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双基限时练(十五)
1．方程y＝－2所表示曲线的形状是( )
解析 由y＝－2，知y≤0，x≥0，因此选D.
答案 D
2．过点M(3,2)作直线l与抛物线y2＝8x只有一个交点，这样的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析 因为点M(3,2)在抛物线y2＝8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y＝2，适合题意，因此只有一条．21世纪教育网版权所有
答案 B
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )21教育网
A．8 B．10
C．6 D．4
解析 由题意知，|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 A
4．抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )
A．(4，±2) B．(±4，2)
C．(±2,4) D．(2，±4)
解析 抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，
设P(x，y)适合题意，则有
∴适合题意的点为(2，±4)．
答案 D
5．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是( )
A．12 B．－12
C．3 D．－3
解析 特例法，∵y2＝4x的焦 ( http: / / www.21cnjy.com )点F(1,0)，设过焦点F的直线为x＝1，∴可求得A(1，－2)，B(1,2)．∴·＝1×1＋(－2)×2＝－3.
答案 D
6．过抛物线y2＝4x的焦点F，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，则|AB|的长为________．21cnjy.com
解析 由y2＝4x知F(1,0)，可得直线AB的方程为y＝(x－1)，与y2＝4x联立，可求得A，B(3,2)．21·cn·jy·com
∴|AB|＝＝.
答案
7．抛物线y2＝2px(p＞0)上有一点纵坐标为－4，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程为__________．www.21-cn-jy.com
解析 设点(x0，－4)，则(－4)2＝2px0，
∴x0＝＝.
又由抛物线的定义知x0＋＝6，∴＋＝6，
即p2－12p＋32＝0，
解得p＝4，或p＝8.
∴抛物线方程为y2＝8x，或y2＝16x.
答案 y2＝8x，或y2＝16x
8．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝__________.
解析 由＋＝1得焦点(－2,0)，(2,0)．
当焦点为(－2,0)时，抛物线开口向左，∴m＜0.
∴ m＝－8；
当焦点为(2,0)时，抛物线开口向右，∴m＞0.
∴ m＝8.
答案 8或－8
9．已知直线l过点A(－，p)，且与抛物线y2＝2px只有一个公共点，求直线l的方程．
解 当直线与抛物线只有一个公共点时，设直线方程为：y－p＝k(x＋)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得
ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0
由Δ＝0得，k＝，或k＝－1.∴直线l的方程为
2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0.
当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为：2·1·c·n·j·y
2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p.
10．线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，端点A，B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线，求抛物线的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
解 画图知，抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线AB的方程为x＝ay＋m.
由消去x，并整理得y2－2apy－2mp＝0.
由根与系数的关系得
y1y2＝－2mp.
由已知得|y1||y2|＝2m，
则p＝1.
故抛物线的方程为y2＝2x.
11．已知抛物线y2＝2x，
(1)设点A的坐标为(，0)，在抛物线上求一点P，使|PA|最小；
(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解 (1)设P(x，y)，则|PA|2＝(x－)2＋y2
＝(x－)2＋2x
＝(x＋)2＋.
∵x≥0且在此区间上函数单调递增，故当x＝0时，|PA|有最小值，离A点最近的点P(0,0)．
(2)设点P(x0，y0)是抛物线y2＝2x上任一点，则P到直线x－y＋3＝0的距离为
d＝＝
＝，
∴当y0＝1，d有最小值.
∴点P的坐标为(，1)．
12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
解 (1)证明：如图所示，由消去x，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－1.
∵A，B在抛物线上，∴y＝－x1，y＝－x2，∴yy＝x1x2.
又∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0，令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|
＝|ON||y1－y2|.
而|y1－y2|＝
＝＝ ＝ .
又∵S△OAB＝，
∴×1× ＝.解得k＝±.
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双基限时练(十一)
1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为( )
A．5 B．8
C．5或3 D．8或5
解析 当焦点在x轴上时，m＝4＋1＝5；当焦点在y轴上时，4＝m＋1，∴m＝3，综上知，m＝5或3.21世纪教育网版权所有
答案 C
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜9)的关系为( )
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
解析 当0
答案 D
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
解析 依题意2a＝4b，即a＝2b，又a2＝b2＋c2，
∴a2＝a2＋c2，即a2＝c2，∴＝，
∴e＝＝.
