6n＋36(1－0.9n)．
令Sn＝36，得n＝6×0.9n,0.9n＝.
注意到1当n＝4时，0.94＝0.6561，＝≈0.6667，所以n＝4.
故使用4年后，花费在轿车上的费用就已达到36万元．
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双基限时练(六)
1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
A．9 B．18
C．9 D．18
解析 由正弦定理得＝，
∴AC＝＝＝6.
又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝×6×6×＝9.
答案 C
2．在△ABC中，若a2＋b2＋abA．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．形状无法判定
解析 由a2＋b2＋ab又cosC＝<－.
又cos120°＝－，∴C>120°，故△ABC为钝角三角形．
答案 A
3．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tanC为( )
A. B．1
C. D.
解析 由S△ABC＝BC·BAsinB＝，得BA＝1，
由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB.
∴AC＝，∴AC2＋BA2＝BC2.
∴△ABC为直角三角形，其中A为直角．
∴tanC＝＝.
答案 C
4．三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )21教育网
A．6 B.
C．8 D．10
解析 由5x2－7x－6＝0，得x＝－，或x＝2(舍去)．∴cosα＝－，sinα＝，∴S△＝×3×5×＝6.21·cn·jy·com
答案 A
5．△ABC中，A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为( )
A．7 B．25
C．55 D．49
解析 由S＝220 ，得bcsinA＝220 .
即×16×c×＝220 ，∴c＝55.
∴a2＝b2＋c2－2bccos60°
＝162＋552－2×16×55×＝2401.
∴a＝49.
答案 D
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝________.21世纪教育网版权所有
解析 c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋9－2××3×＝3，
∴c＝.
又＝，∴sinA＝＝＝，
∴a答案 30°
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______.21cnjy.com
解析 ∵(b－c)cosA＝acosC，
∴由正弦定理，得
(sinB－sinC)cosA＝sinAcosC.
∴sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.∴cosA＝.
答案
8．在△ABC中，a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB＝________.
解析 由余弦定理cosA＝，得bc·cosA＝(b2＋c2－a2)，同理ac·cosB＝(a2＋c2－b2)．www.21-cn-jy.com
∴a2－b2＋bc·cosA－ac·cosB
＝a2－b2＋(b2＋c2－a2)－(a2＋c2－b2)
＝a2－b2＋b2－a2＝0.
答案 0
9．在△ABC中，A＝60°，b＝1，c＝4，则的值为________．
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R，得a＋b＋c＝2R(sinA＋sinB＋sinC)．2·1·c·n·j·y
又a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×1×4×＝13，
∴a＝，
∴＝2R＝＝＝.
答案
10．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求角C；
(2)求边a的长．
解 (1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，
sinC＝＝，则C＝60°.
(2)由余弦定理，可知
c2＝a2＋b2－2abcosC，
则()2＝42＋a2－2×4×a×，即a2－4a－5＝0.
所以a＝5，或a＝－1(舍)．
因此所求角C＝60°，边a长为5.
11．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．
解 (1)由余弦定理及已知条件，得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，
所以absinC＝得ab＝4，
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即sinBcosA＝2sinAcosA.
当cosA＝0时，A＝，B＝，
∴a＝，b＝.
∴△ABC的面积S＝··b＝.
当cosA≠0时，sinB＝2sinA，
由正弦定理，知b＝2a，
联立方程组解得
∴△ABC的面积S＝absinC＝.
12．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
解 (1)在△ABC中，∵cosA＝，∴sinA＝.
又S△ABC＝bcsinA＝30，∴bc＝12×13.
∴·＝||||cosA＝bccosA＝144.
(2)由(1)知bc＝12×13，又c－b＝1，
∴b＝12，c＝13.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝122＋132－2×12×13×＝25，
∴a＝5.
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双基限时练(八)
1．下列数列不是等差数列的是( )
A．0,0,0，…，0，…
B．－2，－1,0，…，n－3，…
C．1,3,5，…，2n－1，…
D．0,1,3，…，，…
答案 D
2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2009－7n，则使an<0的最小n的值为( )
A．286 B．287
C．288 D．289
答案 C
3．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析
∴a12＝－＋11×＝15.
答案 A
4．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为( )
A．5x＋5 B．2x＋1
C．5 D．4
解析 由等差中项，得2(2x＋1)＝x＋4x＋2
∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝4.
答案 D
5．若{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
解析 依题意，得ap＝a1＋(p－1)d＝q，
aq＝a1＋(q－1)d＝p，
∴p－q＝(q－p)d，∴d＝－1，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)(－1)＝0.
