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双基限时练(十五)
1．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a∥b B．a≠b
C．|a|≠|b| D．b＝－a
解析 根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|.
答案 C
2．给出下列四个结论：
①＝＋； ②－＝；
③＋＋＝0; ④|a＋b|≥|a－b|.
其中错误的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①正确，②错误，∵－＝＋＝≠.③错误，∵＋＋＝0≠0.④错误，当a与b方向相反时，有|a＋b|<|a－b|.综上知，仅①正确，故选C.21教育网
答案 C
3．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．a－b
C．－a－(－b) D．－a＋(－b)
解析 ＝＋＝－＝b－a.故选C.
答案 C
4．如图，P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＝，则( )
A.＝
B.＝
C.＋＝
D.－＝
解析 由题意知，BP是以，为邻边所作平行四边形的对角线，＋＝＋＝.
答案 C
5．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
解析 ∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
∴＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝0.
答案 A
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )21cnjy.com
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 以AB，AC为邻边作平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ACDB，则由加减法的几何意义可知＝＋，＝－，因为|＋|＝|－|，所以||＝||.21·cn·jy·com
又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2.2·1·c·n·j·y
答案 C
7．若菱形ABCD的边长为2，则|－－|＝________________________________________________________.
解析 |－－|＝|＋＋|＝||＝2.
答案 2
8．如图，平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________．21·世纪*教育网
解析 ∵＋＝＋，
∴－＝－.
即＝.又A，B，C，D四点不共线，
∴||＝||，且BA∥CD，故四边形ABCD为平行四边形．
答案 平行四边形
9．已知a与b均为非零向量，若|a－b|＝||a|－|b||，则a与b方向________．
解析 当a与b不共线时，如图1，a－b＝，||>|||－|||可得|a－b|>||a|－|b||；【来源：21·世纪·教育·网】
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当a与b反向时，如图2，知a－b＝，||>|||－|||，∴|a－b|>||a|－|b||.www.21-cn-jy.com
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当a与b同向时，如图3，a－b＝，||＝|||－|||，∴|a－b|＝||a|－|b||.
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答案 相同
10．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②③④
11．如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 ∵＝a，＝b，＝c，
＝d，＝e，
∴(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
12.
如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作向量b＋c－a.
解 以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b＋c，＝－＝b＋c－a.
13．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解 如下图，设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作 ABCD，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.21世纪教育网版权所有
由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，
∴四边形ABCD是矩形，故AD⊥AB.
在Rt△ABD中，
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双基限时练(十七)
1．给出下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；
③零向量不可为基底中的向量．
其中正确的说法是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②
解析 因为不共线的两个向量都可以作为 ( http: / / www.21cnjy.com )一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.
答案 B
2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2
B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1
D．e1＋e2和e1－e2
解析 分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.21·cn·jy·com
答案 C
3．在△ABC中，＝3，则等于( )
A.(＋2) B.(＋2)
C.(＋3) D.(＋2)
解析 如图所示，
＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋＝(＋2)，故选A.
答案 A
4．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则等于( )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈
解析 ∵ABCD是菱形，且AC是一条对角线，由向量加法的平行四边形法则知，＝＋，而点P在AC上，
∴三点A，P，C共线，∴＝λ＝λ(＋)，显然λ∈(0,1)，故选A.
答案 A
5．平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
解析 因为＋＝＋，
所以－＝－，
即＝.又A，B，C，D四点不共线，
所以||＝||，且BA∥CD，
故四边形ABCD为平行四边形．
答案 B
6．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON的阴影内，满足＝x＋y，则实数对(x，y)可以是( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
解析 由图观察并根据平面向量基本定理，可知x<0，y<0，故选C.
答案 C
7．已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵a，b不共线，∴a，b可以作为一组基底，又c与b共线，∴c＝λ2b，∴λ1＝0.
答案 0
8．设向量a，b不共线，且＝k1a＋k2b，＝h1a＋h2b，若＋＝ma＋nb，则实数m＝________，n＝________.
解析 ＋＝(k1＋h1)a＋(k2＋h2)b＝ma＋nb.
∴m＝k1＋h1，n＝k2＋h2.
答案 k1＋h1 k2＋h2
9．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析 使a、b为基底，则使a、b不共线，∴λ－2×2≠0.∴λ≠4.