答案 D
4．若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为( )
A. B.或18
C．18 D.或6
解析 当焦点在x轴上时，a2＝16 ( http: / / www.21cnjy.com )，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝16－m，∴e2＝＝＝2，∴m＝，当焦点在y轴上时，同理可求得m＝18.www.21-cn-jy.com
综上知m的值为或18.
答案 B
5．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的线段的中点坐标为( )
A. B.
C. D.
解析 由消去y，得
3x2＋4x－2＝0.
设直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
∴y1＋y2＝x1＋x2＋2＝.
∴AB中点的坐标为.
答案 C
6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长是8，则椭圆的渐近线方程为________________________．【来源：21·世纪·教育·网】
解析 由题意得4＝8，∴k＝2.∴椭圆方程为＋＝1，其渐近线方程为y＝±x.
答案 y＝±x
7．人造地球卫星的运行轨道是以地心为 ( http: / / www.21cnjy.com )一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，则卫星运行轨道的离心率是__________．21·世纪*教育网
解析 由题意得
∴2a＝2R＋r1＋r2,2c＝r2－r1.
∴e＝＝.
答案
8．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P(，0)所作圆M的两条切线互相垂直．则该椭圆的离心率为________．www-2-1-cnjy-com
解析 如图，切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP为等腰直角三角形．∴＝a，∴e＝＝.
答案
9．椭圆＋＝1(a＞b＞0 ( http: / / www.21cnjy.com ))的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c＞0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．21·cn·jy·com
解 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，
∴a－c＝2－.
又e＝＝，
∴a＝2，c＝.
∴b2＝1.
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
10．直线l过点M(1,1)，与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若AB的中点为M，求直线l的方程．
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0，
∴＝－·.
又M(1,1)为AB的中点，
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
∴直线l的斜率为－.
∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，
即3x＋4y－7＝0.
11．椭圆过点(3,0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解 当椭圆焦点在x轴上时，则
a＝3，＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝3.
故椭圆的方程为＋＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
则b＝3，又＝，
∴＝，∴a2＝27，
故椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
12．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.21教育网
(1)求C的方程；
(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时⊥？此时|AB|的值是多少．
解 (1)设P(x，y)，由椭圆的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )知，点P的轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝＝1.故曲线C的方程为＋y2＝1.2·1·c·n·j·y
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，则x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
∴x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝－＝0，
∴k＝±.
当k＝±时，x1＋x2＝ ，x1x2＝－.
∴|AB|＝＝.
而(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋4×＝，∴|AB|＝＝.
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双基限时练(十)
1．已知F1，F2是两定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )21教育网
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
答案 D
2．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
解析 由b2＝25，a2＝169，知c2＝a2－b2＝144，∴c＝12，又焦点在y轴上，∴选C.
答案 C
3．若椭圆＋＝1上一点P到其中一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离是( )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析 由|PF1|＋|PF2|＝10知，点P到另一个焦点的距离为3.
答案 B
4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3，或a<－2 D．a>3，或－6解析 由 a>3或
－6答案 D
5．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是( )
A．(5,0)或(－5,0)
B．(，)或(，－)
C．(0,3)或(0，－3)
D．(，)或(－，)
解析 记F1(－4,0)，F2(4,0)，|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．21cnjy.com
∴P应在椭圆短轴的端点，∴P(0,3)或(0，－3)．
答案 C
6．已知△ABC周长为18，|AB|＝8且A(－4,0)，B(4,0)，三边|CA|＜|AB|＜|CB|，则C点的轨迹方程为( )www.21-cn-jy.com
A.＋＝1(y≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0，x＜0)
D.＋＝1(y≠0，x＜0)
解析 ∵|CA|＋|CB|＋|AB|＝18，|AB|＝8，
∴|CA|＋|CB|＝10>|AB|，
∴动点C的轨迹是椭圆，且2a＝10,2c ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，∴a＝5，c＝4，b2＝a2－c2＝9，∴椭圆方程为＋＝1，又|CA|<|AB|<|CB|，∴x<0，且y≠0，故选C.21·cn·jy·com
答案 C
7．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.
解析 把椭圆5x2＋ky2＝5化为标准形式得，x2＋＝1，又一个焦点为(0,2)，
∴焦点在y轴上，且c＝2，∴ ∴k＝1.
