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双基限时练(二十五)
1．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是( )
A．sinα＋cosα>1
B．sinα－cosα<1
C．sin(α＋β)>sin(α－β)
D．cos(α＋β)>cos(α－β)
解析 令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)
答案 D
2．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝sin(65°－x)c ( http: / / www.21cnjy.com )os(x－20°)－cos(65°－x)·sin(20°－x)＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.21cnjy.com
答案 B
3.在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 在△ABC中，C＝π－(A＋B)，
∴2cosBsinA＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
∴－sinAcosB＋cosAsinB＝0.
即sin(B－A)＝0.
又∵0∴A＝B，故选A.
答案 A
4．sin15°＋cos15°的值是( )
A. B.
C. D．－
解析 sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos ( http: / / www.21cnjy.com )45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×－×＋×＋×＝.21·cn·jy·com
答案 C
5．已知sinα＝，α∈，则sin的值等于( )
A. B.
C. D．－
解析 ∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
sin＝×－×＝－.
答案 D
6.＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析 ∵sin47°＝sin(17°＋30°)＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°，∴＝＝sin30°＝.21世纪教育网版权所有
答案 C
7．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则cosC的值是____．
解析 ∵在△ABC中，cosA＝，cosB＝，
∴sinA＝，sinB＝.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)
＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－×＋×＝.
答案
8．化简：cos＋sin＝________.
解析 原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.www.21-cn-jy.com
答案 cosα
9.cos15°＋sin15°＝________.
答案
10．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)的最小正周期为________，最大值为________．2·1·c·n·j·y
解析 f(x)＝2＝2sin.
∴最小正周期T＝2π，最大值为2.
答案 2π 2
11．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限的角，求sin的值．【来源：21·世纪·教育·网】
解 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
∴sinβ＝－.
又β是第三象限的角，
∴cosβ＝－.
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝－×－×＝－.
12．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
解 ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又已知sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－
cossin
＝×－×
＝－.
13．求证：－2cos(α＋β)＝.
证明 sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
由待证式知sinα≠0，故两边同除以sinα得
－2cos(α＋β)＝.
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双基限时练(二十四)
1．cos17°等于( )
A．cos20°cos3°－sin20°sin3°
B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°
C．sin20°sin3°－sin20°cos3°
D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°
解析 cos17°＝cos(20°－3°)
＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.
答案 B
2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα等于( )
A. B.
C. D．－
解析 原式＝cos(α＋30°－α)
＝cos30°＝.
答案 B
3．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析 ∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
即cos(α－β)＝，
经验证可知选项B正确．
答案 B
4．已知cosα＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D.或－
解析 ∵cosα＝，∴sinα＝±＝±.
∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝·＋·＝有两解，应选D.
答案 D
5.＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案 D
答案 D6.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是( )
A. B.
C. D.
解析 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴斜边AB＝5.
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，
∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB
＝×＋×＝.
答案 C
7．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(α，β∈R)，当α＝，β＝时，a·b＝________.21世纪教育网版权所有
解析 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝cos＝cos＝.
答案
8．若cosαcosβ＝1，则cos(α－β)的值为________．
解析 由cosαcosβ＝1，知
cosα＝cosβ＝－1，或cosα＝cosβ＝1.
∴sinα＝sinβ＝0.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
答案 1
9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为________．
答案 0
10．已知α，β均为锐角，满足cosα＝，sinβ＝，则cos(α－β)＝________.
解析 因为α，β均为锐角，所以sinα＝ ( http: / / www.21cnjy.com )＝，cosβ＝＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.21教育网
答案
11．若x∈，且sinx＝，求2cos＋2cosx的值．
解 ∵x∈，sinx＝，∴cosx＝－.
∴2cos＋2cosx
＝2＋2cosx
＝2＋2cosx
＝sinx＋cosx
＝－
＝.
12．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，求cos(α－β)．21cnjy.com
解 因为a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，所以a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．21·cn·jy·com
所以|a－b|
＝
＝
＝＝，
所以2－2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝.
13．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)．
解 ∵sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，
两式平方相加，得
2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
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双基限时练(二十七)
1．sin15°sin75°的值为( )
A. B.
C. D.
解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.21世纪教育网版权所有
答案 B
2．cos4－sin4等于( )
A．0 B.
C．1 D．－
解析 cos4－sin4
＝
＝cos＝.
答案 B
3．若sin＝，则cos2α的值等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 由sin＝，得cosα＝，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
答案 A
4．化简1－2cos2的结果为( )
A．2cos2θ B．－cos2θ
C．sin2θ D．－sin2θ
解析 1－2cos2＝1－
＝－cos＝－sin2θ.
答案 D
5．若sinx·tanx<0，则等于( )
A.cosx B．－cosx
C.sinx D．－sinx
解析 ∵sinx·tanx<0，∴x为第二或第三象限的角．
∴cosx<0，∴＝＝|cosx|
＝－cosx.
答案 B
6．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( )
A. B.
C. D.
解析 ∵sin2α＋cos2α＝，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∴cosα＝±.又α∈，∴cosα＝，sinα＝.∴tanα＝.
答案 D
7．已知tan2α＝，则tanα的值为________．
解析 由tan2α＝＝，整理可得：tan2α＋4tanα－1＝0. 解得：tanα＝－2±.
答案 －2±
8．coscos＝________.
答案
9．已知tan＝2，则的值为________．
解析 ∵tan＝2，∴＝2，∴tanx＝.
∴＝＝＝＝.
答案
10．已知cos＝，则sin2x＝________.
解析 方法一：∵cos＝，
∴(cosx＋sinx)＝，
∴(1＋2sinxcosx)＝，∴sin2x＝－.