答案 {λ|λ≠4}
10．若a≠0，且b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是________．
答案 30°
11．设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．21教育网
解 如图所示，
＝－＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)＝a＋b.
12．如图所示，在 ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点．已知＝c，＝d，试用c，d表示和.21cnjy.com
解 设＝a，＝b.
由M，N分别为DC，BC的中点，得＝b，＝a.
在△ABN和△ADM中，
①×2－②，得a＝(2d－c)．
②×2－①，得b＝(2c－d)．
∴＝(2d－c)，＝(2c－d)．
13．若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则当t为何值时，a、tb、(a＋b)(t∈R)三向量的终点在同一直线上？
解 设a－tb＝m(m∈R)，
化简得a＝b，
∵a与b不共线，
∴∴
∴t＝时，a、tb、(a＋b)的终点在同一直线上．
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双基限时练(十九)
1．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．(1，－2) B．(9,3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析 ＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，
∵(－4，－8)＝－4(1,2)，
∴(－4，－8)满足条件．
答案 D
2．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点坐标不可能是( )
A．(－9,6) B．(－1，－2)
C．(－7，－2) D．(6，－9)
解析 设C(x，y)，则＝(x－3，y＋6)，＝(－8，8)．
∵A，B，C三点在同一直线上，∴＝，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，不可能的是C.
答案 C
3．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)满足(ka＋b)∥c，则k＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析 ka＋b＝(k－1，k＋1)，
由(ka＋b)∥c，得2(k－1)－4(k＋1)＝0，解得k＝－3.
答案 B
4．若a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析 由a∥b，得×－sinα·sinα＝0，∴sin2α＝，
∴sinα＝±，又α为锐角，∴α＝45°.故选B.
答案 B
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析 ∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，b＝(－2，－4)．
则2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
答案 B
6．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析 ma＋nb＝m(2,3)＋n(－1,2)
＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，
又ma＋nb与a－2b平行，
∴(2m－n)(－1)－(3m＋2n)×4＝0，
即14m＋7n＝0，∴＝－.
答案 C
7．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
解析 ∵a∥b，∴n2－4＝0，∴n＝2或n＝－2，又∵a与b方向相同，∴n＝2.
答案 2
8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.21世纪教育网版权所有
解析 a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，解得m＝－1.21cnjy.com
答案 －1
9．若点A，B的坐标分别为(2，－2)，(4,3)，向量a＝(2k－1,7)，且a∥，则k的值为________．21·cn·jy·com
解析 ＝(2,5)，由a∥可得(2k－1)×5－7×2＝0，解得k＝.
答案
10．已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G(2，－1)，则BC边上的中点的坐标是________．www.21-cn-jy.com
解析 设BC边上的中点为D(x，y)，
则＝2，∴解得
答案 (2，－3)
11．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥，试确定x，y的关系式．
解 因为＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，
所以＝＋＋，
＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(4＋x，y－2)．
又因为∥，所以∥.
所以x(y－2)－y(4＋x)＝0，
xy－2x－4y－xy＝0，故x＋2y＝0.
12．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解 (1)3a＋b－2c＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴∴
(3)由a＋kc＝(3＋4k,2＋k) ( http: / / www.21cnjy.com )，2b－a＝(－5,2)，(a＋kc)∥(2b－a)，得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－.21教育网
13.
如图，已知两点P(－1,6)和Q(3,0)，延长线段QP到A，使||＝||，求A点坐标．
解 解法一：若P为终点，Q为起点，则A(x，y)分所成的比λ＝－4.
∴x＝＝－，
y＝＝8，∴A.
解法二：若Q为起点，A为终点，则P分所成的比λ＝3.设A(x，y)，则－1＝，∴x＝－，6＝，∴y＝8，∴A.
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双基限时练(二十二)
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.＝ B.与共线
C.＝ D.与共线
解析 由题意知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，∴与共线．
答案 D
2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是( )21世纪教育网版权所有
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 ＋－2＝(＋)＋(＋)＝＋，
∴(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0.即2＝2，∴||＝||.故选B.21cnjy.com
答案 B
3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )www.21-cn-jy.com
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
解析
如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，
∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.
又|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|b||c||cosθ|
＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
答案 A
4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( )
①；②；③；④(－7,9)．
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析 ∵A(4,6)，B，
∴＝，易知①、②、③与平行，故选C.