答案 1
8．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦 ( http: / / www.21cnjy.com )点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝__________.
解析 如下图，由椭圆的定义知
|F1A|＋|F2A|＝2a＝10，
|F1B|＋|F2B|＝2a＝10，
∴|AB|＝20－|F2A|－|F2B|＝20－12＝8.
答案 8
9．已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
解析 如图，
设|MF2|＝2，则|MF1|＝2a－|MF2|＝10－2＝8.
∴|ON|＝|MF1|＝4.
答案 4
10．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程及焦点坐标．21世纪教育网版权所有
解 椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又A(1，)在椭圆C上，
即＋＝1，解得b2＝3.
即c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F(±1,0)．
11．已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝
6||，求动点P的轨迹方程．
解 设动点P(x，y)，＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(x－1，y)，由·＝6||，得－3(x－4)＝6，平方化简得3x2＋4y2＝12，即＋＝1.【来源：21·世纪·教育·网】
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
12．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解 (1)∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标F1(－6,0)，F2(6,0)，∴可设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．2·1·c·n·j·y
将点的坐标代入并整理，得
4a4－463a2＋6300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)∵P为椭圆C上任一点，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.
由(1)知c＝6.
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosF1PF2，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|
＝202－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝.
故△F1PF2的面积S＝|PF1||PF2|sin＝××＝.
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双基限时练(十三)
1．双曲线C的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C的方程为( )21教育网
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 依题意a＋b＝c，a＝2，又a2＋b2＝c2，解得b＝2，又焦点在y轴上，∴双曲线方程为－＝1.21·cn·jy·com
答案 B
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴a＝b，∴c2＝2a2，∴＝2，∴e＝.
答案 C
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 记e1＝，e2＝，又e1·e2＝1，
∴＝1，化简得b2(m2－a2－b2)＝0，
∵b2>0，∴m2－a2－b2＝0，即m2＝a2＋b2，
∴以a，b，m为边长的三角形一定是直角三角形．
答案 B
4．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为( )
A．x2－y2＝96 B．y2－x2＝100
C．x2－y2＝80 D．y2－x2＝24
解析 由题意知，c＝＝4，a＝b，∴2a2＝c2＝48，∴a2＝24，故所求双曲线方程为y2－x2＝24.21cnjy.com
答案 D
5．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是( )
A. B.
C. D．5
解析 由双曲线的定义及性质知，动点P的轨迹是双曲线的一支，且A，B为焦点，c＝2，a＝，∴|PA|的最小值为a＋c＝.
答案 C
6．已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.
解析 依题意知a2＝n，b2＝12－n，又e＝，∴e2＝＝＝＝3，∴n＝4.
答案 4
7．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|＝________.
解析 由双曲线的定义知|MF2|－|M ( http: / / www.21cnjy.com )F1|＝4，|NF2|－|NF1|＝4，∴|MF2|＋|NF2|－|MF1|－|NF1|＝|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.
答案 8
8．若双曲线＋＝1的离心率为2，则k的值为__________．
解析 依题意知k＋4<0，∴k<－4，又e＝＝2，
∴e2＝＝＝4，∴k＝－31.
答案 －31
9．求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线方程．
解 设与双曲线－＝1
共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴λ＝－＝－.
∴所求双曲线方程为－＝－即－＝1.
10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M(3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．
解 当焦点在x轴上时，可设双曲线方程为－＝1，
∵点(3,4)在双曲线上，∴－＝1，
又b＝2a，∴4a2＝9×4－16＝20，a2＝5.
∴b2＝20.∴双曲线方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，可设双曲线方程为－＝1，
∵点(3,4)在双曲线上，∴－＝1.
又∵b＝2a，∴4a2＝16×4－9＝55，a2＝，
∴b2＝55.∴双曲线方程为－＝1.
综上，所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e＝，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．
解 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由2a＝16，得a＝8，又e＝＝，∴c＝10，b2＝c2－a2＝36.21世纪教育网版权所有
故所求的双曲线的方程为－＝1.
由上可得双曲线的焦点为(0，±10)，
渐近线方程为y＝±x，
即4x±3y＝0.
∴焦点到渐近线的距离为d＝＝6.
12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解 (1)∵e＝.
