本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(七)
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
答案 C
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．两个都是非负数
D．至少有一个是正数
答案 D
3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )21教育网
A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，c不全是正数 D．abc<0
答案 C
4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
答案 D
5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案 C
6．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．21世纪教育网版权所有
答案 a≠1，或b≠1
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
以上步骤正确的顺序是________．
答案 ③①②
8．有下列四个命题：
①同一平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交；
②两个不相等的角不是直角；
③平行四边形的对角线互相平分；
④已知x，y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1.
其中适合用反证法证明的是________．
答案 ①②④
9．如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．21cnjy.com
证明 假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．
∴f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
解得
所以－
所以当a≥－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
11．如果非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.
证明：＝＋不成立．
证明 假设＝＋成立，则＝＝，
∴b2＝ac.
又∵b＝，∴()2＝ac，即a2＋c2＝2ac，
即(a－c)2＝0，
∴a＝c，这与a，b，c两两不相等矛盾，
∴＝＋不成立．
12．如右图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解 (1)如右图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝＝.
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB 平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，
故AB 平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF.
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(三)
1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
答案 A
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )
○○○●●○○○●●○○○●●○○……
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案 A
3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )
A．10n B．10n－1
C．10n＋1 D．11n
答案 B
4．n个连续自然数按规律排列如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析 观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由↑可知从2010到2012为↑→.21·cn·jy·com
答案 C
5．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式为( )www.21-cn-jy.com
A．n2－1 B．n2－2n＋2
C．2n－1 D．2n－1＋1
解析 ∵a1＝1，an＝2an－1＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知an＝2n－1.2·1·c·n·j·y
答案 C
6．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )21·世纪*教育网
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A适合．
答案 A
7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：【来源：21·世纪·教育·网】
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的结果为________．
解析 a1＝1＝12，a2＝1＋2＋1＝4＝22，
a3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
a4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，
…，
由此可以猜想an＝n2.
答案 n2
8．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：
______________________________________________________.
答案 凸n边形的内角和是(n－2)×180°(n≥3)
9．观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规 ( http: / / www.21cnjy.com )律的等式，为_________________________________________________________．
答案 sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝
10．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？
顶点数 边数 区域数
a
b
c
d
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？21世纪教育网版权所有
解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：
顶点数 边数 区域数
a 3 3 2
b 8 12 6
c 6 9 5
d 10 15 7
(2)观察：
3＋2－3＝2；
8＋6－12＝2；
6＋5－9＝2；
10＋7－15＝2.
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝1006，F＝1006，代入(2)中关系式，得E＝2010.
故这个平面图形有2010条边．
11．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1，且2a－a＋a2·a1＝0，
即2a＋a2－1＝0解得a2＝；
当n＝2时，由
3a－2()2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，
解得a3＝，
…
由此猜想：an＝.
12．已知：sin230°＋sin290° ( http: / / www.21cnjy.com )＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝(*)，并给出(*)式的证明．21教育网
解 一般式为：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明如下：左边＝＋＋
＝－[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)21cnjy.com
＝－
＝＝右边，
所以sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝成立．
(注：将一般式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝等均正确．)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(五)
1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
答案 C
2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( )
A．一般的原理原则 B．特定的命题
C．一般的命题 D．定理、公式
答案 A
3．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
4．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则( )
A．m＝0 B．m＝0，或n＝0
C．n＝0 D．m＝0，且n＝0
答案 D
5．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是( )
A．－6 B.
C．－ D．6
解析 ∵a∥b，∴＝，∴x＝6.
答案 D
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
7. 在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．
答案 大前提和推理过程
8．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x>0时，f(x)为增函数；
③f(x)的最小值是lg2；
④当－11时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是________．
解析 易知f(－x)＝f(x)，则f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg＝lg(x＋)．∵g(x)＝x＋在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确．21教育网
答案 ①③④
9．因为中国的大学分布在全国各地，大前提
北京大学是中国的大学，小前提
所以北京大学分布在全国各地．结论
(1)上面的推理形式正确吗？为什么？
(2)推理的结论正确吗？为什么？
解 (1)推理形式错误．
大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有 ( http: / / www.21cnjy.com )大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．21世纪教育网版权所有
(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．
10．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．
证明 ∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.
x＝0满足|x|≤1，
∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.
证明过程中的三段论分析如下：
大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；
小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.
11．如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，试用三段论的形式证明EF∥平面BCD.21cnjy.com
证明 连接BD.
∵三角形的中位线平行于第三边，大前提
而EF是△ABD的中位线，小前提
∴EF∥BD.结论
∵如果不在平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，大前提
而EF 平面BCD，BD 平面BCD，且EF∥BD，小前提
∴EF∥平面BCD.结论
12．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn，(n＝1,2,3，…)．
证明：(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，
an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)，
∴(n＋2)Sn＝nan＋1＝n(Sn＋1－Sn)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴＝2·(n＝1,2,3，…)．
故数列是首项为1，公比为2的等比数．
(2)由(1)知，＝2·＝4·(n≥2)，
则Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)．
又∵a2＝3S1＝3，∴S2＝a1＋a2＝4＝4a1.