答案 C
5．设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(－1,1)，＝(1－x，－y)，＝(－x,1－y)，2·1·c·n·j·y
∵＝λ，∴(x－1，y)＝(－λ，λ)，∴
∴ ①
又∵·＝(x，y)·(－1,1)＝－x＋y，
·＝(1－x，－y)·(－x,1－y)＝－x(1－x)－y(1－y)，
∴－x＋y≥－x(1－x)－y(1－y)，将①代入可得：λ－1＋λ≥(λ－1)·λ－λ(1－λ)，
整理可得：2λ2－4λ＋1≤0，解得：1－≤λ≤1＋，又P是线段AB上的动点，∴λ≤1，∴1－≤λ≤1，故选B.【来源：21·世纪·教育·网】
答案 B
6．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2 B．4
C．5 D．10
解析 ∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，∴||2＝2－2·＋2.
∴||2＋||2＝(2＋2)－2·(＋)＋22＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝102，故所求值为10.
答案 D
7．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比为________．21·世纪*教育网
解析 ∵＋＋＝，
∴＝－－＝＋＋＝2，
∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，
故＝.
答案
8．质量m＝2.0 kg的物体，在4 N的 ( http: / / www.21cnjy.com )水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为__________．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·＝________.21·cn·jy·com
解析 如图，∵AB＝，取D为AB的中点，又OA＝1，∴∠AOD＝.
∴∠AOB＝.
∴·＝1×1×cos＝－.
答案 －
9.
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．
解析 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
则由题意知，点B(，0)，点E(，1)，设点F(a,2)，
所以＝(，0)，＝(a,2)．
由条件解得点F(1,2)，
所以＝(，1)，＝(1－，2)．
所以·＝.
答案
10．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．21教育网
解析 如下图，过B作BD∥MN，
易知m＝＝，n＝，
∴m＋n＝.∵＝＝1，
∴AD＋AC＝2AN.
∴m＋n＝2.
答案 2
11.
如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2.
求证：AD⊥BC.
分析 解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．
证明 设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d.
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0.
∴⊥，即AD⊥BC.
12．已知点A、B的坐标分别是(－4,3)，(2,5)，并且＝3，＝3，求证：AB∥CD.
证明 ∵＝3，＝3，
∴C(－12,9)，D(6,15)，
∴＝(6,2)，＝(18,6)．
∴＝3，∴AB∥CD.
13．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．
解 设B(x，y)，则||＝.
∵B(x，y)，A(5,2)，
∴||＝.
又||＝||，
∴＝，
整理，得10x＋4y＝29①
∴又＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，且⊥.
∴·＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－5x－2y＝0，②
由①、②解得或
∴B或.
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双基限时练(二十)
1．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A．6＋ B．6－
C．6 D．7
解析 a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.
答案 C
2．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析 cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°，故选D.
答案 D
3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝( )
A．3 B.
C．2 D.
解析 由题意，得|a|cos〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝.
答案 B
4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 |2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
答案 B
5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为( )21教育网
A．2 B．4
C．6 D．12
解析 (a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2
＝a2＋a·b－2b2＝－32，
又a·b＝|a||b|cos＝|a|×4×＝－2|a|，
∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.
∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．
答案 A
6．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析 因为2＝·＋·＋·＝·(－)＋·＝·＋·，所以·＝0，即⊥，所以三角形为直角三角形，选D.21cnjy.com
答案 D
7．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
解析 设b＝(x，y)，则∴x2＝9.
∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．
∴b＝(3，－6)．
答案 (3，－6)
8．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.21·cn·jy·com
解析 由|ka＋b|＝|a－kb|，
得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝，
∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案 1
9．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．www.21-cn-jy.com
解析 ∵|a|＝，a·(a＋b)＝1，
∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.
∴a·b＝－1.
设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案
10．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．2·1·c·n·j·y
解析 因为＝＋＋＝－＋＋＝－，
所以·＝(＋)·＝2＋·－2＝1＋×1×||cos60°－||2＝1，所以||－||2＝0，解得||＝.
答案
11．在△ABC中，||＝4，||＝9，∠ACB＝30°，
求·.
解 如图所示，
与所成的角为∠ACB的补角即150°，
又因为||＝4，||＝9，
所以·＝||·||cos150°＝4×9×＝－18.
12．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，
∴|b|＝ ＝.
设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，
∴|a－b|＝.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，
∴|a＋b|＝.
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cosα＝＝＝.