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，
∴λ＝16－10＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M在双曲线上，
∴9－m2＝6，∴－3＋m2＝0.
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
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双基限时练(九)
1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上
解析 由题设知曲线C与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．
答案 B
2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是( )
A．y＝x与y＝
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
C．y＝与xy＝1
D．y＝lgx2与y＝2lgx
解析 易知A，B，D中两方程不是同一曲线，C中两方程表示的是同一曲线，故应选C.
答案 C
3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析 由方程 x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，21教育网
(－2，－2)．
答案 B
4．已知0≤α≤2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 依题意有(cosα－2)2＋sin2α＝3，化简得cosα＝，又0≤α≤2π，∴α＝或，故选C.21cnjy.com
答案 C
5．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1)和(－1，－1) D．(0,0)
解析 或
∴直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)．
答案 C
6．方程y＝表示的曲线是( )
解析 y＝＝且y>0，还是偶函数，故应选D.
答案 D
7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k的取值范围是________．
解析 依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，
∴k＝2a2－2a＝2(a－)2－.
∵a∈R，∴k≥－.
答案 [－，＋∞)
8.
如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y ( http: / / www.21cnjy.com ))，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，则动点P的轨迹方程为________．21·cn·jy·com
解析 依题意可知M(0，y)，N(x，－y)，
∴＝(x，y)，＝(x，－2y)．
由·＝4，得x2－2y2＝4，这就是点P的轨迹方程．
答案 x2－2y2＝4
9．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________________．www.21-cn-jy.com
解析 设PQ的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则
即
又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1，
即2y＋1＝2(2x)2＋1，∴y＝4x2.
即y＝4x2为所求的轨迹方程．
答案 y＝4x2
10．已知定点A，B，且AB＝2a(a>0)，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程．
解 以AB所在直线为x轴，以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(－a,0)，B(a,0)．
设点P的坐标为(x，y)，由题意得＝2，
即＝2.
化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.
即(x－a)2＋y2＝a2(a>0)为所求的轨迹方程．
11．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．
解 设P点的坐标为(x，y)，曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N的坐标为(2x－x0,2y－y0)．
又点N在直线l上，
∴2x－x0＋2y－y0＝2，
即x0＋y0＝2x＋2y－2.①
又QN⊥l，∴kQN＝＝1
即x0－y0＝x－y.②
由①②得
x0＝(3x＋y－2)，
y0＝(x＋3y－2)．
又因为点Q在曲线上，
∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.
化简整理得
(x－)2－(y－)2＝.
故线段QN的中点P的轨迹方程为
(x－)2－(y－)2＝.
12．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|＝2|MB|，求证：点M的轨迹方程为2＋2＝.21世纪教育网版权所有
证明 设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得
|MA|＝，
|MB|＝.
∵|MA|＝2|MB|，
∴＝2.
两边平方，并整理得
3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0.
即2＋2＝.①
∴轨迹上每一点的坐标都是方程①的解．
设M1(x1，y1)是方程①的解，
则2＋2＝，
即3x＋3y－8x1＋2y1＋3＝0.
|M1A|＝
＝
＝
＝2＝2|M1B|.
即M1(x1，y1)在符合条件的曲线上．
综上可知，点M的轨迹方程为2＋2＝.
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双基限时练(十四)
1．到定点(3,5)与定直线2x＋3y－21＝0的距离相等的点的轨迹是( )
A．圆 B．抛物线
C．线段 D．直线
解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线．
答案 D
2．抛物线y2＝8x的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－4
C．y＝－2 D．y＝－4
解析 ∵y2＝8x＝2·4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2.
答案 A
3．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为( )
A．8 B．－8
C. D．－
解析 ∵x2＝ay的准线方程为y＝－＝2，∴a＝－8.
答案 B
4．抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A．(1,0) B.
C. D.
解析 由y＝2x2得，x2＝y.
∴焦点坐标为.
答案 C
5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( )
A．x2＝－y，或y2＝x
B．y2＝－x，或x2＝y
C．x2＝y
D．y2＝－x
解析 ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线的标准方程为x2＝2py( ( http: / / www.21cnjy.com )p>0)，或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p·3，或9＝－2p1(－2)，21世纪教育网版权所有
∴2p＝，或－2p＝－，
故所求的抛物线方程为
x2＝y，或y2＝－x.
