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双基限时练(十一)
1．在复平面内，复数z＝对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 z＝＝＝－i，∵点(，－)在第四象限．∴复数z对应的点在第四象限．
答案 D
2．复数的值是( )
A.i B．－i
C．i D．－i
解析 ＝＝i.
答案 A
3.等于( )
A．－i B.i
C．－i D．i
解析 ＝＝＝－i.
答案 C
4.等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析
＝
＝＝－i(1＋2i)
＝2－i.
答案 C
5．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
解析 ＝
＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
答案 B
6．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
解析 (m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，由此复数为实数得n2－m2＝0，即n＝±m，故所求的概率为P＝＝.
答案 C
7．复数z满足方程i＝1－i，则z＝________.
解析 ·i＝1－i，∴＝＝＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i.
答案 －1＋i
8．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析 a＋bi＝＝1＋i，
∴a＋b＝1＋1＝2.
答案 2
9．若z1＝1＋i，z2＝a－i，其中i为虚数单位，且z1·∈R，则实数a＝________.
解析 ∵z1·＝(1＋i)·(a＋i)＝a－1＋(a＋1)i∈R，
∴a＋1＝0，a＝－1.
答案 －1
10．若z＝，则z100＋z50＋1的值是________．
解析 ∵z＝＝＝，
∴z100＋z50＋1＝100＋50＋1
＝50＋25＋1
＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
答案 i
11．定义运算＝ad－bc，复数z满足＝1＋i，求z.
解 由题意知，＝i·z－i＝1＋i，∴iz＝1＋2i，∴z＝＝2－i.
12．已知复数z1＝－1＋ ( http: / / www.21cnjy.com )2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C，若O＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．21cnjy.com
解 由题意知，A，B，C三点在复平面内的坐标分别为(－1,2)，(1，－1)，(3，－4)，
∵O＝λ＋μ，
∴(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)．
∴解得
∴λ＋μ＝1.
13．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
∴2ab＝2.解得a＝b＝1或a＝b＝－1.
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)．
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i.
z－z2＝－1－3i.
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)．
S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
综上可知△ABC的面积为1.
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cosA＋isinA，且满足|z＋1|＝1.21教育网
(1)求复数z；
(2)求的值．
解 (1)∵z＝cosA＋isinA，
∴z＋1＝1＋cosA＋isinA.
∴|z＋1|＝
＝＝1.∴2＋2cosA＝1，
cosA＝－，∴A＝120°.
∴sinA＝，复数z＝－＋i.
(2)由正弦定理，得：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)．21·cn·jy·com
∴＝.
∵B＝180°－A－C＝60°－C，
∴原式＝＝＝＝＝2.即＝2.
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双基限时练(十)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
答案 B
2．(5－i)－(3－i)－5i等于( )
A．5i B．2－5i
C．2＋5i D．2
答案 B
3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案 D
4．z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵z＝3－4i，∴|z|＝＝5，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋1－i＝－1－5i，其对应点为(－1，－5)，在第三象限．
答案 C
5．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－5i B．－2＋9i
C．－2－i D．5＋3i
解析 由题意知，f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝3＋4i－(－2－i)－2i＝5＋3i.
答案 D
6．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A. B．2
C. D．4
解析 ∵＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故||＝2.
答案 B
7．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝________.
解析 设z＝bi(b∈R，且b≠0)，
则|z－1－i|＝|bi－1－i|
＝|－1＋(b－1)i|＝＝3，
∴(b－1)2＝8.
∴b＝1±2.
∴z＝(±2＋1)i.
答案 (±2＋1)i
8．(－＋3i)＋(－2i)－[(－2i)＋(＋2i)]＝________.
答案 －2＋i
9．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.21教育网
解析 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，21cnjy.com
∴解得a＝－1.
答案 －1
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，
求x＋yi.
解 ∵z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i，又z1＋z2＝5－6i，
∴∴
∴x＋yi＝2＋8i.
11．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，
(1)求向量、、对应的复数；
(2)判定△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)∵＝－
∴对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i.
同理对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
对应的复数为(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
(2)∵||＝，
||＝，||＝，
∴||2＋||2＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
(3)由(2)知，△ABC的面积
S△ABC＝××＝2.
12．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求|z|2.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
|z|＝，代入z＋|z|＝2＋8i，
得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得
∴|z|2＝a2＋b2＝289.
13．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2为虚数，求m的取值范围．21世纪教育网版权所有
解 z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，
∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0.
∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2(m∈R)．
故m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
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双基限时练(九)
1．复数z＝i，复平面内z的对应点的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0,0) D．(1,1)
答案 A
2．复数z＝|z|的充要条件是( )
A．z为纯虚数 B．z为实数
C．z是正实数 D．z是非负实数
答案 D
3．复数z＝＋i2对应点在复平面( )
A．第一象限内 B．第四象限内
C．实轴上 D．虚轴上
答案 C
4．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a ( http: / / www.21cnjy.com )，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为( )21教育网
A．a＝－c，b＝d B．a＝－c，b＝－d
C．a＝c，b＝－d D．a≠c，b≠d
解析 设z1＝a＋bi(a，b∈R)的对应点为P(a，b)，
z2＝c＋di(c，d∈R)的对应点为Q(c，d)．
∵P与Q关于y轴对称，
∴a＝－c，b＝d.
答案 A
5．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．两点 D．线段
解析 由|z|2－3|z|＋2＝0，
得(|z|－1)(|z|－2)＝0，
∴|z|＝1，或|z|＝2，
由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．
答案 B
6．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
解析 |z1|＝|5＋3i|＝＝，
|z2|＝|5＋4i|＝＝，
∵<，∴|z1|<|z2|.
答案 D
7．已知复数z＝x－2＋yi的模为2，则点(x，y)的轨迹方程为__________．
解析 依题意得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案 (x－2)2＋y2＝8
8．复数z＝3＋4i对应的向量所在直线的斜率为__________．
解析 由z＝3＋4i知＝(3,4)，
∴直线的斜率为k＝.
答案
9．已知集合M＝{1,2，m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i}，N＝{3i}，且M∩N≠ ，则实数m的值为________．21世纪教育网版权所有
解析 ∵M∩N≠ ，
∴m2＋5m＋6＋(m2－2m－5)i＝3i，
∴解得m＝－2.
答案 －2
10．当实数m取何值时，在复平面内与复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i对应点满足下列条件？
(1)在第三象限；
(2)在虚轴上；
(3)在直线x－y＋3＝0上．
解 复数z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点的坐标为Z(m2－4m，m2－m－6)．
(1)点Z在第三象限，则
解得
∴0(2)点Z在虚轴上，则
解得m＝0，或m＝4.
(3)点Z在直线x－y＋3＝0上，
则(m2－4m)－(m2－m－6)＋3＝0，
即－3m＋9＝0，∴m＝3.
11．已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．
解 ∵z∈C，可设z＝x＋yi(x，y∈R)，
又|z＋1＋i|＝1，
∴(x＋1)2＋(y＋)2＝1.
∴点(x，y)在以(－1，－)为圆心，半径为1的圆上．
由|z|＝知，|z|的最小值为1，最大值为3.
12．已知两个向量a，b对应的复数z1＝3和z2＝－5＋5i，求向量a与b的夹角．
解 ∵a＝(3,0)，b＝(－5,5)，
∴a·b＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
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双基限时练(八)
1．设C＝{复数}、A＝{实数}、B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B． UA＝B
C．A∩ UB＝ D．B∪ UB＝C
答案 D
2．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是( )
A．a＋b＝a－bi B．a＋bi＝－a＋bi
C．ab＝0 D．a＝b＝0
答案 A
3．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1或0 B．1
C．0 D．以上都不对
答案 C
4．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
答案 A
5．(－1)i的实部是( )
A. B．1
C．－1 D．0
答案 D
6．若x，y∈R，且z＝x＋yi是虚数，则有( )
A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈R
C．x∈R，y＝0 D．x∈R，y≠0
答案 D
7．已知复数z＝m2－3m＋(m2－5m＋6)i(m∈R)，若z<0，则m＝________.
解析 ∵m∈R，且z<0，∴z∈R，
∴解得m＝2.
答案 2
8．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为__________．
解析 由4－3a－a2i＝a2＋4ai，
得解得a＝－4.
答案 －4
9．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是________．21世纪教育网版权所有
解析 由复数相等的充要条件知，
消去a，
得x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)＋(y＋1)2＝2.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝2
10．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数．
－3,0,2＋i，i，－4i，sin＋isin.
解 －3,0,2＋i，i，－4i，sin＋isin的实部分别为－3,0,2,0,0,1；虚部分别是0,0，，1，－4，.21教育网
－3,0是实数；2＋i，i，－4i，sin＋isin是虚数；其中i，－4i是纯虚数．
11．若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．
解 由题意得
∴
解得m＝4.
12．已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
解 设x＝a为方程的一个实数根．
则有a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0
∵a，m∈R，由复数相等的充要条件
有解得
故实数m的值为.
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