13．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时．
(1)求t的值(用a，b表示)；
(2)求证：b与a＋tb垂直．
(1)解 |a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．21世纪教育网版权所有
(2)证明 (a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．
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双基限时练(十八)
1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由平面向量基本定理可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．21世纪教育网版权所有
答案 B
2．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
解析 ＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)，故选A.
答案 A
3．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝( )
A．(0,5) B．(0,1)
C．(2,5) D．(2,1)
解析 ＝(－)＝(4,2)＝(2,1)．
答案 D
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于y轴
B．平行于第一、第三象限的角平分线
C．平行于x轴
D．平行于第二、第四象限的角平分线
解析 a＋b＝(x,1)＋(－x，x2)＝(0,1＋x2)，
由1＋x2≠0及向量的性质可知，a＋b平行于y轴．
答案 A
5．若M(4，－1)，＝(4，－1)，则有( )
A．点M与点A重合
B．点M与点B重合
C．点M在上
D.＝(O为坐标原点)
解析 M(4，－1)，即＝(4，－1)，又＝(4，－1)，∴＝.
答案 D
6．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b－a的坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(3,4) D．(－3，－4)
解析 a＝(3,2)，b＝(0，－1)，∴2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)．21教育网
答案 D
7．在平行四边形ABCD中，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.(用坐标表示)21cnjy.com
解析 ＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案 (－1，－1)
8．平面上三点分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC中点，则向量的坐标为________．21·cn·jy·com
解析 依题意知＝(＋)＝(2,1)＝，则＝－＝(2，－5)－＝.
答案
9．若点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)且＝2－3，则点D的坐标为________．www.21-cn-jy.com
解析 设D(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(6,2)－(3，－12)＝(3,14)，∴x＋1＝3且y－2＝14，∴x＝2，y＝16.2·1·c·n·j·y
答案 (2,16)
10．已知O为坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
解析 设＝(x，y)，则x＝4 cos60°＝2，
y＝4 sin60°＝6，∴＝(2，6)．
答案 (2，6)
11．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(2,4)，求a，b.
解 ∵2a＋b＝(－4,3)，
∴4a＋2b＝(－8,6)．
又a－2b＝(2,4)，
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(2,4)．
∴5a＝(－6,10)．
∴a＝.
又b＝(2a＋b)－2a
＝(－4,3)－2
＝，
∴a＝，b＝.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试求t为何值时，
(1)点P在x轴上；
(2)点P在y轴上；
(3)点P在第一象限．
解 ∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，
∴＝(1,2)，＝(3,3)．
∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－；
(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－；
(3)若点P在第一象限，则
∴t＞－.
13．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝.
(1)求点E，F及向量的坐标；
(2)求证：∥.
解 (1)设O(0,0)，则＝＋＝＋
＝(－1,0)＋(2,2)
＝，
＝＋＝＋
＝(3，－1)＋(－2,3)＝，
∴E，F.
∴＝－＝.
(2)证明：∵＝－＝(4，－1)，
＝
∴＝＝.
∴∥.
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双基限时练(十三)
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )21·cn·jy·com
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
1．下列说法中正确的个数是( )
(1)零向量是没有方向的 (2)零向量的长度为0
(3)零向量的方向是任意的 (4)单位向量的模都相等
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
2．在下列命题中，正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
解析 分析四个选项知，C正确．
答案 C
3．设a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A. a＝b
B．若a∥b，则a＝b
C. a＝b或a＝－b
D．若a＝c，b＝c，则a＝b
答案 D
4．设M是等边△ABC的中心，则，，是( )
A．有相同起点的向量
B．相等的向量
C．模相等的向量
D．平行向量
解析 由正三角形的性质知，|MA|＝|MB|＝|MC|.
∴||＝||＝||.故选C.
答案 C
5．如右图，在四边形ABCD中，其中＝，则相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 由＝知，四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质知，||＝||，且方向相同，故选D.www.21-cn-jy.com
答案 D
6．下列结论中，正确的是( )
A．2014 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
解析 一个单位长度取作2014 cm时 ( http: / / www.21cnjy.com )，2014 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；易确定B正确，C选项为平行向量；D选项的表示从点A到点B的位移．21世纪教育网版权所有
答案 B
7．如图，ABCD为边长为3的正方形，把各 ( http: / / www.21cnjy.com )边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数是________．2·1·c·n·j·y
解析 如图所示，满足条件的向量有，，，，，，，共8个．
答案 8个
8．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．
解析 这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线．
答案 一条直线
9．如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为________．
解析 注意到从A点出发，这些向量的顺序是a，e，d，c，b.