答案 B
6．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A．2 B．3
C．6 D．9
解析 依题意，得m＋2n＝8,2m＋n＝10，
两式相加m＋n＝6，∴m和n的等差中项为3.
答案 B
7．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________.21世纪教育网版权所有
解析 由
答案 －2 3
8．已知f(n＋1)＝f(n)－(n∈N*)，且f(2)＝2，则f(101)＝________.
解析 令an＋1＝f(n＋1)，则
an＋1＝an－，且a2＝2，
∴a2＝a1－，∴a1＝.
∴an＝＋(n－1)＝－n.
∴f(101)＝a101＝－×101＝－.
答案 －
9．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为________．21教育网
解析 由an－1＋an＋1＝2an，得
an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
答案 an＝2n－1
10．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.
解 设数列{an}的首项为a1，公差为d，则根据题意，得
解得a1＝4，d＝.
∴an＝4＋(n－1)＝n＋.
∴a25＝×25＋＝40.
11．(1)求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解 (1)由a1＝3，d＝7－3＝4，
n＝4，得a4＝3＋(4－1)×4＝15；
n＝10时，得a10＝3＋(10－1)×4＝39.
(2)由a1＝2，d＝9－2＝7，得这个数列的通项公式为an＝2＋(n－1)×7＝7n－5.
令7n－5＝100，
解得n＝15∈N*，
∴100是这个数列的第15项．
12．假设某市2008年新建住房4 ( http: / / www.21cnjy.com )00万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？21cnjy.com
解 设从2007年年底开始，n年后该市每年新建的住房面积为an万平方米．
由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝400，公差d＝50.
所以an＝a1＋(n－1)d＝350＋50n.
令350＋50n>820，解得n>.
由于n∈N*，则n≥10.
所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米．
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双基限时练(十二)
1．下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.2·1·c·n·j·y
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
解析 由等比数列的定义，知①、②、④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．
答案 C
2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
解析 a6＝a1q5＝32×5＝－1.
答案 B
3．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
解析 由已知，得
∴q2(a1＋a2)＝9，∴q2＝9.
∵an>0，∴q＝3.
∴a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.
答案 B
4．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则等于( )
A．1 B.
C. D.
解析 由an＋1－2an＝0，得＝2，∴{an}为等比数列，且公比q＝2，∴＝＝＝.
答案 D
5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81
C．128 D．243
解析 ∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝a1q6＝64.
答案 A
6．已知x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的前3项，则第4项为____________．
解析 由(2x＋2)2＝x(3x＋3)，∵x＋1≠0，∴4(x＋1)＝3x，∴x＝－4，∴公比q＝＝＝.21世纪教育网版权所有
∴第4项为xq3＝－4×()3＝－.
答案 －
7．2＋与2－的等比中项是________．
答案 ±1
8．已知数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则＝________.21教育网
解析 根据题意得a1＋a2＝5，b＝b1b3＝1×4＝4，又b2>0，
∴b2＝2，∴＝.
答案
9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为________．
解析 设等比数列的公比为q，则q≠0，
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
答案 an＝2×33－n或an＝2×3n－3
10．已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：设数列{lgan}的公差为d ( http: / / www.21cnjy.com )，根据等差数列定义，得lgan＋1－lgan＝d，∴lg＝d，∴＝10d(常数)，∴{an}是一个以10d为公比的等比数列．21cnjy.com
11．已知三个数成等比数列，它们的和为13，它们的积为27，求这三个数．
解 根据题意，设这三个数依次为，a，aq(aq≠0)，则解得或
∴所求三个数依次为1,3,9或9,3,1.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，且 ( http: / / www.21cnjy.com )an≠0(n∈N*)，S1，S2，…，Sn，…，成等比数列，试问数列a2，a3，a4，…，an成等比数列吗？证明你的结论．21·cn·jy·com
解 设a1＝a，则S1＝a1＝a，∵{Sn}成等比数列，设其公比为q，则由等比数列的通项公式有Sn＝S1·qn－1＝aqn－1.www.21-cn-jy.com
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－1－aqn－2＝aqn－2(q－1)．
an＋1＝Sn＋1－Sn＝aqn－aqn－1＝aqn－1(q－1)．
当q＝1时，{Sn}为常数列，此时an＝0与题设条件an≠0矛盾，故q≠1.
又＝＝q(n≥2)，
故数列a2，a3，a4，…，an，…成等比数列．
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