故对任意的n∈N*，有Sn＋1＝4an.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(六)
1．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析 若∠A为钝角，由余弦定理知cosA＝<0，∴b2＋c2－a2<0.
答案 C
2．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则( )
A．S4C．S6解析 ∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.
答案 B
3．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由A·A>0 ∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，一定有A·A>0.21cnjy.com
答案 B
4．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是( )
A. B．－
C. D.π
解析 由题意知，sin(＋φ)＝±1，
所以当φ＝时，sin(＋)＝sin＝1.
答案 C
5．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；
②a，b α，a∥β，b∥β，则α∥β；
③a⊥α，a∥β，则α⊥β；
④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①因为a∥b，b∥α a∥α或a α，所以①不正确．
②因为a，b α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．
③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α c⊥α α⊥β，所以③正确．
④a⊥α，b∥α a⊥b，所以④正确．
综上知③，④正确．
答案 B
6．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4
C.≥a＋b D.≥
解析 特殊法，取a＝1，b＝4，则D项不成立．
答案 D
7．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．21·cn·jy·com
解析 p2＝ab＋cd＋2，
q2＝(ma＋nc)(＋)
＝ab＋＋＋cd
≥ab＋cd＋2
∴q2≥p2，∴p≤q.
答案 p≤q
8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析 x2＋mx＋4<0 m<－x－，∵y＝－(x＋)在(1,2)上单调递增，∴－(x＋)∈(－5，－4)21教育网
∴m≤－5.
答案 (－∞，－5]
9．求证：ac＋bd≤·.
证明 (1)当ac＋bd<0时，
ac＋bd≤·显然成立．
(2)当ac＋bd≥0时，
要证ac＋bd≤·成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，
只需证2abcd≤a2d2＋b2c2，
只需证(ad－bc)2≥0成立．
而(ad－bc)2≥0显然成立．
所以ac＋bd≤·成立．
综上所述ac＋bd≤·成立．
10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.
证明 因为a2＝b(b＋c)，
所以a2＝b2＋bc.
由余弦定理得
cosA＝＝＝.
又因为cos2B＝2cos2B－1＝2()2－1
＝2()2－1＝
＝＝.
所以cosA＝cos2B.
又因为A，B是三角形的内角，
所以A＝2B.
11．如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.21世纪教育网版权所有
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)由E，F分别是A1B，A1C的中点，知EF∥BC，
∵EF 平面ABC而BC 平面ABC.
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D 平面A1B1C1，www.21-cn-jy.com
∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.
CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C 平面BB1C1C，
∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D 平面A1FD，
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．已知数列{an}的首项a1＝5，Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式an.
解 (1)证明：∵Sn＋1＝2Sn＋n＋5，
∴Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋5(n≥2)．
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1＝2an＋1(n≥2)．
∴＝＝2.
又n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，且a1＝5，
∴S2＝16，a2＝S2－S1＝16－5＝11.
又∵＝＝2.
∴数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知，a1＋1＝6，an＋1＝6×2n－1＝3×2n，
∴an＝3×2n－1.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
双基限时练(四)
1．下列说法中正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
答案 D
2．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lgx＋lgy
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c
解析 由向量的运算性质知，a·(b＋c)＝a·b＋a·c正确．
答案 D
3．立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是( )
A．三棱柱 B．三棱台
C．三棱锥 D．正方体
答案 C
4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．① B．③
C．①② D．①②③
答案 D
5．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )21世纪教育网版权所有
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径)21教育网
D．V＝(ab＋bc＋ac)·h(h为四面体的高)
解析 平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球．因此，应选C.
答案 C
6．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的方程为( )21cnjy.com
A.＋＋＝1
B.＋＋＝1
C.＋＋＝1
D．ax＋by＋cz＝1
答案 A
7．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.21·cn·jy·com
解析 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V＝πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．
答案 V球＝πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)
8．等差数列{an}中，有2an＝an ( http: / / www.21cnjy.com )－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
答案 b＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)
9．坐标平面上P1(x1，y1)， ( http: / / www.21cnjy.com )P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为(，)．类比以上结论，若△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC重心G的坐标为________．
答案 (，)
10．找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质．完成下表中的空白.
圆 球
(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦 (1)_______________________________________________________
(2)与圆心距离相等的弦长相等 (2)_______________________________________________________
(3)圆的周长C＝πd (3)_______________________________________________________
(4)圆的面积S＝πr2 (4)_______________________________________________________
答案 (1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面
(2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等
(3)球的表面积S＝4πr2
(4)球的体积V＝πr3
11．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径 ( http: / / www.21cnjy.com )，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？www.21-cn-jy.com
解 设A(x0，y0)为椭圆上的任意 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则2·1·c·n·j·y
kAP·kBP＝·＝.
由于A，B，P三点都在椭圆上．
所以两式相减有＋＝0，
所以＝－，即kAP·kBP＝－.
故椭圆＋＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－.
12．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋.
在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
图1
解 如图1所示，在Rt△ABC中，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，【来源：21·世纪·教育·网】
∴＝
＝＝.
又∵BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD于E，则＝＋＋.
图2
如图2，连接BE交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.
∵AF 平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网