答案 a，e，d，c，b
10．给出下列说法
(1)若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若a∥b，则a＝b；
(3)若a＝b，则a∥b；
(4)若a＝b，则|a|＝|b|；
(5)若a≠b，则a与b不是共线向量，其中正确说法的序号是________．
解析 (1)错误．因为两个向量不能比较大小．
(2)错误．若a∥b，则a与b的方向不一定相同，模也不一定相等，故无法得到a＝b.
(3)正确．若a＝b，则a与b的方向相同，故a∥b.
(4)正确．若a＝b，则a与b模相等，即|a|＝|b|.
(5)错误．若a≠b，则a与b有可能模不相等但方向相同，所以有可能是共线向量．
答案 (3)(4)
11．如下图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量平行的向量；
(3)与向量模相等的向量；
(4)与向量模相等、方向相反的向量．
解 (1)与向量相等的向量有.
(2)与向量平行的向量有，，，，.
(3)与向量模相等的向量有，，.
(4)与向量模相等、方向相反的向量有，.
12．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 ( http: / / www.21cnjy.com )km到达B点，然后又改变方向向西偏北45°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．21cnjy.com
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解 (1)如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与平行．
又||＝||＝100 km，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴||＝||＝200 km.
13.
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC的中点，求证：向量与共线．21教育网
证明 ∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.
∴四边形DBCE是梯形．
又∵F，G分别是DB，EC的中点，
∴FG是梯形DBCE的中位线．
∴FG∥DE.
∴向量与共线．
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双基限时练(二十一)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
解析 a·b＝－3×5＋4×2＝－7，故选D.
答案 D
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析 由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案 D
3．若非零向量a，b，满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 C
4．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )21·cn·jy·com
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析 ＝(3，－1)，＝(－1，－3)，＝(－4，－2)，
∴||＝，||＝，||＝.
∴||＝||，且||2＋||2＝||2＝20.
∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.
答案 C
5．已知a＝(0,1)，b＝(3，x)，向量a与b的夹角为，则x的值为( )
A．±3 B．±
C．±9 D．3
解析 cos＝＝，
∴2x＝，且x>0，∴3x2＝27，∴x＝3.
答案 D
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
解析 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
∴m＝－，n＝－.
答案 D
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.www.21-cn-jy.com
解析 ∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，
∴a－c＝(3－k，－1)．
又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0，
即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.
∴k＝0，故应填0.
答案 0
8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 a·b＝2－2λ，|a|＝，|b|＝，由a与b的夹角为锐角，得＝>0，即2－2λ>0，21·世纪*教育网
∴λ<1.
当＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案 (－∞，－4)∪(－4,1)
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．21世纪教育网版权所有
解析 a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝，|b|＝，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)2·1·c·n·j·y
解析 由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则
b·(a－b)＝b·a－b2＝0，
∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.
∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.
∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．
答案 [0,1]
11．已知点A(－1,1)，点B(1,2)，若点C在直线y＝3x上，且⊥.求点C的坐标．
解 设C(x,3x)，则＝(2,1)，＝(x－1,3x－2)，
所以2(x－1)＋3x－2＝0，
所以x＝，所以C.
12.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)．
(1)若λa－2b与a垂直，求λ的值；
(2)若a－2kb与a＋b平行，求k的值．
解 (1)∵a＝(1,1)，b＝(2，－3)，
∴λa－2b＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．
∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，
∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.
(2)∵a－2kb＝(1,1)－(4k，－6k)＝(1－4k,1＋6k)，
a＋b＝(3，－2)，且(a－2kb)∥(a＋b)，
∴－2(1－4k)－3(1＋6k)＝0，
∴k＝－.
13．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
解 (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
由·＝1×(－3)＋1×3＝0，
得⊥.∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)，又＝(1,1)，21教育网
∴∴∴C(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，
||＝2，·＝8＋8＝16.
设〈，〉＝θ，
则cosθ＝＝＝.
∴矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
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双基限时练(十六)
1．给出下列四个结论
①－＝；
②0(a)＝0；
③0(0)＝0；
④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①－＝，∴①错．②0(a)＝0，∴②错．
③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.