方法二：sin2x＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案 －
11．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由－≤x≤ －≤2x≤π，
所以－≤sin2x≤1，
所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－.
12．已知α为锐角，且tan＝2.
(1)求tanα的值；(2)求的值．
解 (1)tan＝，
所以＝2,1＋tanα＝2－2tanα，
所以tanα＝.
(2)＝
＝
＝
＝sinα.
因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，
又α为锐角，所以sinα＝，
所以＝.
13．求证：＝sin2α
证明 方法一：左边＝
＝＝
＝
＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
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双基限时练(二十六)
1．已知下列四个等式：
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
③cos＝－sinα；
④tan(α－β)＝.
其中恒成立的等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．
答案 B
2.的值为( )
A. B. C．1 D．－
解析 原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
答案 B
3．设tan(α＋β)＝，tan＝，则tan等于( )
A. B. C. D.
3．已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于( )
A．2 B．1 C. D．4
解析 因为tan(α＋β)＝＝＝4，所以tanαtanβ＝.
答案 C
5．若0<α<，0<β<，且tanα＝，tanβ＝，则α＋β等于( )
A. B. C. D.
解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案 B
6．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝b＋a D．c＝ab
解析 由韦达定理可知tanα＋tan＝－且tanαtan＝，∴tan＝tan＝＝1.∴－＝1－.∴－b＝a－c.∴c＝a＋b.故选C.21cnjy.com
答案 C
7．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝________.
解析 tan(α－β)＝＝＝.
答案
8.＝________.
解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.
答案 1
9．已知α∈，sinα＝，则tan＝______.
解析 ∵<α<π，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
∴tan＝＝＝.
答案
10．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.
解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)
＝tan45°(1＋tan67°tan22°)
＝1＋tan67°tan22°
所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°
＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.
答案 1
11．求下列各式的值．
(1)tan；(2).
解 (1)tan＝tan
＝
＝＝2－.
(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.
12．(1)已知α＋β＝，求(1＋tanα)(1＋tanβ)．
(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．21世纪教育网版权所有
解 (1)∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝1，
即＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝(tanα＋tanβ)＋1＋tanαtanβ＝2.
(2)由(1)知当α＋β＝45°时，
(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
∴原式＝(1＋tan1°)(1 ( http: / / www.21cnjy.com )＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)21教育网
＝222·2＝223.
13．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解 (1)tanα＝－，cosβ＝，β∈(0，π)，
∴sinβ＝，∴tanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)∵tanα＝－， α∈(0，π)，
∴sinα＝，cosα＝－ .
∴f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ
＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx.
∴f(x)的最大值为.
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双基限时练(二十八)
1．已知cosα＝－，且α∈，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵π<α<，∴<<，∴cos<0.
由cosα＝2cos2－1＝－，得cos2＝，
∴cos＝－.
答案 B
2．设α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析 ∵α∈(π，2π)，∴∈，∴cos<0.
∴ ＝ ＝|cos|
＝－cos.
答案 D
3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝4 B．T＝，A＝4
C．T＝π，A＝2 D．T＝，A＝2
解析 y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，
∴最小正周期T＝＝，最大值A＝2.
答案 D
4．若3sinα＋cosα＝0，则的值为( )
A. B.
C. D．－2
解析 ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－.
＝
＝＝＝＝.
故应选择A.
答案 A
5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是( )
A．最大值是9，最小值是－9
B．最大值不存在，最小值为7
C．最大值是7，最小值是－9
D．最大值是7，最小值不存在
解析 f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx
＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.
∵x∈R，－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.
答案 C
6．使f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在区间上是减函数的θ的一个值是( )21世纪教育网版权所有
A．－ B.
C.π D.π
解析 f(x)＝2sin，当θ取－时，为奇函数，但在上递增；θ取和π时为非奇非偶函数；当θ取时，f(x)＝－2sin2x符合题意．21·cn·jy·com
答案 C
7.2＋2sin2的值等于__________．
解析 原式＝1＋sinα＋2·
＝1＋sinα＋1－sinα
＝2.
答案 2
8．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－的最大值为________．
解析 y＝sin2x＋3×－
＝sin2x＋cos2x
＝sin≤ .
答案
9．化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝tanA.
答案 tanA
10．若tanx＝，则＝________.
解析
＝＝
＝＝2－3.
答案 2－3
11．已知tan2θ＝－2，π<2θ<2π，求.
解 ＝＝，
∵tan2θ＝－2，∴＝－2.
∴tan2θ－tanθ－＝0.∴tan2θ－tanθ－1＝0.
∴tanθ＝或tanθ＝－.∵π<2θ<2π，
∴<θ<π，∴tanθ<0.
∴tanθ＝－.∴原式＝＝3＋2.
12.
如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，试求其外接矩形EFGH面积的最大值．
解 设∠CBF＝θ，则∠EAB＝θ，EB＝asinθ，BF＝bcosθ，AE＝acosθ，HA＝bsinθ，21教育网
所以S矩形EFGH＝(bsinθ＋acosθ ( http: / / www.21cnjy.com ))(bcosθ＋asinθ)＝b2sinθcosθ＋absin2θ＋abcos2θ＋a2sinθcosθ＝sin2θ＋ab.由|sin2θ|≤1，知当θ＝45°时，S矩形EFGH取得最大值为(a2＋b2)＋ab.21cnjy.com
13．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin2α的值．
分析 (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．再求解．www.21-cn-jy.com
(2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值．
解 (1)由已知f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cosx)－sinx－＝cos.2·1·c·n·j·y
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(x)＝cos＝，
∴cos＝.
∴cosα－sinα＝，平方得1－sin2α＝.
∴sin2α＝.
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