答案 B
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程为__________．
解析 设抛物线方程为y2＝ax，又抛物线过点P(2,4)，则16＝2a，∴a＝8，
∴y2＝8x.
答案 y2＝8x
7．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝__________.
解析 由y2＝4x得焦点F(1,0)，代入直线方程得a＋1＝0.∴a＝－1.
答案 －1
8．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．21cnjy.com
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
由方程组
得交点坐标为A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)为AB的中点，从而a＝4.
故所求抛物线方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
9．已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值，抛物线标准方程和准线方程．
解 设所求的抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
∴解得
∴m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．
解 抛物线y2＝ax(a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，∴△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8.21教育网
∴抛物线方程为y2＝±8x.
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深为40 cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．21·cn·jy·com
解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p×40，即p＝，
所求的抛物线标准方程为y2＝x，焦点(，0)．
12．若抛物线通过直线y＝x与圆x2＋y2＋6x＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．www.21-cn-jy.com
解 由得或
根据题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)或
y2＝－2mx(m>0)．
∵点在抛物线上，
∴p＝，m＝.
∴所求抛物线方程为x2＝－y或y2＝－x.
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双基限时练(十二)
1．双曲线－＝1的焦距是10，则实数m的值为( )
A．－16 B．4
C．16 D．81
解析 2c＝10，∴c＝5，∴9＋m＝25，∴m＝16.
答案 C
2．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为( )
A．3 B．5
C．6 D．9
解析 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝6，观察选项知D正确．
答案 D
3．若k∈R，则“k＞3”是“方程－＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 当k>3时，k－3>0，k＋ ( http: / / www.21cnjy.com )3>0，∴方程－＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，∴k>3，或k<－3.故k>3是方程－＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案 A
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是( )
A．16 B．18
C．21 D．26
解析 如图所示，由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝8，(1)
|BF2|－|BF1|＝8，(2)
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝5，(3)
∴由(1)，(2)，(3)得|AF2|＋|BF2|＝21.
故△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝26.
答案 D
5．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4
C．3 D．4
解析 由双曲线－＝1，知c2＝12，∴c＝2，
∴2c＝4.
答案 D
6．已知双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，＝，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝－1 D.－＝－1
解析 令x＝0，y＝10，∴双曲线的 ( http: / / www.21cnjy.com )焦点坐标F1(0，－10)，F2(0,10)，∴c＝10，又＝，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64，故双曲线方程为－＝1，故选D.21世纪教育网版权所有
答案 D
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若·＝0，则点P到x轴的距离为________．21cnjy.com
解析 设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)．由－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5，∴m－n＝6.
又PF1⊥PF2，∴m2＋n2＝4c2.
∴m2＋n2－(m－n)2＝2mn＝4×25－36＝64.
∴mn＝32.由△F1PF2的面积相等得2c|y|＝mn.
∴|y|＝.
答案
8．双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是__________．
解析 依题意得
－2答案 (－2，－1)
9．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．21·cn·jy·com
解析 由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由·＝0，知PF1⊥PF2，
则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.
又c＝，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20.
又由双曲线的定义知
|PF1|－|PF2|＝±2a.
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.
∴4a2＝20－2×2＝16，
a2＝4，从而b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
10．已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．21教育网
解 设P的坐标为(x，y)．
∵圆P与圆C外切且过点A，
∴|PC|－|PA|＝4.
∵|AC|＝＝6＞4，
∴点P的轨迹是以C，A为焦点，实轴长为2a＝4的双曲线的右支，
∵a＝2，c＝3，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
11．已知△ABC的两个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.
(1)求线段AB的长度．
(2)求顶点C的轨迹方程．
解 (1)将椭圆方程化为标 ( http: / / www.21cnjy.com )准形式为＋y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，依题意可得A(－2,0)，B(2,0)，故|AB|＝4.
(2)∵sinB－sinA＝sinC，由正弦定理，得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值，
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3.
故顶点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1、F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．www.21-cn-jy.com
解 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝.故可设双曲线方程为－＝1.依题意得解得a2＝3，b2＝2.2·1·c·n·j·y
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M在双曲线的右支上，
则有|MF1|－|MF2|＝2.
又|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2c＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，
由余弦定理可得
cos∠MF2F1＝
＝<0.
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2是钝角三角形．
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