答案 B
2．下列叙述不正确的是( )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
B. b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
解析 判断a与b共线的方法是：存在实 ( http: / / www.21cnjy.com )数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.21cnjy.com
答案 A
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析 ∵＝＋＝2a＋4b＝2，且有一个公共点B，∴A，B，D三点共线．
答案 A
4．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则为( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析 如右图所示，设AD与BE相交于O，则＝，＝，＝，＝.
∴＝2＝2(＋)
＝2＝b＋a，应选B.
答案 B
5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果＝3e1，＝3e2，那么等于( )
A．e1＋2e2 B. 2e1＋e2
C.e1＋e2 D.e1＋e2
解析 如图所示，＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A.
答案 A
6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
解析 易得－＝λ，即＝λ，
从而∥.
又，有一个公共点P，
所以C，P，A三点共线．又λ∈R，
所以点P在直线AC上．
答案 B
7．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
8．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
解析 (4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
a－2c＋15c－12b＝0，
∴13c＝12b－a，
∴c＝b－a.
答案 b－a
9．有下面四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m，n和非零向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中真命题有________．
解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．
答案 ①②④
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于__________．21世纪教育网版权所有
解析 由＝2，
得－＝2(－)
＝＋，
所以λ＝.
答案
11．计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)；
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
＝6a＋4b.
(2)原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]
＝(－3a＋6b)
＝2b－a.
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b
＝－2(m＋n)b.
12．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若＝a，＝b，试用a，b表示向量.21教育网
解 因为AB∥CD，且AB＝3CD，
所以＝3，＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
13．已知：＝3，＝3，且B，C，D，E不共线．
求证：BC∥DE.
证明 ∵＝3，＝3，
∴＝－＝3－3
＝3(－)＝3.
∴与共线．
又∵B，C，D，E不共线．
∴BC∥DE.
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双基限时练(十四)
1．已知a，b，c是非零 ( http: / / www.21cnjy.com )向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为( )21世纪教育网版权所有
A．5 B．4
C．3 D．2
解析 向量加法满足交换律，
所以五个向量均等于a＋b＋c.
答案 A
2．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析 (＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝，故选C.
答案 C
3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
解析 向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错．
答案 B
4．设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析 由向量加法的平行四边形法则易知， ( http: / / www.21cnjy.com )与的和向量过AC边的中点，且长度是AC边中线长的2倍，结合已知条件知，P为AC的中点，故＋＝0.21教育网
答案 C
5．正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为( )
A．0 B.
C．3 D．2
解析 |a＋b＋c|＝|2c|＝2|c|＝2.应选D.
答案 D
6．在 ABCD中，若|＋B|＝|B＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
解析 |＋|＝|＋|＝||，
|＋|＝||，
由||＝||知四边形ABCD为矩形．
答案 B
7.
根据图示填空．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋2＝________.
解析 由三角形法则知
(1)＋＝＋＝；
(2)＋＋＝；
(3)＋＋2＝＋.
答案 (1) (2) (3)＋
8．在正方形ABCD中，边长为1，＝a，＝b，则|a＋b|＝________.
解析 a＋b＝＋＝，
∴|a＋b|＝||＝.
答案
9．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__________.
解析 ∵＋＝，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||.
因此∠ACB＝120°.
答案 120°
10．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则
(1)a＋b＋c表示向________走了________km；
(2)b＋c＋d表示向________走了________km；
(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析 (1)如图①所示，a＋b＋c
表示向南走了2 km.
(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2 km.
(3)如图①所示，|a＋b|＝＝2，a＋b的方向是东南．
答案 (1)南 2 km
(2)西 2 km
(3)2 东南
11.
如图，O为正六边形ABCDEF的中心，试通过计算用图中有向线段表示下列向量的和：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
解 (1)因为四边形OABC是平行四边形，所以＋＝.
(2)因为BC∥AD∥FE；BC＝FE＝AD，
所以＝，＝，
所以＋＝＋＝.
(3)因为||＝||，且与反向．
所以利用三角形法则可知＋＝0.
12．化简：(1)＋＋；
(2)(＋)＋(＋)；
(3)＋(＋)＋.
解 (1)＋＋＝＋＋＝.
(2)(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
(3)＋(＋)＋
＝＋＋＋＝0
13.
如右图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝.
求证：＋＝＋.
证明 由图可知＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵＝，
又与模相等，方向相反，
故＋＝＋＝0.
∴＋＝＋.
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双基限时练(二十三)
1．已知作用在A点的三个力F ( http: / / www.21cnjy.com )1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,2) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
解析 由已知得F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
∴＝＋＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．
答案 B
2．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为v0，则发射角θ应为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析 炮弹的水平速度为v＝v0·cosθ＝v0 cosθ＝ θ＝60°.
答案 D
3．已知三个力F1＝(－2，－1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )21教育网
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析 由题意知，F1＋F2＋F3＋F4＝0.
又F1＋F2＋F3＝(－1，－2)，∴F4＝(1,2)．
答案 D
4．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )21cnjy.com
A．5 N B．5 N
C．10 N D．5 N
解析 如下图所示，|F1|＝|F|cos60°＝10×＝5 N，应选B.
答案 B
5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )
A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
解析 船速v1应大于水速v2，即|v1|>|v2|.
答案 B
6．当两人提重为|G|的书包时，夹角为θ，用力为|F|，则当|F|最小时，θ应为( )
A．0 B.
C. D. π
答案 A
7．河水从东向西流，流速为2 m/s ( http: / / www.21cnjy.com )，一轮船以2 m/s垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．
解析 如图所示，记水速|v1|＝2 m/s，船速|v2|＝2 m/s.
v表示船实际航行的速度，则由图知：|v|＝＝2(m/s)．
方向与水流方向成45°.
答案 西北方向 2 m/s
8．三个力F1，F2，F3同时作用于 ( http: / / www.21cnjy.com )O点且处于平衡状态，已知F1与F2的夹角为120°，又|F1|＝|F2|＝20 N，则|F3|＝________.
解析 由题意有F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，
∴|F3|2＝F＋2F1·F2＋F＝202＋2|F1|·|F2|cos120°＋202＝202，∴|F3|＝20 N.21世纪教育网版权所有
答案 20 N
9．已知速度v1＝(1，－2)，速度v2＝(3,4)，则合速度v＝________.
答案 (4,2)
10．质量m＝2.0 kg的物体， ( http: / / www.21cnjy.com )在4 N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为__________．www.21-cn-jy.com
解析 水平力在3 s内对物体所做的功：F·s＝F·at2＝F·t2＝F2t2＝××42×32＝36(J)．2·1·c·n·j·y
答案 36 J
11.
今有一小船位于d＝60 m宽的河边P ( http: / / www.21cnjy.com )处，从这里起，在下游l＝80 m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？【来源：21·世纪·教育·网】
解
如图，由题设可知，船的实际速度v＝v划＋v水，其方向为临界方向.
则最小划速|v|＝|v水|·sinθ，
sinθ＝＝＝，
∴θ＝37°，
∴最小划速应为|v划|＝5×sinθ＝5×＝3(m/s)．
12．平面上有两个向量e1＝(1, ( http: / / www.21cnjy.com )0)，e2＝(0,1)，今有动点P，从P0(－1,2)开始沿着与向量e1＋e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|，另一动点Q，从点Q0(－2，－1)出发，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|.
设P，Q在t＝0秒时分别在P0，Q0处，则当⊥时，t等于多少秒．
解 ∵P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
∴＝(－1，－3)．
又∵e1＋e2＝(1,1)，∴|e1＋e2|＝.
∵3e1＋2e2＝(3,2)，∴|3e1＋2e2|＝.
∴当t时刻时，点P的位置为(－1＋t,2＋t)，点Q位置为(－2＋3t，－1＋2t)．
∴＝(－1＋2t，－3＋t)．
∵⊥，
∴(－1)×(－1＋2t)＋(－3)×(－3＋t)＝0.
∴t＝2.
即当⊥时所需时间为2秒．
13．如图，用两根分别长 ( http: / / www.21cnjy.com )5米和10米的绳子，将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后，G点距屋顶距离恰好为5米，求A处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．21·cn·jy·com
解 如图，由已知条件可知AG与竖直方向成45°角，BG与竖直方向成60°角．
设A处所受力为Fa，B处所受力为Fb，物体的重力为G，
∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，
则有|Fa|cos45°＋|Fb|cos60°＝|G|＝100，①
且|Fa|sin45°＝|Fb|sin60°.②
由①②解得|Fa|＝150－50，
∴A处所受力的大小为(150－50) N.
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